请教:这道费脑的小学数学题究竟该作何解?

下面这道小学数学题的第二问把我难住了,关键是括号内的“时间按整月计算”该如何理解,我跟孩儿妈的理解就完全不一样。而且我觉得标准答案对题意尤其是“时间按整月计算”的理解是有问题的。

原题如下:

一项工程,若请甲工程队单独做需4个月完成,每月要耗资9万元;若请乙工程队单独做需6个月完成,每月耗资5万元。

(1)请问甲、乙两工程队合作需几个月完成?耗资多少万元?

(2)现要求最迟5个月完成此项工程,请你设计一种方案,既保证按时完成任务,又最大限度节省资金。(时间按整月计算)

请教一下各位的看法。

(注:题目为本地中学五大名校的初中入学“分班考试”试卷的真题)

以上是原帖,引发了众多学友广泛而深入的讨论。

特别感谢“♂丶灬晓淚生命不止,思考不息!”学友之赐教,不辞辛苦,多番大篇幅耐心解释。

以下是修改后重发时增补的内容——借回复Jarod学友的赐教展开谈谈我的一些看法。

Jarod学友谈到:

我挺诧异这么一道例题怎么还在讨论,几乎所有人都搞错了“时间按整月计算”的意思,绝大部分人都缺乏孩子这阶段的学习体系,不严谨同时逻辑判断有问题。我已经说过了,这是三四年级小奥的工程题,考察点是分数运算,在这个阶段他们还在练的有大量年月日计算,所以这里说到的“时间按整月计算”指的不是结果取整月或者各队费用按整月结算,仅代表他表述的按整月计算,不涉及其他,你们几乎所有人都做了过度解读。这类题如果涉及只取整月和结算按整月,他的表述会是“时间取整月”或者“不足月按整月计算”这类说法,所以是你们读题不准确。因此第二问的费用是31万,不是你们大部分人推崇的3/2月分配的33万。你们的读题精准性存在问题,也不去想如果如你们所想该怎么注脚,该想少的地方想多了,该想多点又想少了,导致出现歧义。这题是不是容易造成歧义?是的,对于经历过系统化学习的应该是可以准确抓取到“按”和“取”的区别,也应该知道如果要对月取整题目会用什么话术,但对于普通孩子就容易产生歧义。还有就是我说它是这一阶段的题,如果作为小升初分班题的话,这仅仅是例题水平,不应成为区分题目。这题的话术只能算常规,现在的课内教育也非常讲究用词的精准性,等你们的孩子上了初中就明白了,现在的史地政生数物很大程度上是在考语文了。

以下是我的回复。

你的表述大致有一个框架,在这个框架里,你的表述很自洽,非常有道理。

在你的框架内,具体到对“时间按整月计算”应该如何理解的问题,我谈谈自己的想法:

1、你是从出题人的本意来说的,对于考试中解答这道题来说,这当然是唯一正确的(出路),不这么去理解是“找死”。

2、你最后一句话我深度同感,也在我对我孩子的引导中特别注重语文/语言素养的培育。你提到如果是我和很多学友的那种理解,出题人的表述会是“时间取整月”或“不足月按整月计算”,你的这个表述我深表认同。但是这里我想来个“反将”(没有恶意,只是一时找不到合适的词),如果按你理解的那个意思,那似乎应该表述为“(计费时)按月计算”或“(计费时)时间以月为单位”——加上括号内的“计费时”更好,这两表述虽然也会有一定歧义的可能,但很明显更接近你的理解也即出题人的本意。

现在跳出你的框架来谈谈我的看法:

1、我在贴文末尾的括号内已经交代这道题的来历了,这题肯定有标准答案的啊,我也当然会看的啊,看了标准答案,当然会“明白”你的那种理解是“对”——从考试做题的角度看——的。但是我为什么还要贴出这道题求教呢?当然是另有考虑咯。

2、对题目的审美姿态是我想要引导孩子养成的。

【我平时基本不辅导孩子课内学业(现在搞这道题另有渊源,容末尾交代),有前段时间贴出的一篇文章为证,孩子咨询我题目,被我撅回自己弄去了,结果熬战了一个半小时才闹明白,然后我才给讲,这时就不是讲题目本身的解题思路、技巧、套路之类的“术”了,我讲“道”,我引导孩子以审美的姿态去看题目,分析她思考过程中那些错乱的根源和因由与题设表述之间的“互动”关系。(详见:学做家长|记孩子的一次“1.5小时熬战一道数学题”的经历及其收获)】

3、出题人将题目出出来了,那读题/做题的人对题设表述如何理解已经跟出题人本意没关系了。

如果有歧义,那只能按照可能的各种理解去分别解题。

如果我要给孩子讲解题目,讲的就是这种内容,而不是解题的套路和技巧。

我想要引导孩子学会思考,以数学思维去思考。

当然咯,审美的姿态是我所欲,但我不会傻得头铁去跟考试的规则做对,讲完了审美姿态的内容,还是会告诉孩子如果是考试中碰上这种题,那就“顺”着出题人的本意——审美姿态中当然也审过出题人本意了的——去解答吧。

