学做家长｜记孩子的一次“1.5小时熬战一道数学题”的经历及其收获

烦恼即菩提。

                        ——惠能《六祖坛经》

孩子的教育即家长的修行。

                        ——《学做家长》

原文链接：学做家长｜记孩子的一次“1.5小时熬战一道数学题”的经历及其收获，兼论家长提升自我修养的必/重要性，附对该题的批判性分析

按：笔者在自己的孩子很小的时候就强烈地意识到，家长不仅仅是为人父母的一个身份，更是一个需要学习才能扮演好的角色。所有家长都非常关心孩子的教育，但绝大多数家长往往仅仅是基于身份、而极少基于角色去对待和施行孩子的教育。此言何意？简单说，基于身份，就会将教育对象偏重于孩子，下意识地认为只有孩子需要学习，而自己就是个天然的施教者；而基于角色，就会意识到，孩子的教育不仅仅是孩子自己的事，不仅仅是孩子学习，作为家长更需要学习，学习如何做家长、做更好的家长。反应于现实实践中会怎样呢？打个比方，对于鱼龙混杂的各种教育理念和产品服务，若仅仅基于身份，那就会满足于做一个“知道分子”，这样就会随波逐流、就容易受裹挟；而如果基于角色，那就会努力学习成为一个“知识分子”，去识别真伪优劣，然后“择其善者而从之”并持之以恒、久久为功（而非易受急功近利的诱惑），特立独行。正是因为有这样的认识，所以笔者自孩子两三岁时就开始不断地学习、思考、探索、实践、反省，现在孩子上三年级了，总得来说，笔者对自己在孩子教育上的成果还是比较满意的。有些经验教训和心得体会值得分享，故而新开一个专题，取名为“学做家长”，其主旨是“论‘合格家长’的‘自我修养’”。笔者认为，在当今时代，要想成为一个“合格家长”，就要努力学习提升“自我修养”，包括：人文素养、科学认知（注：指“关于科学的认知”，而不是指——当然也必定要包括一些——“各门具体学科的知识”）、性情涵养。你的孩子能否成为牛顿，你的肩膀有多高是关键之一。切勿误解，这不是说你必须要有胡克一样的科学知识。笔者认为，家庭教育的重点不在知识的教授，而在学习上的引导，这一点可参看拙文《以二年级女儿的一个独立发现为指引得到可推导出九九乘法表的一组公式》文末的“附1：评论”和“附2：三句教”。所以，要想孩子能脱颖而出，随波逐流和依赖于同质化的学校教育是希望渺茫的，因此家庭教育的质量能否出类拔萃就尤为重要。取法乎上，得乎其中。让我们一起“学做家长”，努力学习全面提升自己的人文素养、科学认知、性情涵养，以与孩子更和谐地相处，以给予孩子更好的引导。

导读：

这道数学题（三年级），孩子在上面磨了近一个半小时才豁然贯通，过程于我于孩子虽然都很煎熬（孩子屡次请求甚至哭求讲解辅导均予婉拒），但结果很美好，孩子创造的这种“对列式进行释义”以辅助思考的模式/形式非常棒，我认为值得在家长辅导（仅限于讲一些普适性的思维方法）中推广，甚至学校老师在教学中亦可借鉴。

孩子接连做出的两个堪称出奇离谱的错误作答也是非常有意义的，因为正是通过这两个错误孩子才真切体会到有时做对了也是稀里糊涂地做对的，并非真懂，而在出错之后再自行想通了才是真的懂了。

并且，通过对孩子出错原因的探察，我发现这道题的表述是不严谨、不精准的。所以，迅速理解“正确”题意并顺利作答的孩子，不过是在惯常思维或做题经验、解题套路下的“自行脑补”或“不求甚解”罢了；而如我的孩子的出错，并非说明孩子表现得差，反而恰恰说明孩子表现得好。

2022年1月上旬某日（上学期末月即2021年12月下旬开始因疫情而居家隔离，学生在家上网课）孩子（三年级）在课后作业中碰上这样一道数学题：

孩子与这道题熬战了近一个半小时才豁然贯通，其间我也备受煎熬，庆幸的是，我坚持贯彻了自己的教育理念、守住了自己与孩子约定的原则、hold住了自己几次濒临失控边缘的情绪，而孩子也获益良多。

其中甘苦，回味无穷，值得记录下来，以备过段时间可与孩子“温故而知新”。同时，也是一个分享，希望能给现任家长和候任家长一些有益的镜鉴和启发。

一、这场熬战的详情回顾

孩子读题后之初，可能对这个题设的表述有点懵，所以来咨询我这题目啥意思。

【补充说明：对于孩子的课后作业，从孩子上幼儿园开始，我向孩子强调并与其约定的原则是“三不”即“不辅导、不检查、不打卡（即拍照发班级各科的微信群）”，作业由孩子自己独立完成、检查、订正，偶尔我会抽检。孩子幼儿园期间和未上托管的一年级我就一直这么做的，与孩子相处甚欢（从来没有“一辅导作业就鸡飞狗跳”的情况，因为我根本就不辅导，而孩子的作业完成质量也很好，考试成绩也相当不错），与学校和老师也都相安无事（这里要感谢老师的宽容，没有找我们不在群里交作业的麻烦）。孩子从二年级上托管后，我跟带班老师也强调了“三不”原则，但执行得不太好，因为我们这种情况是异类，老师总会随大流地给孩子们检查/批改作业，但幸好，老师反映，孩子的作业完成质量很好，犯错极少。所以，像这道题这种还没做就来请教的情况是极少发生的，故而我判断可能是因为孩子对这个题设的表述有点犯懵。】

