菲尔兹奖得主再次突破数论难题:多少整数能写成2个有理数立方和?

  Pine 萧箫 发自 凹非寺

  量子位 | 公众号 QbitAI

  困扰数学界几个世纪的难题,终于有重大突破了!

  这个难题如果被解决,会直接影响到一个著名未解之谜的求解——贝赫和斯维讷通-戴尔猜想。

  贝赫和斯维讷通-戴尔猜想是数学界顶尖的7大千禧难题之一,有人为了证明它,悬赏过最高100万美元的奖金。

  所以,究竟突破了什么难题?

  求解一共有多少整数,能被写成2个有理数(整数和分数统称)的立方和。

  例如整数13,就可以被“拆”成有理数7/3的立方、以及有理数2/3的立方总和:

500

  看起来似乎不难,但数学家们在这几百年来关于它提出的各种猜想,却没有一个被真正、彻底地证实。

  普林斯顿高等研究所的数学系教授Peter Sarnak对此感叹:

  分析两个数的立方和,意味着研究的族(family,集的同义词)非常小,族越小意味着问题越难。

  我只能说这个问题很难、特别难,答案几乎“遥不可及”。

  但对于学界而言,这个问题的求解又至关重要。

  它不仅是解决很多纯数学问题的核心突破口,在应用数学如密码学领域也颇受重视。

  无证明,不数学。现在3位数学家再次朝这一难题发起挑战,并成功突破了关键瓶颈之一。

500

  所以这个数学问题究竟难在哪里,数学家们又究竟如何取得了这一突破?

  选择与三次方“死磕”

  我们先来回看一下这个要解决的难题:

  究竟有多少个整数,可以表达成有理数三次方和的形式?

500

  这时可能会有盆友好奇,为什么数学家们要死磕三次方的和,而不是平方、四次方、五次方……呢?

  答案也很简单——它更难,也更有用。

  具体原因有以下三点:

  其一,除了三次方之外,无论是小于它的二次方、还是大于它的N(N>3)次方,有些问题已经被解决过了。

  就拿二次方来说,已经有非常具体的方法来判断哪些整数能成为两个有理数的平方和

  这个方法是在17世纪早期,数学家阿尔伯特·吉拉德(Albert Girard)和皮埃尔·德·费马(Pierre de Fermat)提出的,如果不符合这一条件,则整数不能用有理数二次方和表示。方法具体如下:

  首先,将挑选的数字分解成质数幂的形式。以整数490为例,它可以被分解成下面这种形式:

500

  然后,对分解后的质数进行检查:如果其中一个质因数除以4的余数为3,那么它的幂必须为偶数。只有这样,原来的数才能表示为有理数平方和。

  这里7除以4余3,它的指数为2,符合偶数的要求,因此整数490可以用两个有理数平方和表示:

500

  其二,基于上述条件,“能否被2个有理数立方和表示”也可能成为继奇数、偶数之外,又一个将整数有效分为两个阵营的分类方法。

  毕竟数学家们推算过,发现能用有理数二次方和表示的整数比例很低,同理N次方(N>3)也是。

  相比之下,可以用三次方和表示的整数就非常丰富

  光是在1~100的整数里,就有59个能用两个有理数立方和来表示:

500

  蓝色数字可以写成两个有理数立方之和

  这样的话,大约就有59%的整数能被2个有理数立方和表示,甚至有数学家猜想这个数值能被推广到所有整数范围中。

  其三,数学家们研究这个问题也不仅仅是为了有一个新的整数划分方式,它还和数论中的“热门研究领域”椭圆曲线有关。

  

  

500

  椭圆曲线方程

  椭圆曲线具有极其复杂的结构,这使它成为纯数学和应用数学等许多领域的中心,在密码学中也有很大的用处。

  立方和问题,就是椭圆曲线中的一个特例。

500

  椭圆曲线,图源维基百科

  如开头提到的贝赫和斯维讷通-戴尔猜想,就是椭圆曲线领域的一个核心问题。

  如果这一猜想成立,便能推断出符合上面1~100整数表现(即蓝色数字图)的结论:

  在1000万个数字中,约有59%是两个有理数立方的总和。

  不过,上面提出的这么多推断,绕来绕去也都只停留在猜想层面。

  过去的几百年里,不少数学家试图揭开这个谜题,但要么无法得出结论,要么无法证明自己的推断是正确的。

  它不像指数为2时,整数可以轻松被证明能否被拆解为两个有理数平方和(方法如上),毕竟指数为3时,没有确切的方法可以证明整数能否被拆解。

  但尝试一个个“暴力拆解”整数又是不现实的。

  因为在整个拆解过程中,涉及到的计算量巨大

  毕竟相较于拆成两个整数立方和,拆成两个分数立方和的难度要大得多……

  举个栗子,整数2083虽然可以被拆解成两个分数的立方和,但光是这两个分数的分母,就长达40多个数字

  这还仅仅是一个整数的计算量,更别提挨个儿计算其他整数了。

  现在,终于有3位数学家成功突破了这个问题的瓶颈,第一次给出了可以拆解成两个有理数立方和的整数比例:

  9.5%~83%

  所以这一范围究竟是怎么得出的?