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交代一下本帖的背景:

小区邻居请我给其正在上六年级的孩子辅导一下数学。

孩子在本校——所在行政区的第二小学(与第一小学归属同一教育集团旗下的)——的数学考试中成绩基本是90+,但碰上这种本市五大名校初中入学分班考试的题就懵了,茫然无措,不敢去思考,也不知如何去思考,犹如“老虎吃天、无从下口”。

我接受了委托,开始给孩子辅导。孩子家长的本意或者说他们理解的辅导无非就是带着刷题,但我决定从根基入手,每次上课的2个多小时,真正讲题目只讲一道题,而且花的时间很少,其它时间都是在教“功夫在诗外”——相对做题套路、技巧而言——的内容,或者说,教学校本应该更侧重教而实际上只是蜻蜓点水的滑过的内容。具体地说,我要教的内容是“数学理念”,并以此为基础引导孩子学会自主思考。(关于“数学理念”,详见:学做家长|小学数学教学的重点应是对数学理念的领会而非对数学知识的掌握,以分数为例

贴文中的这道题是我给孩子写的一个课后读本中所选的一个例题,也是作为收官的最后一个例题,主旨是引导孩子遇到难题时勇于探索的精神及其能力。最后一个嘛,可以随心所欲不逾矩,超纲但不超能力所及都是可以的。

之所以接受委托是基于如下考虑:

其一,在于我的教-学理念得到一个施展和检验的机会(我自己的孩子还在三年级,而要辅导的这个孩子是六年级,而且碰到的困境我判断恰是在对“数学理念”的领会上没有做到所导致的);

其二,也为究竟该如何引导自己的孩子提前做一个探索,具体说就是,如果我的辅导不成功,那我要检讨我现在以我的理念对自己孩子的引导是否是不合时宜的,即“理念”要与“现实”妥协,如果我的辅导成功了,那会坚定我按照自己的理念引导自己孩子的信心。

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报告一下辅导进展:

在经过寥寥3次课合计6个多小时的辅导后,孩子已经生发出自主思考的勇气并初步具备一定的自主思考的能力了。(注意,我说的是“自主思考”,而不是记忆并照搬那些所谓的解题套路、技巧。)

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  • ♂丶灬晓淚 生命不止,思考不息!
    鉴于是小升初的试题,即考的是小学的学纲,而小学虽然没学未知数与方程,但却学了“设整体为‘1’”,也初步学了最小公倍数和初步运用最小公倍数的“十字交叉法”,所以正规答案如下————
    解答:
    (1)、设总工程量为“1”,甲队的每月工程效率为1/4,乙队的每月工程效率为1/6,得
            两队共同合作,1÷(1/4 + 1/6)=12/5=2.4(个月), 耗资 2.4X(9+5)=33.6万元
    (2)、要求”(时间按整月计算)“(即做不满一个月的,按一个月计算,其资金支出也按一个月计算)和最小的节省资金支出,恰好符合了最小公倍数的运用。因 甲、乙工程队单独做分别需4个月和6个月完成,4和6的最小公倍数是12,运用“十字交叉法”,得
    jpg
    即甲做2个月,乙队做3个月。其中的工程完成情况是,2/4+3/6=1,刚好完成;总支出为2x9+3x5=33万元。
          (PS:本题应该属于大题得第一或者第二题,并非压轴题,第一小问考核的是“设整体为‘1’”、分数与小数,和四则运算的知识点;第二问主要考核最小公约数极其基本的十字交叉法——虽然可以无需这两点知识就能解答,但会答题效率有影响,作答的知识点也未能得到体现而可能扣分。)
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    末那识 作者
    你的表述大致有一个框架,在这个框架里,你的表述很自洽,非常有道理。
    在你的框架内,具体到对“时间按整月计算”应该如何理解的问题,我谈谈自己的想法:
    1、你是从出题人的本意来说的,对于考试中解答这道题来说,这当然是唯一正确的(出路),不这么去理解是“找死”。
    2、你最后一句话我深度同感,也在我对我孩子的引导中特别注重语文/语言素养的培育。你提到如果是我和很多学友的那种理解,出题人的表述会是“时间取整月”或“不足月按整月计算”,你的这个表述我深表认同。但是这里我想来个“反将”(没有恶意,只是一时找不到合适的词),如果按你理解的那个意思,那似乎应该表述为“(计费时)按月计算”或“(计费时)时间以月为单位”——加上括号内的“计费时”更好,这两表述虽然也会有一定歧义的可能,但很明显更接近你的理解也即出题人的本意。
    现在跳出你的框架来谈谈我的看法:
    1、我在贴文末尾的括号内已经交代这道题的来历了,这题肯定有标准答案的啊,我也当然会看的啊,看了标准答案,当然会“明白”你的那种理解是“对”——从考试做题的角度看——的。但是我为什么还要贴出这道题求教呢?当然是另有考虑咯。
    2、对题目的审美姿态是我想要引导孩子养成的。
    【我平时基本不辅导孩子课内学业(现在搞这道题另有渊源,容末尾交代),有前段时间贴出的一篇文章为证,孩子咨询我题目,被我撅回自己弄去了,结果熬战了一个半小时才闹明白,然后我才给讲,这时就不是讲题目本身的解题思路、技巧、套路之类的“术”了,我讲“道”,我引导孩子以审美的姿态去看题目,分析她思考过程中那些错乱的根源和因由与题设表述之间的“互动”关系。(详见:学做家长|记孩子的一次“1.5小时熬战一道数学题”的经历及其收获,https://user.guancha.cn/main/preview?id=703457)】
    3、出题人将题目出出来了,那读题/做题的人对题设表述如何理解已经跟出题人本意没关系了。
    如果有歧义,那只能按照可能的各种理解去分别解题。
    如果我要给孩子讲解题目,讲的就是这种内容,而不是解题的套路和技巧。
    我想要引导孩子学会思考,以数学思维去思考。
    当然咯,审美的姿态是我所欲,但我不会傻得头铁去跟考试的规则做对,讲完了审美姿态的内容,还是会告诉孩子如果是考试中碰上这种题,那就“顺”着出题人的本意——审美姿态中当然也审过出题人本意了的——去解答吧。
    这才是讨论,挺好。
    1、这就是现实,不尽合理,又无法改变规则,只能去一定程度上适应规则,但并非无奈,同时去让孩子理解它的不合理性即可。
    2、随手打的东西,难免不严谨,抛砖引玉,明白我的意思就行。正式的大规模考试里,出题会很严谨,极少出现那题的不明确表述。
    我所说的它是阶段性例题是什么意思.....是指的它仅适用于常规学习阶段,因为这个阶段同时做得多的还有年月日换算,所以孩子们会有惯性思维考虑过多的日月换算,所以在有的题目中会出现这种“按整月”的表述,系统化学习的孩子会理解这点。但对于未经系统化学习,或者过了这个学习阶段再出现这种题,就不适合了,容易造成误解。
    再说这种情况是怎么出现的,我不反对真减负,但现在不断在加强文科话术和难度,大幅缩减理科作业时间和难度,才导致这种题会出现在名校分班考。