【补充说明：对于这次因疫情居家隔离而上网课的课后作业，我与孩子的约定是，英语作业做不做随她意愿，语文作业是要全做的，数学作业在作业少时就全做，在作业多时就由我勾选几个题做一下，其它的题“读做”即可。这道题就是某次作业中我勾选的题之一。“读做”就是不用动笔写，只要读题然后在心里思考一下怎么做就行了，但碰上“读做”拿不下的题，那就还是要动笔做一下。配合“读作”的是我的随机抽检核查，所以孩子不会在这方面“耍滑头”“钻空子”。“读做”的方式也是从孩子一年级开始就一直采用的。“读做”的方式是我在复旦大学哲学院王德峰老师的讲座中听来的，其来源是王老师的一个同校的数学系的教授，说是“读做”时就可以以轻松的心态并以审美的视角去鉴赏题目，判断哪些题目出得高明，哪些题目出得烂，如果换成自己出题，会怎么出。我觉得甚有道理，于是就跟孩子讲清楚了“读做”的来龙去脉及其道理，并允许她在作业繁多时启用。】

我读了题目后，感觉这题目也不难啊，就在心里猜测孩子的理解究竟卡在哪儿了，但我一时不能确认。于是，我就问她自己是怎么想的。

孩子考虑了大概一分钟后说：

32乘以4等于128，128减去两个边长减80等于48，48是两个宽，除以2等于24，就是一个宽的长度了。

（非她原话，只是大概意思，其中有算式在心算时得数还算错了，但计算步骤大致不差。注意，我这里用的词是“计算步骤”而不是“思路”）

我一听，好着呢，计算步骤（注意，我这里用的词是“计算步骤”而不是“思路”）大致不差啊。于是就“嗯”了一声继而说道：“那就做去吧。”

这一做，好嘛，出问题了竟然，而且是接连出错甚至错的离奇。

下图的草稿记录了所出的错及其过程（其中，标号1的是后来在我拍照时她补写的，这个错是她直接在题目下作答时犯的）：

在我让她去做后，她刚在课桌前坐下，还没对题目作答时，她突然兴奋地对我说：“爸爸，我想到了一个天才的解法。”我说：“哦~！那你写来我看。”

标号1的作答就是她所谓“天才的解法”。

【补充说明：我一直有意识地培养孩子的“独立之思想”，所以我经常鼓励她要有自己的想法，并且经常以各领域的天才为例来说事论理，说得比较多的是科学史上的大咖的事迹及其其中的道理。我还半严肃、半玩笑地经常称呼孩子为“爱因斯坦·曦”。所以，孩子的思维确实比较活跃，也喜欢“胡思乱想”。故而，才有她在这道题上突发奇想，并自称“天才的解法”。对于孩子的“胡思乱想”，我的原则是：其一，鼓励鼓励再鼓励；其二，对于我自己能确凿判断为错误的想法及其指向的问题，我会循循善诱地带孩子思考正确的想法；其三，对于我自己不能确凿判断正误的想法及其指向的问题，我会介绍对这个问题我所知的已有的各派高人的想法，然后强调要孩子根据以后自己的学习体会去判断；其四，对于据我所知还没有人问过的问题，我会大加褒奖，并跟孩子说明，这个问题据我所知还没人提出过，如果确实没人想过这个问题，那你挖到宝藏了，解决了这个问题，你就是伟大的XXX家了。然后，就是顺势强调认真、刻苦学习重要性的说教了：你要想搞清楚并解决这个问题，你需要学习甲，需要学习乙，需要学习丙......】

我看了这个作答后，先是心里偷笑了（这是啥啊，还“天才的想法”呢），然后稳住自己的心神，组织了一会儿自己的语言，继而说道：

“第一，你这个作答不对啊；第二，即使是天才，有时也会想错的，你这个小天才这会儿也想岔道了吧；第三，这跟你刚才跟我说的计算步骤也不一样啊。你再仔细想想去吧。”

于是孩子继续去想，想了几分钟，然后跟我说：“我刚才跟你说的计算步骤是咋说的呢？”

我说：“你自己去想。”

她于是又去想，想了几分钟，还是想不起来。于是又跟我说：“我之前跟你说的计算步骤到底是啥啊，你告诉我嘛！”

我说：“你想不起来，说明你之前是稀里糊涂地对的，并没有真正地弄懂。记得我跟你说过的吗，‘明明白白地做错了比稀里糊涂地做对了更有价值’。所以，你不用去想你之前说的计算步骤是什么，你就重新来思考这道题。”

【补充说明：“明明白白地做错了比稀里糊涂地做对了更有价值”这句话及其道理是我与孩子以前讨论另一道题目时说过的。详见文末“附文：数学题出题原则之我见”。】

于是，孩子又去想，但是还是不行（可能一时想不明白后就又去回想她初时跟我说的那个计算步骤是怎么样的，但回想不起来），于是又来问我，这次是哭求了。我依然不为所动，还是让她忘了之前说的计算步骤重新去思考这道题。但是给了她一个建议，让她将题目逐字逐句连读10遍以好好理解题目的意思。