  如何圈定这一范围?

  正如上面所说,椭圆曲线的结构极其复杂,这也使得它的直接求解变得非常困难。

  于是这3位数学家开始思考:为何不试试将它与更容易处理的东西联系起来呢?

  这一想就想到了矩阵

  这3位数学家中的1位,曾在今年4月证明过一个理论:

  如果一个立方和方程存在有理数解(rational solutions),那么至少存在一个2×2×2×2的四维矩阵与它对应。

  依据这个理论,如果能想办法计算出整数的2个分数立方和方程是否有对应的四维矩阵,就有办法求解出不可能被表示成有理数立方和的整数范围。

500

  具体的求解过程,涉及两方面的理论:

  一部分是几何数论,涉及计算不同几何图形在坐标系中的格点(lattice points);另一部分则是解析数论,与哈代-李特尔伍德圆法(定理)相关。

  最终他们求解出的结果是,大约有1/6的整数不存在对应的四维矩阵,换言之,这1/6的整数完全不可能被表示成2个有理数立方和的形式。

  这样就确定了这个范围的最大上限——至多有5/6(约83%)的整数可能被表示成有理数立方和。

  所以求解下限的话,将定理反过来不就行了?

  并非如此。

  毕竟这个理论的逆定理并没有被证明成立,即“如果一个整数能找到对应的四维矩阵,则它也能被表示为2个有理数的立方和”。

  为此,三位数学家求助了椭圆曲线领域中对逆定理颇有研究的2位专家,分别是来自德克萨斯大学奥斯汀分校的Ashay Burungale和普林斯顿大学的Christopher Skinner。

500

  他们一番捣鼓后,给出了一个特殊情况下逆定理成立的条件,在这种情况下至少存在2/21的整数,能表示为2个有理数的立方和。

  而2/21(约9.5%)这个数值,也正是这一整数范围的下限

  但毕竟是特殊情况,所以3位数学家认为,9.5%~83%这个整数范围还能被进一步缩小。

  接下来,他们打算进一步提升下限9.5%的数值,以接近逆定理完全成立下的5/12(约41%)。

  领域内的学者认为,这一成果突破,表明数学家们距离贝赫和斯维讷通-戴尔猜想的证明又前进了一大步。

  作者之一为菲尔兹奖得主

  这次研究之前,3位数学家已经在数论领域有过几次合作了。

500

  其中,Ari Shnidman和Manjul Bhargava早在2012年就有过数论领域的合作,而Manjul Bhargava又是Levent Alpöge在普林斯顿大学读博期间的导师。

500

  Levent Alpöge,哈佛大学初级研究员,本科毕业于哈佛大学数学系,并获得了物理系硕士学位,随后他获得普林斯顿大学数学系的硕士、博士学位。

  他曾于2015年获得摩根奖,这个奖项每年颁给数学研究出色的大学生。

500

  Ari Shnidman,以色列希伯来大学数学系的高级讲师,研究兴趣是包括算数统计学、算数几何等在内的数论方向。

500

  Manjul Bhargava,普林斯顿大学数学系教授,本科毕业于哈佛大学,博士毕业于普林斯顿大学,研究方向是几何数论。

  他于2014年获得菲尔兹奖,获奖理由是在几何数论领域做出的突出贡献,包括开辟新方法来计算“小”秩(“小”指最多不超过5)的环数和估计椭圆曲线平均秩的界等。

  值得一提的是,其中他研究的关于“椭圆曲线三次方程的有理数解”也是获奖原因之一,这次研究的两个有理数的立方和问题,就是其中的一种特殊求解情况。

  这次突破有不少理论基础,就建立在Manjul Bhargava之前做过的工作上。

  论文地址:

  https://arxiv.org/abs/2210.10730

  参考链接:

  [1]https://www.quantamagazine.org/mathematical-trio-advances-centuries-old-number-theory-problem-20221129/

  [2]https://swc-math.github.io/aws/2009/09BhargavaNotes.pdf

  [3]http://math.huji.ac.il/~shnidman/

站务

全部专栏