    关于你的看法,我觉得你把别人看扁了,看得也太浅了。
    学习本身就不是对与错的简单化,比如你的这道题,我们也经过这个阶段,几种情况、几种表述、合适与否、为什么这么出题、题目好坏、所用知识、锻炼目的、现实应用等等当然是要全部讲解讨论的。启发式教育本身就是理科的学习方式,一题多解本就是基础。我家孩子初中老师甚至有过要求一题十一解,名校的老师和家长大家基本都是这么要求这么做的,而且标准还要高得多。
    你的那篇1.5小时和孩子互动教育、启发式一题多解的文章我看了.......我不想客套,觉得很常规、浅了、而且低效。我这么说不仅你,恐怕绝大部分人都会不舒服,但事实就是事实。我拿效果来说话吧,这图是我家孩子的课外班同学,也是个小姑娘十岁在做的,同样是启发式学习,这是头部学生在做的。你们再想想差距在哪里,可不仅仅在孩子,高智高知家长比你们想象中更懂教育得多,尤其这些人在一个圈子之后。
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    末那识 作者
    你的表述大致有一个框架,在这个框架里,你的表述很自洽,非常有道理。
    在你的框架内,具体到对“时间按整月计算”应该如何理解的问题,我谈谈自己的想法:
    1、你是从出题人的本意来说的,对于考试中解答这道题来说,这当然是唯一正确的(出路),不这么去理解是“找死”。
    2、你最后一句话我深度同感,也在我对我孩子的引导中特别注重语文/语言素养的培育。你提到如果是我和很多学友的那种理解,出题人的表述会是“时间取整月”或“不足月按整月计算”,你的这个表述我深表认同。但是这里我想来个“反将”(没有恶意,只是一时找不到合适的词),如果按你理解的那个意思,那似乎应该表述为“(计费时)按月计算”或“(计费时)时间以月为单位”——加上括号内的“计费时”更好,这两表述虽然也会有一定歧义的可能,但很明显更接近你的理解也即出题人的本意。
    现在跳出你的框架来谈谈我的看法:
    1、我在贴文末尾的括号内已经交代这道题的来历了,这题肯定有标准答案的啊,我也当然会看的啊,看了标准答案,当然会“明白”你的那种理解是“对”——从考试做题的角度看——的。但是我为什么还要贴出这道题求教呢?当然是另有考虑咯。
    2、对题目的审美姿态是我想要引导孩子养成的。
    【我平时基本不辅导孩子课内学业(现在搞这道题另有渊源,容末尾交代),有前段时间贴出的一篇文章为证,孩子咨询我题目,被我撅回自己弄去了,结果熬战了一个半小时才闹明白,然后我才给讲,这时就不是讲题目本身的解题思路、技巧、套路之类的“术”了,我讲“道”,我引导孩子以审美的姿态去看题目,分析她思考过程中那些错乱的根源和因由与题设表述之间的“互动”关系。(详见:学做家长|记孩子的一次“1.5小时熬战一道数学题”的经历及其收获,https://user.guancha.cn/main/preview?id=703457)】
    3、出题人将题目出出来了,那读题/做题的人对题设表述如何理解已经跟出题人本意没关系了。
    如果有歧义,那只能按照可能的各种理解去分别解题。
    如果我要给孩子讲解题目,讲的就是这种内容,而不是解题的套路和技巧。
    我想要引导孩子学会思考,以数学思维去思考。
    当然咯,审美的姿态是我所欲,但我不会傻得头铁去跟考试的规则做对,讲完了审美姿态的内容,还是会告诉孩子如果是考试中碰上这种题,那就“顺”着出题人的本意——审美姿态中当然也审过出题人本意了的——去解答吧。
    这才是讨论,挺好。
    1、这就是现实,不尽合理,又无法改变规则,只能去一定程度上适应规则,但并非无奈,同时去让孩子理解它的不合理性即可。
    2、随手打的东西,难免不严谨,抛砖引玉,明白我的意思就行。正式的大规模考试里,出题会很严谨,极少出现那题的不明确表述。
    我所说的它是阶段性例题是什么意思.....是指的它仅适用于常规学习阶段,因为这个阶段同时做得多的还有年月日换算,所以孩子们会有惯性思维考虑过多的日月换算,所以在有的题目中会出现这种“按整月”的表述,系统化学习的孩子会理解这点。但对于未经系统化学习,或者过了这个学习阶段再出现这种题,就不适合了,容易造成误解。
    再说这种情况是怎么出现的,我不反对真减负,但现在不断在加强文科话术和难度,大幅缩减理科作业时间和难度,才导致这种题会出现在名校分班考。