于是，孩子开读。我听她读题的状态，明显有点小和尚念经的味道。但我并没有说破。

她读完10遍后（是数着遍数的），说她读完10遍了。我问那你读明白题意了吗，她说没有。我说，让你读题10遍，你读不是完成这个10遍的任务，而是要边读边想以理解题意啊，你数着遍数读说明你没有认真去读。然后让她继续读题，但这次又给她加了个建议，让她边读题边画图去辅助思考和理解。

【补充说明：“图解法”我之前教过她几次，并建议要常用。我教的图解法是：将题目中的每一句话都以图示的形式表示出来，一为辅助理解和思考，二为避免犯“自以为是”（在所难免）的错误。】

于是，孩子又去想了，也画了图，并且作答了，见草稿照片中的标号2。

孩子拿来我一看：妈呀，这思路，都乱成一团麻了。赶紧稳住自己的心神和情绪后，我跟孩子说：“你这个有点想多了，想复杂了，或者想岔道了，从你这个作答中，能看出来你的思路乱得厉害，完全没有理解题意。再去认真想想吧。”

我话音刚落，孩子就彻底崩溃了，哭了起来，哭得那叫一个伤心。

想想也是，孩子被这道题以及我（倔强地坚守原则）“折腾”了将近一个小时了，结果却不仅没闹明白反而越来越迷乱，孩子肯定对自己有些沮丧、对我有些怨气。

深呼吸，稳住自己的心神和情绪，先是插科打诨地逗了几句，然后就是温柔地搂她在怀里让她哭了一会儿，再然后，就言归正卷了。

先是安抚、开导。

我跟孩子说了两点：其一，跟她说，“题目还得你自己去想明白，我不能讲解，一讲解你立刻且轻松地就明白了，但这不是你自己想明白的，所以其实你还不一定真的明白，这个道理就像我们玩的猜字谜，你自己一时半会儿猜不到然后非要我给提示，结果我一提示你就猜到了，但这不是你真的猜到的”；其二，跟她提起了《大学》中的“定、静、安、虑”，意思是让她调整好情绪，“定”心、“静”心、“安”心，然后去“虑”——思考，才更能有“得”——想通、想明白。

孩子在我的安抚、开导下很快平静了下来。

【补充说明：“其一”提到的“猜字谜”是我和孩子从她一年级逐渐认字起就开始的游戏，其一大特点是所有谜面都是我自己构思、设计出来的。“其二”提到的“定、静、安、虑”方能“得”的道理也是之前跟她讲过几次的，第一次讲的契机是我在听《大学》的相关讲座时她好奇的问，我就讲了“定、静、安、虑”方能“得”的道理，并与她分享了我自己的亲身经历和体会，之后几次讲都是她自己处于相关情境中时，我跟她再讲这个道理，她自己也实践并有所得了，所以她还比较认可这个道理并有自己的体认。正是有之前我们这些沟通的基础，所以孩子能很快平静下来。】

于是我跟她说回到这道题。

我以分析她的思路为什么错乱的方式给她提了个建议，原话我记不太清了，大概意思是：你列的算式你自己要明白你要算什么、算式中的每个数分别对应什么、每个算符又是要干什么。

然后孩子就继续去做了。这次孩子的状态明显就不一样了，我的感觉就是“很安静”，脸上也是一副认真思考的表情。

【补充说明：从幼儿园开始，孩子写作业时，我总是离她远远的，并总是让自己忙起来，这样孩子想问也不方便，就只能自己思考、自己做。这次居家隔离期间也类似，我们各自做各自的书桌，相隔“遥远”。所以，孩子的表情是我偷瞄到的。】

十几分钟后，她完成了这道题，就是草稿图中的标号3的作答。

我一看，非常好，不仅三个算式都列对了，而且每个算式下面孩子还写了对它们的释义，并且语言通顺清楚、释义准确无误。

当时的感觉是：煎熬，终于结束了！

于是，我将孩子大大褒奖了一番。

随后，孩子将草稿上的正确作答写到作业的题目下面就高高兴兴地玩去了。

事后，我跟孩子又对该题以及孩子当时的思考过程尤其是两个错误作答究竟是怎么想的、为什么那么想等细节做过多次讨论，在这个犹如“破案”的多次讨论中，我才终于弄明白了所有细节，孩子也从讨论中获益良多。

二、这场熬战收获的成果

1、孩子明白了做对了不代表真懂、做错了不代表就笨甚至反而代表高明

做对了不代表真懂

小学数学的题目尤其是这类数学应用题，其作用不仅仅是考核孩子对具体数学知识的掌握情况，更是或者说更应该是——这要视出题人的数学修养（注意我说的不是数学知识及其技巧能力）而定——引导孩子对数学理念（数学的严谨性——体现在题目的表述中——和数学抽象的思维及其能力）的领会，同时要呵护好孩子在数学上的灵性——这就意味着出题本意不能走偏到为了考倒孩子而刻意设置不合理的障碍、甚至是恶意挖坑（关于这一点，这里不展开，将另文讨论）。

这道题

王大爷买了一些篱笆，计划把边长为32米的正方形菜园围起来。如果这些篱笆也正好能把一个长40米的长方形菜地围起来，这个长方形菜地的宽是多少米？

表面上看，难度不大，我也相信绝大部分孩子都能顺利做对，但这不代表孩子真明白（犹如我的孩子在刚开始跟我口述时其计算步骤是对的，但动笔作答时又由于原有的初始疑虑“作妖”而逐渐陷入迷乱导致接连做出两个出奇离谱的作答），或许连我的孩子最后想通时的那种明白程度（表现在孩子对各算式的释义上）都没有达到，遑论真懂了最应该懂的东西（主要指上文提到的“数学理念”，详见后文的深入分析与讨论）。

