0.999…=1？别怀疑，这里给出一种简单的证明

网络上流传很多关于0.999…=1的证明，但有些其实并不是真正的“证明”，比如利用基本的代数法则将有限小数的加法和乘法扩展到无限小数。本文给出一个非常简单、较为严格的证明——仅使用数列和极限中最基本的概念。文章的前半部分都是基础知识的介绍，这样即使是从未接触过数列和极限的朋友，也能轻松看懂证明。

撰文 | StephenwithaPhD

编译 | 小白

校对 | 公理

在这篇文章中，我分享一种关于循环小数0.999...=1的证明。在证明过程中会避免使用一些过于复杂的符号表达，尽量提炼出核心思想，并使用这些想法推导出最终结论。

为实现这一目的，我们使用的技巧和想法只来自实分析的基础数学知识。特别地，我们第一步需要讨论数列和极限的概念。

何为数列

上面所讲述的这些足以让我们了解到数列的基本概念并知道了如何表示。做完这些，让我们一起来讨论一下什么是极限，更确切地说，应该是讨论什么是数列的极限。

什么是数列极限

通俗点讲，数列极限就是指数列越靠后所越接近的那个数。换句话说，它很像是数列末尾最终抵达的值。

笔者：收敛是数列很重要的一条性质。如果一个数列收敛，它收敛到的东西便是它的极限值。一个数列收敛，那它便是收敛数列(convergent)，否则为发散数列(divergent)。

这对于有穷数列是很容易看出的，但对于无穷数列的极限往往没有那么容易得出。不过不必担心，在这篇文章中只会关注一些证明时比较简单易懂的数列。让我们来看看下面这个通项公式生成的数列：

现在我们的工具箱里已经有两种工具了，在开始证明之前还有最后一个问题要解决：如何判断两个数是不同的呢？

这个问题看上去似乎很简单，但给出一个确切的证明过程而不是用显然正确来解释并不容易。不过也确实有不少方法证明它们不同。举个例子，肉眼观察就可以得到2 是偶数而1 是奇数这个结论；4 和-4 都是偶数，但一个是正数另一个是负数。还有许多诸如此类的“小技巧”来证明两个数是不同的。但是上面所列举的两种办法并非在每种条件下都能生效。

有一种方法肯定永远成立，那就是下面这个几乎显而易见的事实。如果两个数a 和b 相等，那么a-b=0 。我们现在将利用这一点，以及数列极限的概念来证明0.999…=1。

证明0.999…=1

让我们从定义如下数列开始吧：

参考来源

[1] https://stephenwithaphd.medium.com/1-0-999-a-formal-proof-kind-of-f8a0f11fd9dc

[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Limit_of_a_function

[3] https://en.wikipedia.org/wiki/Sequence

本文经授权转载自微信公众号“科学演绎法”。

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