    关于你的看法,我觉得你把别人看扁了,看得也太浅了。
    学习本身就不是对与错的简单化,比如你的这道题,我们也经过这个阶段,几种情况、几种表述、合适与否、为什么这么出题、题目好坏、所用知识、锻炼目的、现实应用等等当然是要全部讲解讨论的。启发式教育本身就是理科的学习方式,一题多解本就是基础。我家孩子初中老师甚至有过要求一题十一解,名校的老师和家长大家基本都是这么要求这么做的,而且标准还要高得多。
    你的那篇1.5小时和孩子互动教育、启发式一题多解的文章我看了.......我不想客套,觉得很常规、浅了、而且低效。我这么说不仅你,恐怕绝大部分人都会不舒服,但事实就是事实。我拿效果来说话吧,这图是我家孩子的课外班同学,也是个小姑娘十岁在做的,同样是启发式学习,这是头部学生在做的。你们再想想差距在哪里,可不仅仅在孩子,高智高知家长比你们想象中更懂教育得多,尤其这些人在一个圈子之后。
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  • 末那识 学以养识,以识统学。(心迷法华转,心悟转法华) 作者
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    Jarod
    我挺诧异这么一道例题怎么还在讨论,几乎所有人都搞错了“时间按整月计算”的意思,绝大部分人都缺乏孩子这阶段的学习体系,不严谨同时逻辑判断有问题。
    我已经说过了,这是三四年级小奥的工程题,考察点是分数运算,在这个阶段他们还在练的有大量年月日计算,所以这里说到的“时间按整月计算”指的不是结果取整月或者各队费用按整月结算,仅代表他表述的按整月计算,不涉及其他,你们几乎所有人都做了过度解读。
    这类题如果涉及只取整月和结算按整月,他的表述会是“时间取整月”或者“不足月按整月计算”这类说法,所以是你们读题不准确。因此第二问的费用是31万,不是你们大部分人推崇的3/2月分配的33万。你们的读题精准性存在问题,也不去想如果如你们所想该怎么注脚,该想少的地方想多了,该想多点又想少了,导致出现歧义。
    这题是不是容易造成歧义?是的,对于经历过系统化学习的应该是可以准确抓取到“按”和“取”的区别,也应该知道如果要对月取整题目会用什么话术,但对于普通孩子就容易产生歧义。还有就是我说它是这一阶段的题,如果作为小升初分班题的话,这仅仅是例题水平,不应成为区分题目。
    这题的话术只能算常规,现在的课内教育也非常讲究用词的精准性,等你们的孩子上了初中就明白了,现在的史地政生数物很大程度上是在考语文了。
    你的表述大致有一个框架,在这个框架里,你的表述很自洽,非常有道理。
    在你的框架内,具体到对“时间按整月计算”应该如何理解的问题,我谈谈自己的想法:
    1、你是从出题人的本意来说的,对于考试中解答这道题来说,这当然是唯一正确的(出路),不这么去理解是“找死”。
    2、你最后一句话我深度同感,也在我对我孩子的引导中特别注重语文/语言素养的培育。你提到如果是我和很多学友的那种理解,出题人的表述会是“时间取整月”或“不足月按整月计算”,你的这个表述我深表认同。但是这里我想来个“反将”(没有恶意,只是一时找不到合适的词),如果按你理解的那个意思,那似乎应该表述为“(计费时)按月计算”或“(计费时)时间以月为单位”——加上括号内的“计费时”更好,这两表述虽然也会有一定歧义的可能,但很明显更接近你的理解也即出题人的本意。
    现在跳出你的框架来谈谈我的看法:
    1、我在贴文末尾的括号内已经交代这道题的来历了,这题肯定有标准答案的啊,我也当然会看的啊,看了标准答案,当然会“明白”你的那种理解是“对”——从考试做题的角度看——的。但是我为什么还要贴出这道题求教呢?当然是另有考虑咯。
    2、对题目的审美姿态是我想要引导孩子养成的。
    【我平时基本不辅导孩子课内学业(现在搞这道题另有渊源,容末尾交代),有前段时间贴出的一篇文章为证,孩子咨询我题目,被我撅回自己弄去了,结果熬战了一个半小时才闹明白,然后我才给讲,这时就不是讲题目本身的解题思路、技巧、套路之类的“术”了,我讲“道”,我引导孩子以审美的姿态去看题目,分析她思考过程中那些错乱的根源和因由与题设表述之间的“互动”关系。(详见:学做家长|记孩子的一次“1.5小时熬战一道数学题”的经历及其收获,https://user.guancha.cn/main/preview?id=703457)】
    3、出题人将题目出出来了,那读题/做题的人对题设表述如何理解已经跟出题人本意没关系了。