我的孩子经过了“从表面上的懂（口述计算步骤时是正确的）到发觉自己其实不明白（动笔作答时接连出错）再到最后真的懂了”这样一个过程，使她对“做对了不代表真的懂”再次有了切身体会（以前也有，这次更深刻），明白到不能止于“不求甚解”就得来的正确，而要做深度思考（当然了，要在力所能及范围内）。

做错了不代表就笨甚至反而代表高明

这道题：

王大爷买了一些篱笆，计划把边长为32米的正方形菜园围起来。如果这些篱笆也正好能把一个长40米的长方形菜地围起来，这个长方形菜地的宽是多少米？

应该说，其本身所表现出来的立意——无论是否出题人的本意——还是相当高明的，试作如下拆解：

相对比较简单的，是所考核的知识点，即长方形和正方形的周长的概念及其相关计算；

相对较难一点的，是从题目对具体场景的文字描述中做数学抽象提炼出数学算式；

最难的一点在于，将分别经过数学抽象得到的长方形的周长与正方形的周长，再次通过对题目中的关键字词的数学抽象，建立起数学上的“相等”关系（其实涉及到数学量的比较，即通过“甲与乙相等”和“乙与丙相等”得到“甲与丙相等”，即通过“甲=乙”和“乙=丙”得到“甲=丙”）。

然而，其表述却存在两大缺陷。

其一、不贴合现实。

其表现是，根本没有给出一个现实且合理的说法来表述“正方形菜园的周长和长方形菜地的周长这两者是相等的”这个关键数学关系。

其二、不严谨、不精准。

其表现是，有歧义或者说表述的指意是不明确的。

对这两大缺陷的具体分析详见文末所附“对该题的批判性分析”。

所以，绝大多数孩子的迅速理解“正确”题意并顺利作答的表现，可能不过是在“惯常思维”或做题经验、解题套路下的“自行脑补”或“不求甚解”罢了

而我的孩子之所以陷入迷乱并且错得离奇，就是因为在上述“最难的一点”上产生了困惑，而产生困惑的原因却是题目在表述上的上述“两大缺陷”尤其是“其一”的缺陷。

所以，虽然我的孩子在这道题上出错，但错在“最难的一点”也是对学习数学来说最重要的一点上，而这一点恰恰又是体现孩子“数学灵性”和对数学的“直觉”的关键。此言何意？这个解释起来比较费劲，总之是对习以为常的东西要保持一种直觉的批判性的“数学灵性”，而不为其所固化、桎梏，这是真正的创造力的源头活水。想要深入了解的话，请参看如下两篇文献：

对1 + 1 = 2 的好奇心

构建数学和物理基础的范畴论：用「等价」取代「相等」丨众妙之门

顺带说一句，看这种文献不是为了学习其中的具体知识以备去教孩子，而是如我在文首的“按”语中所说的，提升自己的“科学认知”，也就是扩展视野、提高见识、提升审美（判断力），以更好的引导孩子，或至少，不至于成为误导或绊脚石甚至刽子手。

如我的孩子在这道题上的经历，算是因祸得福吧，体会了一番上文提到的“数学理念”。而这又得益于我的“科学认知”，否则我不会从这道题中深究出这么多道理并在跟孩子的讨论中引导孩子自己去领会，也不会不仅不批评孩子的出错反而大赞错得有价值，这样既鼓励了孩子敢于独立思考而不怕犯错的勇气和精神，也呵护了孩子的“数学灵性”和“数学直觉”。

2、孩子在通过自己的独立思考解决难题方面多了次经验、增强了自信

“详情回顾”中提到我和孩子自她识字起就经常玩猜字谜的游戏，而且谜面都是我自己设计的，有时也让她自己设计谜面让我猜。

猜字谜的过程中，孩子体会到，有时对于一时猜不出的字谜，如果稍加提示，就能马上猜出来。但这不是自己独立猜出来的，也说明其中有关键环节自己没有想通。

其实，孩子做题的道理也与此类似。家长稍加辅导，也许孩子就会做了，而其实，孩子可能没有真的明白，自己也缺失了独立思考解决疑难的经验——这些通常是“默会知识”（用know-how或许更能清楚表达其意）。而欠缺了这些经验，孩子在练习题中就会碰到更多一时想不通的疑难，然后惯性地依赖于求助家长或老师的讲解。久而久之，孩子独立思考勇气和能力就降低了。

所以，关于作业，我跟孩子约定的原则就是“三不”（我对她的作业“不辅导”、“不检查”、“不打卡”），自己独立完成，遇到疑难自己思考解决，做完自己检查，由于“不打卡”，所以若有题目当天想不通可以暂时放下、以后再补。

