数学的发展本身就是一个从具体到抽象的进化过程

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数和数学既有被发现的内容，也有被发明的内容，越到近代，发明的内容越多，工具化、语言化的色彩越浓。数学的发展本身就是一个从具体到抽象的进化过程。

数本身对于人类来说是客观存在的，人类一开始为了把一只羊和一群羊做区别，就产生了计数法，后来又发展出整数运算。然后又用数的概念辅以一些图形去解决空间上的问题，就产生了几何。然后出现了方程，即用符号代替具体的数字，这就是代数的起源，可以看出代数就是一个发明，只是形成了一种方法来反映数的规律，而代数符号本身并不反映数的规律。后来人们又想用数来表现物体运动的规律，由此极限的概念出现，在这之上创立的微分积分方法的发明代表数学的分析方法的创立。可以看出分析方法的起点既有发现的成分（物理运动规律），也有发明的成分（微积分）。自此数学的三大研究方法，代数、几何、分析就此齐备，后面的工作就是这几种方法的抽象化和互相融合，然后再投射到具体的研究领域上去发现新的规律。这个时候的数学成就更多地涉及到工具体系和数学语言的发明。比如代数进化成抽象代数，一般人都觉得很抽象了，但这只不过才是开始，后面还有更抽象的拓扑学和范畴论。而数在近代也有发明，代数数论中的p进数就是一个例子。

这并不是说数学家们闲着没事干光玩虚的，越抽象的工具包含的数学范围就越广，就越有可能具备更多的数学特征，对于解决数学问题就会更有用。所以可以看到费马大定理的完全证明还是要等到代数几何这个强大数学工具的成熟。

所以发现和发明是一种对立统一的关系。前者是规律，需要正确的认识，后者是主观能动性，需要激励和创造。从发现为起点，再发明、建立一套体系去认识发现的内容，从而发现新的规律，再在新的基础上发明新的认识体系，自然科学都是这样建立起来的，所以数学就算再抽象，也毫无疑问是自然科学而不是哲学。而又因为发现的是客观的规律，所以毫无疑问数学也是客观的。这可以与社会科学对比，大多数社会科学方法观察的是人构成的社会的运行规律，所以发现的经常是人的主观意识的体现，所以社会科学经常是主观的。但调整方法论后也可以在主观中看到相对客观的规律，比如以阶级为基本单位来对社会进行研究，以历史唯物主义对历史进行研究，这个时候这样的社会科学就可以说是相对客观的。