    如果有歧义,那只能按照可能的各种理解去分别解题。
    如果我要给孩子讲解题目,讲的就是这种内容,而不是解题的套路和技巧。
    我想要引导孩子学会思考,以数学思维去思考。
    当然咯,审美的姿态是我所欲,但我不会傻得头铁去跟考试的规则做对,讲完了审美姿态的内容,还是会告诉孩子如果是考试中碰上这种题,那就“顺”着出题人的本意——审美姿态中当然也审过出题人本意了的——去解答吧。
  • ♂丶灬晓淚 生命不止,思考不息!
    全部楼层
    末那识 作者
    感谢赐教(你在评论区发的所有内容——包括这条之后发的——我都认真看了。)
    我查了一下关于十字交叉法的介绍,其似乎是源出化学中混合组分的相关计算,扩展为二元组分混合体系的计算方法,常用于计算二元组分的比例关系。
    然后再看你这里用的十字交叉法,愈发糊涂了。
    你这个交叉法中,内含的是三个实际的量即工效、工时、工程量(或者说六个,甲、乙各这样的三个),所以计算出来的结果应该不出这三类量的范围,而其中的“相等关系”也不出这个范围。我看不懂的是你这个十字交叉法中的“相等关系”究竟是什么,但似乎与费用没什么关系。
    十字交叉法,我理解,无非是二元一次方程组的简便图示计算技巧。
    如果我的理解无差,那你这个十字交叉法的背后也该是一个二元一次方程组。
    可否请你将你这个十字交叉法背后的二元一次方程组列出来?
    (如果方程组中有花费/耗资这个“元”/未知数,那么你这个十字交叉法的计算结果才是有可能与费用相关的,至于是否是最小费用,或者说其中有什么道理,我还想不通。)
    “是否是最小费用,或者说其中有什么道理,我还想不通”——这个简单来说是因为,用于“十字交叉法”的计算的中间那个数值(即12),就是最小公倍数。用这个最小公倍数去与左边那列甲乙工程队的单独完成需要工时(即上4、下6),所计算得出的右边那列的结果,自然也是“最小”的。这其中的道理,简单来说就像是你拿最小的苹果去按 拿大苹果去分的相同的、不变的规则去分,那每个人分到的苹果块自然也是最小的。
    实际上,“十字交叉法”内里暗含着但也“屏蔽“了很多 “可用别的语言和数学语言去描述但有阐述困难” 的逻辑计算和概念转换,转而以”十字交叉法“自己的逻辑与概念去顶替和掩盖忽略了。就像是把一台机器(即整个问题计算和解答的过程)的一个功能或者环节,给集成进了一个部件,这时候只要这个部件的内在逻辑和功能(即”十字交叉法所暗含着的、但也“屏蔽“了的很多的逻辑计算和概念转换)没有出现错误,输出结果就不受影响,那就不用管这个部件自身到底是以什么逻辑与概念构造自己的,只需要会用这个部件就行。你可以把“十字交叉法”看成这个部件,左边那列数字是输入,中间那个数字是设定,那右边的那列数字就是由输入和设定的取比 而得出并决定了其性质或概念的 事物了(PS:哪个数字是输入、设定、输出,都不是固定的某个位置的数字,是可以换成是别的位置的数字的)。
    而如果真要在概念和逻辑上,以解释性、逻辑性的非数学语言,去诠释”十字交叉法“这个部件自身到底是以什么逻辑与概念构造自己的,那可就复杂了,更别提是用小学生可理解的语言与逻辑去诠释。因为”十字交叉法”内含的逻辑计算和概念兑换是很多的,比如这五个数字就可以上下两数或三数取比(即除法,下同)、左右两数或三数取比、斜线两数或三数取比,并且这些取的比都可以通过数学转换和概念转换后,彼此成等式或者直接成等式。而其中涉及到的数学转换和概念转换,那是难以用非数学语言去说清的。这也是在数学领域,数学语言比其它语言更直观、高效,用其它语言去阐释数学往往有困难的体现。当然,你如果硬要“会用轮子后,依然想要弄清轮子的原理”地去学,那也是可以的,自己去找适当的书看吧。而如果你要我在这里去用小学生可理解的语言与逻辑去阐释,你还不如去看小学生的课本,因为我也会用小学生的课本那样的方法去阐释,这时候我跟小学教师所做的一样了,并且内容和课时都不算少(我不知道现在的小学教授“十字交叉法”的内容与课时的安排,但加上练习题和习题讲解的话,估计得要不少课时)——你还不如直接找个补课老师去给你孩子补这方面的课。
  • 只重事实
    第二问就是尽可能让乙队干,那么让乙队干5个月就好了,剩下的1/6工程给甲队,这样5个月完成目标,花费就是:5*5+4/6*6=29
    5x5+4÷6x9=31
  • .
    题目倒是很简单,既然一个4个月,一个6个月,那就按照总量24来计算,甲队每月完成6份的工作量,乙队每月完成4的工作量。第一问就是24/(4+6)=2.4个月,钱就时间乘以各自需要的资金。