因此，我才会放任孩子在这道题上耗费近一个半小时，而且在她几次请求甚至哭求讲解时，我都坚决婉拒了。

这才使得孩子通过熬战这道题在自己的独立思考解决难题方面多了次经验，同时也增强了自信。

3、孩子发明了一个值得推广的“对列式进行释义”的辅助思考的模式/形式

孩子最后的“正确”（若考虑到题目表述的不严谨、不精准，这个正确要加引号）作答如草稿照片中的标号3，为清晰显示，另制图如下：

看到这个作答，当时我就惊呆了！

孩子不仅做对了，而且创造了一个非常棒的辅助思考的模式/形式，即：

“对列式进行释义”。

其背后的道理在于：当语言“通顺”时，一般而言，算式就是对的并且思路也是对的；反之，算式就是错的并且思路也是错的，或者，即使算式是对的，但其实在思路上还是懵的——没有真的想通。

虽然我在跟她分析她前几个作答为什么错乱时说过这个大概意思，但孩子能迅速领会并将其落到实处且丰富了细节而形成书面形式，这就难能可贵了；尤其是，我马上意识到，这种“对列式进行释义”模式/形式孩子只要此后常用，对任何数学题基本都能无往不利；并且，我认为值得在家长辅导（仅限于讲一些普适性的思维方法）中推广，甚至学校老师在教学中亦可借鉴。

三、家长提升“自我修养”的必要性和重要性

看过“详情回顾”当知，事中（孩子熬战该题全程）我还没发现题目表述是有问题的，所以也只是惯常思维下的去按套路理解题目，觉得题目不难。

诸君设身处地，如果你是我，你会在各个节点上有怎样的反应或表现。

反正，老实说，虽然我自问在“性情涵养”方面的功力也有一定的火候，但是期间我也有几次差点hold不住——或者答应孩子的请求/哭求给她讲解算了、或者爆发怒火训斥孩子（上演“一辅导作业就鸡飞狗跳”的戏码）。

如果禁不住孩子的请求/哭求而给孩子讲解了题目或哪怕是稍加点拨一下，孩子虽然能迅速明白并正确作答，但其思考上的卡点可能并未得到解决，孩子也错失了自己独立思考并想通的机会，更不会有最后的“对列式进行释义”这种辅助思考模式/形式的创造性发明。

如果对

孩子作答中的离奇错误

和/或其长时间都想不明白这道不太难的题目

和/或设若经过我们自认为严谨精细的讲解后孩子还是一脸懵的“笨”样儿

感到气恼甚至愤怒继而对孩子大发脾气宣泄自己的情绪，那不仅是对孩子的情感上的伤害，更会让我们在事后汗颜的是我们可能其实冤枉了孩子——因为孩子的不明白恰恰是因为ta们敏锐地直觉到了题目表述的缺陷（导致孩子疑惑、迷乱之处）。

这个案例表明，“一辅导作业就鸡飞狗跳”的病根可能不在孩子身上，而在家长自己身上，那就是家长的“自我修养”。

从该案例中我们可以体会到，“合格家长”应该在“明理”（包括“人文素养”和“科学认知”两方面）和“养性”（指“性情涵养”）两方面具备一定的“自我修养”。

“明理”方面：

1、“一辅导作业就鸡飞狗跳”的速效且正确的唯一解决之道就是坚决不辅导孩子的作业，小学阶段的作业相对于现在这些小朋友的智力水平来说，真的没什么难的（数学院士看到都头疼的愚蠢题目除外），只要静下心来认真思考，都能独立完成。所以，一定要相信孩子能行，对于作业可以坚决放手让孩子自己独立完成，必要时当婉拒孩子的辅导请求。小学养成习惯了，中学自然也不必辅导了，况且随着孩子年级升高，即使你想辅导可能也有心无力了。

2、明明白白地做错了比稀里糊涂地做对了更有价值。做对了或许没啥了不起，因为有可能是稀里糊涂地的做对了，其实可能没有真懂；而做错了以后再去静心思考然后想明白了那肯定就真懂了。所以，对于错误，不必苦恼，而应欢迎，因为错误是取得真正进步的阶梯。

3、思路清奇的错误相对于中规中矩的正确更有价值。我们家长要守护孩子的灵性，只要是独立思考所犯的错误，无论错得多么离奇，都要尽量先行肯定、鼓励其独立的思考（须知天才才会思路清奇故而难免犯错多多天才经常是一天有十个新鲜想法但有九个半都是不靠谱的，但某天可能就有那半个靠谱的能生发出伟大的成果）。因为，独立思考才能有所发明、创造。我们家长不但要宽容孩子在独立思考中所犯的错误，甚至要鼓励孩子勇于犯错的精神。

4、切忌“以己度娃”。人的思维的发展自有其年龄上的规律，并且，人的思维与其所学习积累得来的经验是息息相关的。因为，人对世界的经验其实就是语言的经验（这个道理来自马克思学说，但是否马克思说的，我不确定）。不同年龄段的人，其语言经验是不同的，年龄大的一般要更丰富一些，所以思维相对成熟一些。同为成人，不同的语言经验也塑造不同的思维水平或思维方式，“隔行如隔山”、“不明觉厉”、“字都认识系列”（常见于大众对科技论文或新闻报道的理解困难，每个字都认识，但不解词意、句意、文意）这些俗话就印证了这个道理。所以，在辅导作业时，不要自以为是的以为自己的讲解都多么细致、缜密、透彻了而孩子还是不明白就认为孩子怎么这么笨，而要充分认识并理解孩子自有孩子在理解能力上的局限和难处，而你并没有洞察到孩子思维、理解上的难点、卡点所在。

5、孩子身上的问题其根源出在家长这里。按上述第4点的“语言经验”之说，孩子在学校所得的语言经验是基本相同的，唯一不同处在于在家庭所得的语言经验。所以孩子如果思维混乱、理解困难，根源在家长，家长首先要自我批评——而不是先批评孩子，然后找到问题所在并予以改进。

6、沮丧、慌乱、焦躁、愤怒等情绪不仅于事无补，还会让事情变得更糟糕，“定、静、安、虑”方可“得”（见国学典籍《大学》：“知止而后有定，定而后能静，静而后能安，安而后能虑，虑而后能得”）。这一点，对于家长和孩子都适用。要好好跟孩子一起学习、领会其中精义，运用于实践定会受用无穷。

“养性”方面：

1、去妄。去除自己的妄念，因为妄念是不如意的根源。

2、克己。克制自己的情绪，因为情绪是乱分寸的根源。

“明理”与“养性”是“修养”的一体两面，是互为表里、相互促进的；“修养”要学习，“明理”是“学”，“养性”是“习”（即“实践”），学而时习之。

附、对该题的批判性分析

原题照录如下：

王大爷买了一些篱笆，计划把边长为32米的正方形菜园围起来。如果这些篱笆也正好能把一个长40米的长方形菜地围起来，这个长方形菜地的宽是多少米？

因何批判

详情回顾的开头我已说明，孩子刚开始来咨询我“题意”而被我反问她自己怎么想的时，她口述给出的计算步骤及其分步算式是正确的，只是随后自她突发奇想想到一个“天才的解法”开始，她的思路逐渐偏离“正轨”（注意我加引号了）而陷入“迷途”，从她的作答来看，思路简直错乱得离谱出奇，甚至都看不明白。

那么，问题来了：

问题一、孩子刚开始口述自己的理解时为什么能给出正确的解法（计算步骤及其分步算式）？

问题二、既然她知道题目的解法（计算步骤及其分步算式）那又为什么还要来咨询我题意呢？

问题三、口述了正确解法但为什么动笔作答时却又接连出错、而且错得离谱甚至于看不明白其中的思路？

问题四、孩子最后的正确作答是因为想通了什么也即导致她接连作答出错的思路上的卡点或者说岔点究竟是什么呢？

下面，我们对上述四大问题分别展开分析、讨论。

对“问题一”的分析、讨论

问题一、孩子刚开始口述自己的理解时为什么能给出正确的解法（计算步骤及其分步算式）？

这道题，以我们家长/老师的眼光，初一看，不难，中间只转了一个弯，题目的“题眼”是“也正好”三个字，这三个字相当于等式中的“=”，连接起了两边的算式即对第一句话作数学抽象得到的正方形的周长算式和对第二句话作数学抽象得到的长方形的周长算式。

相信绝大部分学生，在未及深思而仅略微思考一下（我这里用词很怪，不过看完后文你就明白了）就均能迅速准确的抓住这个“题眼”，然后按正确的计算步骤分别列出每一步的计算式，或者，仅仅根据做题经验和思维惯性以及老师教过的解题套路，也能按正确的计算步骤分别列出每一步的计算式。

我孩子刚开始在向我口述的计算步骤也是正确的，但她属于哪一种情况，我不太确定——即使在事后我们的讨论中她说她后面思路错乱的作答是因为没有注意到“正好”这两个字。

对“问题二”的分析、讨论

问题二、既然她知道题目的解法（计算步骤及其分步算式）那又为什么还要来咨询我题意呢？

既然孩子刚开始是有自己对题意的一种理解并按其理解口述了对应的解法，那孩子为什么还要来咨询我题意呢？这说明孩子对自己的对题意的理解还不太确认。

为什么孩子对自己的对题意的理解还不太确认呢？对这个疑问的解答才是搞清楚“问题三”和“问题四”的核心，也是解开“问题三”和“问题四”谜底的钥匙。而对这个疑问的解答又与“问题五”直接、紧密相关。

可惜的是，我在孩子口述出了正确的解法后，以为她理解了题意，就没有在意这个疑问；而在孩子随后动笔作答接连出错的过程中，我又简单地以为孩子没有理解题意或者是想多、想复杂了，从而忘了这个疑问。因此，实话说，孩子受的一个多小时的折腾有点冤屈，首要责任在“出题人”（这个疑问与“问题五”紧密相关），其次责任在我，所以我受的一个多小时的煎熬完全是咎由自取、一点都不冤屈。

我真正地彻底搞明白这个疑问，还是直到前几天（好像是2022年2月16日）我和孩子再次对这道题的讨论（因为要写这篇文章，我跟孩子已经讨论过多次，就想搞明白她当时思考中的细节），我忽然之间觉察到，原来这道题的表述是不严谨的，有歧义的，而正是这个“歧”，才让孩子刚开始时对自己对题意的理解不太确认，也才让孩子在动笔作答时接连出错、而且错的匪夷所思。这一点，详见下文对“问题五”的讨论。