    第二问其实不必计算,为了节约资金,那必然是乙队时间要长,因为乙队完成需要的资金是30万,甲队是36万,所以乙队便宜,甲队快。
    因此乙队要尽量多安排。这里其实有个隐藏条件,就是第一问,两队可以同时施工,就是合作,所以乙队满5个月,工作量就是4*2=20,剩下工作量4,这是甲做的,不过题目讲了(时间按整月计算),所以虽然工作量少了,还是算甲一个月,所以答案是5*5+9=34。
    看似很对,其实有问题,因为这里面有额外的成本,只有4的工作量还是要给甲算一个月,所以还要小心的代入一下其它情况,因为这个额外成本很可能不划算。
    甲乙-1:4,6+4*4=20,小于24,时间不够,说明甲要提升一些比例,甲乙-2:3,2*6+3*4=24,成本2*9+3*5=18+15=33.
    所以实际上甲乙做两月和三月才最省钱。
  • .
    没问题,是你自己理解有问题(时间按整月计算)这个说法的意思是最小时间单位就是1个月,因为实际上如果可以按照天乃至于小时计算,答案肯定是不同的,因为工程问题,他为了更符合实际,所以单位选择的是月,如果你觉得不好理解你也可以把月理解为秒。
  • 只重事实
    第二问就是尽可能让乙队干,那么让乙队干5个月就好了,剩下的1/6工程给甲队,这样5个月完成目标,花费就是:5*5+4/6*6=29
    (时间按整月计算)    5*5+9=34
  • ♂丶灬晓淚 生命不止,思考不息!
    全部楼层
    末那识 作者
    感谢赐教(你在评论区发的所有内容——包括这条之后发的——我都认真看了。)
    我查了一下关于十字交叉法的介绍,其似乎是源出化学中混合组分的相关计算,扩展为二元组分混合体系的计算方法,常用于计算二元组分的比例关系。
    然后再看你这里用的十字交叉法,愈发糊涂了。
    你这个交叉法中,内含的是三个实际的量即工效、工时、工程量(或者说六个,甲、乙各这样的三个),所以计算出来的结果应该不出这三类量的范围,而其中的“相等关系”也不出这个范围。我看不懂的是你这个十字交叉法中的“相等关系”究竟是什么,但似乎与费用没什么关系。
    十字交叉法,我理解,无非是二元一次方程组的简便图示计算技巧。
    如果我的理解无差,那你这个十字交叉法的背后也该是一个二元一次方程组。
    可否请你将你这个十字交叉法背后的二元一次方程组列出来?
    (如果方程组中有花费/耗资这个“元”/未知数,那么你这个十字交叉法的计算结果才是有可能与费用相关的,至于是否是最小费用,或者说其中有什么道理,我还想不通。)
    ”十字交叉法“计算所得的右边那列数字(上2、下3),并非耗资(或者说并非与”元“直接相关),而是工时(即工时安排)。因为左边的那列数字是总工时(上4、下6),中间的最小公倍数(即12)也是”最小的工时公倍数“,所以右边的那列数字(上2、下3)自然也是“最小耗资工时”(即满足最小耗资要求的对甲乙的工时安排)—— 这是”十字交叉法“所规定和必然得出的结构与定义。
    而如此”十字交叉法“所得出的右边那列数字(上2、下3),就是甲乙合作下符合最小耗资条件的工时间安排。需要再由这个工时安排进一步去计算,才能得到题目所要求的答案之一的最小耗资的数值(题目要求的设计工程方案,所以工时安排也是题目所要求的答案的内容之一)。
    要注意的是,上排的数字都是甲队的(右边得出的2也是甲队的,尽管它是通过乙队的6与最小公倍数12去计算得出的,但变成了归属到甲队的结果。这其中的逻辑就是:12是甲队与乙队的最小公倍数, 两队合作,以及“十字交叉法”的计算所内含的逻辑。换个简单的解释说明的话,就是我说过的“甲队更贵,要共同完成而耗资最小,就要尽量安排甲队少干活”)。
    别要我列方程组了,真列出来,你说给孩子听,小学的他也听不懂——他都还没学到/过二元一次方程组这类方程的初级知识的,二元一次方程组是初中的教纲内容。事实上,在现实中的小学教育里,也根本不会用列方程组的方式去教授”十字交叉法”的知识与逻辑——同样是因为孩子更听不懂,同时用限于初级义务教育阶段(甚至包括初中)的知识前提和语言,也很难简单清晰地描述出方程组与”十字交叉法”的之间知识与逻辑的关系。所以,小学学习和教授“十字交叉法”,是通过小学教材里的其它形式的逻辑思维的方式去教授的——并且主要是通过讲解习题的方式,而非通过直接的解释性、推导性的逻辑语言去教授的。你可以或者让他去翻学他的数学教科书,外加多做习题。
    而高效掌握这种知识的本身就是带有不小的死记硬背的特征的,就像“1+1=2“无需搞清楚逻辑,只需要死记硬背那样。也正因此,“对十字交叉法”的概念掌握及其背后的推导逻辑理解,对很多小学生而言是做不到通透的,只能限于粗浅理解和熟练的运用。