对“问题三”的分析、讨论

问题三、口述了正确解法但为什么动笔作答时却又接连出错、而且错得离谱甚至于看不明白其中的思路？

在事后我与孩子的多次讨论中，我才搞明白她的两个错误作答为什么错得匪夷所思以至于都看不出其中的思路。

孩子说，她那两个错误作答依据的是对题意的如下理解：

将边长为32米的正方形以其中一对边不变、而另一对边拉长为40米的方式拉伸得到一个长40米、宽32米的长方形。

正是基于如此理解，孩子的两个错误作答就很好理解了：她已经从其对题意的理解中得知长方形的宽是32米了，相当于是“已知”的了；而两个错误作答所列的算式，绕来绕去不过都是为了将要求解的长方形的宽算为32米，也即算不成32米她就下意识地以为算错了，反正怎么着都要将要求的长方形的宽算为32米；于是，标号1的错误作答——她自称的所谓“天才的解法”——就看起来那么好笑，简直是“循环计算”，标号2的错误作答也是以先定的答案（即32米）为目标来凑算式，只不过是因为我建议她以图解的方式去辅助思考，所以算式看起来比标号1的作答要复杂一些。

那么，孩子对题意的上述理解又是从何而来呢或者说基于什么呢？乍一看，似乎是毫无根据，是无中生有，甚至是简直有点无厘头。但孩子给出了她的这个理解的思考基点，即：

篱笆在围起正方形菜园后是有富余的，此时篱笆长度未定。

正是基于此点出发的思考，才将“正好”理解为全部篱笆（围起正方形的和富余的之和）的长度与长方形的周长相同，而这个长方形是将正方形以前述方式拉伸（宽不变仍为32米，长度拉长为40米）而得到的。

若不深入体察，会觉得这个思考基点仍然是毫无根据、无中生有、简直无厘头。但真的是这样吗？非也！详见下文对“问题五”的讨论。

对“问题四”的分析、讨论

问题四、孩子最后的正确作答是因为想通了什么也即导致她接连作答出错的思路上的卡点或者说岔点究竟是什么呢？

据孩子自己在事后我们的讨论中所说，她是注意到了“正好”这两个字，而前面两个错误作答是忽视了“正好”这两个字。

按照我前文对前三个问题的分析、讨论，实际情况可能是：孩子之前对“正好”两个字的理解有偏差——从“离题”的思考基点开始的想岔了道的理解，而最后的正确作答是“放下”（不再执着于）了这个理解偏差后回归到了对“正好”这两个字的理解的“正轨”，也即是说，回到了“惯常”的理解模式，于是就做出了“惯常”的“正确”作答。

“改邪归正”、终成正果，似乎很好嘛。但我以为，这仍然不究竟。为什么这么说，且看下文。

综上所述，以上四个问题，如果我们只是从“做题者”的视角来分析，我们是无法得到一个缜密、自洽、合理的解释的——虽然对单独的每一个问题都似乎能给出合理的解释；而只有从“出题者”（以审美/鉴赏）的视角来分析，我们方可将这四个问题纳入一个解释框架且其解释缜密、自洽、合理。

从“出题者”的视角，我们就要再问一个问题：

问题五、这道题的表述是贴合实际并且严谨而无歧义的吗？

如何批判

现在，我们以“出题者”的视角——以审美/鉴赏的眼光——来看这道题。

我们先再来认真阅读一遍题目（我认为的关键字眼已加颜色标记）：

王大爷买了一些篱笆，计划把边长为32米的正方形菜园围起来。如果这些篱笆也正好能把一个长40米的长方形菜地围起来，这个长方形菜地的宽是多少米？

应该说，其本身所表现出来的立意——无论是否出题人的本意——还是相当高明的，试作如下拆解：

相对比较简单的，是所考核的知识点，即长方形和正方形的周长的概念及其相关计算；

相对较难一点的，是从题目对具体场景的文字描述中做数学抽象提炼出数学算式；

最难的一点在于，将分别经过数学抽象得到的长方形的周长与正方形的周长，再次通过对题目中的关键字词的数学抽象，建立起数学上的“相等”关系（其实涉及到数学量的比较，即通过“甲与乙相等”和“乙与丙相等”得到“甲与丙相等”，即通过“甲=乙”和“乙=丙”得到“甲=丙”）。

然而，其表述却存在两大缺陷（抛弃成见——惯常思维下的“自行脑补”、“不求甚解”——然后稍作深思并推敲一番就不难发现）。

其一、不贴合现实。

其表现是，根本没有给出一个现实且合理的说法来表述“正方形菜园的周长和长方形菜地的周长这两者是相等的”这个关键数学关系。

于是，孩子就会很现实的想东想西（意欲脑补缺失的剧情细节）：

比如，王大爷买的篱笆到底是多长呢，不会那么巧刚刚好围起正方形菜园不短也不长吧（第一句话中用的是“计划”二字，那所买的篱笆究竟是短缺了还是有富余了，都不确定）；

再比如，王大爷是怎么知道（以哪种方式或通过哪种途径发现）围起正方形菜园的篱笆也能正好围起长方形菜园的呢；

还比如，计划围正方形菜园的篱笆怎么就突然没来由地跟长方形菜地扯上关系了呢——这到底是什么不正常的关系啊；

等等。

其二、不严谨、不精准。

其表现是，有歧义或者说表述的指意是不明确的。

以下做详细深入分析。 

1、这道题分为两句话，两句话之间的关联是用篱笆的长度将正方形的周长和长方形的周长联系（注意，我这里没有用“相等”）起来，而表述这种联系的字词是“也”和“正好”“能”。

2、从第一句话中，是不能确定买了的这“一些篱笆”究竟是多长的——虽然后面说了“把边长为32米的正方形菜园围起来”。因为这句话用的用于关联的词是“计划”，而“计划”在执行/落实后的结果有可能达成预期、也有可能达不成预期；也就是说，有可能所买的这“一些篱笆”的总长度不足以将正方形菜园围起来、也有可能围起来还有富余。如果从这第一句话就理解出所买的这“一些篱笆”的总长度等于正方形周长，那恐怕是因为“自行脑补”或“自作多情”（因为是“计划”而不是“刚好”）。