    总之我只能这么说:“十字交叉法”本身就是数学中更高级的代数与矩阵的雏形性或“最基本”的知识,就像”1+1=2“是计数的基本知识那样。所以,能够运用”相对高级的数学的知识“去解答一些问题,必然是比用”最基初的数学知识”去解答更高效。比如“鸡兔同笼”之类的问题,用“十字交叉法”就高效得多。
    而如果硬要由低阶的数学,去”逻辑式、语言式地推导出“高级的数学,以彻底搞清高级数学的基础知识与内涵,那就需要掌握诸多中、低级的数学知识了。这并非对小学生适用的——虽然在现实中的教育也可以那样去教,但其低效、进度缓慢、错过最佳的基础知识教授与奠基的时机等弊端,还不如“通过练习题讲解”和让其死记硬背来得好。虽然如此做,会对小孩的数学逻辑思维能力有培养不足的缺陷,但是一些最常识的、基本的数学逻辑与思维的推导能力,是否必须具有,又是否不能通过以后掌握足够的知识再回头去理解透,就有争议了。所以,你想要让孩子更效率地掌握“十字交叉法”,还是得按上文黑体所述的办法去做。
  • 第二问就是尽可能让乙队干,那么让乙队干5个月就好了,剩下的1/6工程给甲队,这样5个月完成目标,花费就是:5*5+4/6*6=29
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    Jarod
    我挺诧异这么一道例题怎么还在讨论,几乎所有人都搞错了“时间按整月计算”的意思,绝大部分人都缺乏孩子这阶段的学习体系,不严谨同时逻辑判断有问题。
    我已经说过了,这是三四年级小奥的工程题,考察点是分数运算,在这个阶段他们还在练的有大量年月日计算,所以这里说到的“时间按整月计算”指的不是结果取整月或者各队费用按整月结算,仅代表他表述的按整月计算,不涉及其他,你们几乎所有人都做了过度解读。
    这类题如果涉及只取整月和结算按整月,他的表述会是“时间取整月”或者“不足月按整月计算”这类说法,所以是你们读题不准确。因此第二问的费用是31万,不是你们大部分人推崇的3/2月分配的33万。你们的读题精准性存在问题,也不去想如果如你们所想该怎么注脚,该想少的地方想多了,该想多点又想少了,导致出现歧义。
    这题是不是容易造成歧义?是的,对于经历过系统化学习的应该是可以准确抓取到“按”和“取”的区别,也应该知道如果要对月取整题目会用什么话术,但对于普通孩子就容易产生歧义。还有就是我说它是这一阶段的题,如果作为小升初分班题的话,这仅仅是例题水平,不应成为区分题目。
    这题的话术只能算常规,现在的课内教育也非常讲究用词的精准性,等你们的孩子上了初中就明白了,现在的史地政生数物很大程度上是在考语文了。
    那倒是,如果这一问不加这个括号的内容,大多数成年人反而还会按这个括号的意思计算
  • 方头狮 这是你的观点,还是你的信仰?
    确实小学题目
  • 末那识 学以养识,以识统学。(心迷法华转,心悟转法华) 作者
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    ♂丶灬晓淚
    (题外话,我挺无聊的,所以还是详细帮你辅导下你孩子吧——注黑体的文字、文字,以及贴图里的”数字矩阵“是正式答案——全部按黑体和贴图里的”数字矩阵“写答案就行。其他话语乃是有助分析、解答、教学的话语)
    鉴于是小升初的试题,即考的是小学的学纲,而小学虽然没学未知数与方程,但却学了“设总体为‘1’”,也初步学了最小公倍数和初步运用最小公倍数的“十字交叉法”,所以正规答案如下:
    解答:
    (1)、设总工程量为“1”,甲队的每月工程效率为1/4,乙队的每月工程效率为1/6,得        
                 两队共同合作,1÷(1/4 + 1/6)=12/5=2.4(个月), 耗资 2.4X(9+5)=33.6万元
    (2)要求”(时间按整月计算)“(即做不满一个月的,按一个月计算,其资金支出也按一个月计算)和最大限度节省资金(即最小的耗资),恰好符合最小公倍数的运用。因甲、乙工程队单独完成分别需4个月和6个月,而4和6的最小公倍数是12,运用“十字交叉法”,得
    jpg
    即甲做2个月,乙队做3个月(同时开工,或者怎么轮流并接手做,都没影响的)。其工程完成情况是,2/4+3/6=1,刚好完成;总支出为2x9+3x5=33万元。
    感谢赐教(你在评论区发的所有内容——包括这条之后发的——我都认真看了。)
    我查了一下关于十字交叉法的介绍,其似乎是源出化学中混合组分的相关计算,扩展为二元组分混合体系的计算方法,常用于计算二元组分的比例关系。
    然后再看你这里用的十字交叉法,愈发糊涂了。
    你这个交叉法中,内含的是三个实际的量即工效、工时、工程量(或者说六个,甲、乙各这样的三个),所以计算出来的结果应该不出这三类量的范围,而其中的“相等关系”也不出这个范围。我看不懂的是你这个十字交叉法中的“相等关系”究竟是什么,但似乎与费用没什么关系。
    十字交叉法,我理解,无非是二元一次方程组的简便图示计算技巧。
    如果我的理解无差,那你这个十字交叉法的背后也该是一个二元一次方程组。
    可否请你将你这个十字交叉法背后的二元一次方程组列出来?
    (如果方程组中有花费/耗资这个“元”/未知数,那么你这个十字交叉法的计算结果才是有可能与费用相关的,至于是否是最小费用,或者说其中有什么道理,我还想不通。)
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    uhlan唐
    你的第二问还是错了,成本高了
    我挺诧异这么一道例题怎么还在讨论,几乎所有人都搞错了“时间按整月计算”的意思,绝大部分人都缺乏孩子这阶段的学习体系,不严谨同时逻辑判断有问题。
    我已经说过了,这是三四年级小奥的工程题,考察点是分数运算,在这个阶段他们还在练的有大量年月日计算,所以这里说到的“时间按整月计算”指的不是结果取整月或者各队费用按整月结算,仅代表他表述的按整月计算,不涉及其他,你们几乎所有人都做了过度解读。
    这类题如果涉及只取整月和结算按整月,他的表述会是“时间取整月”或者“不足月按整月计算”这类说法,所以是你们读题不准确。因此第二问的费用是31万,不是你们大部分人推崇的3/2月分配的33万。你们的读题精准性存在问题,也不去想如果如你们所想该怎么注脚,该想少的地方想多了,该想多点又想少了,导致出现歧义。
    这题是不是容易造成歧义?是的,对于经历过系统化学习的应该是可以准确抓取到“按”和“取”的区别,也应该知道如果要对月取整题目会用什么话术,但对于普通孩子就容易产生歧义。还有就是我说它是这一阶段的题,如果作为小升初分班题的话,这仅仅是例题水平,不应成为区分题目。
    这题的话术只能算常规,现在的课内教育也非常讲究用词的精准性,等你们的孩子上了初中就明白了,现在的史地政生数物很大程度上是在考语文了。
  • 东海野人 不息为体,日新为用
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    LittleAnimalObserver
    “按照整月计算”
    甲队照样按照一个月计算,九万。
    谢谢指教。我的计算确实有误,甲队干2/3个月,完成工程量的六分之一,耗资应该是6万。这样总耗资是31万元。
    当然你说的有道理,按照整月计算,甲队耗资9万元,这样总耗资是34万元。
    但是这不是成本最低的选择,按整月计算的话:
    乙队干满3个月,完成工程量的二分之一,耗资15万元;
    甲队干满2个月,完成工程量的二分之一,耗资18万元;
    这样总耗资33万元,这应该是最低成本方案。
  • 发现顺手就开始设X,Y了,算完了发现不对啊,小学没教这种东西啊
  • 第一题还好说
    第二题超出小学课纲了吧?
  • 东海野人
    第二问,甲乙两队同时开工,
    乙队干满5个月,完成工程量的六分之五,耗资25万元;
    甲队干2/3个月,完成工程量的六分之一,耗资4万元;
    一共用时5个月,耗资29万元。
    “按照整月计算”
    甲队照样按照一个月计算,九万。
  • 真是评论区出大神,我就不写了
  • 秦寿 秦淮翠馆 寿山红田 不若舍断 如雾似烟
    小学算术,千万别想那么多。现实中,一个工程包给两家,工期费用都得延后,搞不好人头打出狗头来。我记得小时候做这类题,都是工人,不是工程队,没有楼主这样的疑问。
  • 第一题其实算的是一起干要多久,那么甲队工作速度是¼,乙队速度是六分之一,合计是单月速度十二分之五。一共要用二又六分之一个月,再×14就是合计花费。第二题是最省钱,考虑到最多五个月,又是针对小学生,穷举就完事儿了,别去折腾什么不等式求最值问题了。先列甲为基数,分别是1到4个月,算出对应乙的月数,以及合计费用。再以乙为基数,分别是1到5,求出对应甲的月数,以及合计费用。找到最低费用方案,结束。

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