3、从第二句话中，我们可以确定“这些篱笆”的长度与长方形菜地的周长是相等的吗？“能”只是一种“定性”表述而不是一种“定量”表述，代表的意思是“这些篱笆”的长度“不小于”长方形菜地的周长，“不小于”包括了“等于”和“大于”（“大于”即代表“这些篱笆”围起长方形菜地后还有富余）。那么在“能”前面所加的“正好”两个字是否就能将这个“能”所指代的意思严格确定为“等于”呢？这一点我也不太确定，只是直觉上感觉“未必”。从语义上来说，“正好”既可以理解为数量上的关联，也可以理解为事务上的关联——即这些用来围正方形的篱笆“也可用于”围长方形。当然，有人或许会认为，语义要在语境中确定，这是数学题，当然要以数学题的语境将这个“正好”理解为数量上的关联了，这样这个“正好”就表示“这些篱笆”的长度与长方形菜地的周长“正好”相等了。对于这个争辩，我要说，请注意，这个题目的表述完全是生活场景化的，刻意回避了数学化的表述，数学的内容是要从这个生活场景化的表述中抽象出来的，你之所以能轻松做到将出题人意欲考察的数学内容从中提取出来，那多半不是基于缜密的语义分析和数学抽象，而仅仅是基于惯性思维或者积累的做题经验/套路（做题家、手孰而已）。

4、现在将两句话连起来看。首先可以确定的是，第二句中的“这些篱笆”与第一句话中的“一些篱笆”是“等同”的（其实以集合论的观点来看，也未必，但纠结这一点，显得我有点无事生非了，权且不论）。“也”字在这里起什么作用呢？从语文的角度看，去掉这个“也”字，句子的意思是一样的，因为“这些篱笆”与“一些篱笆”足以表达其意，加个“也”字属于重复性表达；即使我这个分析是错的，但至少是个真实的感觉，孩子们也会有这样的直觉的，这就足以误导孩子出现理解偏差；但这个问题不是数学问题，而是一个语文问题，而且是这个年龄段的孩子还不具备应对能力的语文问题。但这个“也”字在出题人的本意中应该是联结前后两句话中相关数量关系的不可或缺关键词，那么我们再来看看即使按出题人的本意，其表述能否精确表达其本意。在句子中，“也”是与“正好”、“能”连在一起的，那么我们看看“也正好能”这个表述。“也正好能”至少可以有三个理解：“正好也能”，“也正好”“能”，“也能正好”。前两个理解的表述其实属于一种，因为其其重心都在“能”，“正好也”和“也正好”是修饰语，这种表述所能表达的意思在上述第3点中我们已经分析过，是不确定的——表达的意思不唯一且数量关系不确定。只有第三个表述“也能正好”表达的意思是唯一的、数量关系确定的，能精准表达出题人的本意。

【补充说明：这里的分析涉及到语言学上的“能指”与“所指”的概念。“能指”就是一个表述能够表达/指向的意思，通常有多个；“所指”就是一个表述在具体的语境中所特定表达/指向的某一个意思】

分析完毕（有不尽之处请参考下文我对这道题的表述的各种修改方案）。

所以，绝大多数孩子的迅速理解“正确”题意并顺利作答的表现，可能不过是在“惯常思维”或做题经验、解题套路下的“自行脑补”或“不求甚解”罢了。

而我的孩子之所以陷入迷乱并且错得离奇，就是因为在上述“最难的一点”上产生了困惑，而产生困惑的原因却是题目在表述上的上述“两大缺陷”尤其是“其一”的缺陷。

破而后立

那么，这道题

王大爷买了一些篱笆，计划把边长为32米的正方形菜园围起来。如果这些篱笆也正好能把一个长40米的长方形菜地围起来，这个长方形菜地的宽是多少米？

应该怎么表述才更好呢？以下是我的尝试。

如果要让表述最符合实际场景，那就要在表述结构上做大的修改。

比如：

王大爷买了一些篱笆，把边长为32米的正方形菜园围了起来，后来又将它们拆下来围一个长方形的菜地，也能正好围起来。如果这个长方形菜地的长是40米，那么它的宽是多少米？

或者：

王大爷买了一些篱笆先后用来围过两块菜园，发现围起一块正方形菜园的篱笆也能正好将一块长方形菜园围起来。已知正方形菜园的边长为32米，长方形菜园的长为40米。问：这个长方形菜园的宽是多少米？

如果保持原题的表述结构，那只要稍微调整即可。

比如：

王大爷买了一些篱笆，计划把边长为32米的正方形菜园围起来。如果围起正方形菜园的这些篱笆也能正好把一个长40米的长方形菜地围起来，这个长方形菜地的宽是多少米？

或者：

王大爷买了一些篱笆，刚好能把边长为32米的正方形菜园围起来。如果这些篱笆也刚好能把一个长40米的长方形菜地围起来，这个长方形菜地的宽是多少米？

或者：

王大爷用篱笆把边长为32米的正方形菜园围了起来，如果这些篱笆也能刚好把一个长40米的长方形菜地围起来，这个长方形菜地的宽是多少米？

余不尽述。