争鸣：小学数学教材有必要过度区分乘数与被乘数吗？

前言

最近，笔者看到马立平博士的文章《小学数学教材中的严重问题》，认为2001年颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》取消被乘数和乘数的区别，把支撑着小学算术算理体系的“承重墙”打掉了，从而导致了算术算理体系的垮塌。对此，笔者希望对其中涉及的一些教育教学理念谈点想法。笔者这篇文章的目的并不是反驳或批评马博士的文章，而是想和读者讨论一点新的东西，因此内容会更宽泛一点。首先开列如下“太长不看版”。

（1）首先谈一个和马博士观点不直接对呛的看法：不管课纲里怎么写，教师完全可以告诉学生被乘数和乘数等概念，也完全可以告诉学生马博士的亲民版表述：“每份数×份数=总数”。但这个概念不必要考试，更不要写反了扣分。

下面的看法则有点唱反调，希望和大家讨论交流。

（2）不需要把被乘数和乘数等概念比作“承重墙”。

（3）我们的话对学生没有那么重要，一句不严谨的话误导学生一辈子这种事几乎不会发生。教师固然应该避免讲错话，但也要避免为了严谨而把简单的事情绕得太复杂。

（4）人们在学习很多知识体系时，往往能够通过多视角理解，多支点记忆实现融会贯通。公理化数学证明方法是一种帮助学生融会贯通的路径，很有价值，但不应以此排斥其他路径。

（5）教学要突出的重点是概念知识本身，对学生可能产生的理解难点可以分散在多个时段用多种角度帮助理解。但无论如何，在教学的过程中，不要人为制造难点与焦虑。

撰文 | 吴进远

01 我们会误导学生一辈子吗？

笔者早年读过中等师范学校，教过中学物理，后来又教过大学物理。做教师的人，往往会默认一条不证自明的“公理”：教师一句不严谨的话，会误导学生一辈子。不过，当年胡传魁有句粗话家喻户晓：“刁参谋长放个P，也是香的？”同理，我们也可以质疑，我自己说句话，对学生真的有那么重要吗？事实上，我们在课堂上讲那么多话，学生们经常左耳朵听右耳朵冒，因此被气哭的女老师不是一个两个。

从理论上说，教师一句不严谨的话，的确不排除会误导学生一辈子，但事实上也存在很多反例。就拿被乘数和乘数这一对概念来说，在马博士文章后面的留言中，有很多数学或物理学工作者谈到自己区分不清楚二者。我自己上小学的时候也学过这对概念，但很快就混为一谈了。后来某一天上课，老师说被乘数和乘数也可以都叫做因数，次序可以任意放，作为“lazy school boy”的自己，顿时感觉轻松了不少。我这个故事中老师的话倒没有不严谨，但我自己从未记住严谨的被乘数和乘数这一对概念，按说问题要严重得多。但是我自己和前面这些朋友后来学线性代数、群论等数学课程的时候，并没有遇到什么困难。线性代数、群论中的向量矩阵等，在乘法中不存在交换律，但从未听说哪个学生在这里因被乘数与乘数傻傻分不清而卡住。在许多物理学乃至数学工作者可预见的科研生涯中，似乎也看不到心中数学大厦轰然倒塌的趋势。因此，马博士文章中“承重墙”的比喻并不恰当。

这些反例，证伪了老师一句话会误导学生一辈子这个“公理”。

我们指出这个“公理”不成立，并不是说教师可以胡说八道。教师在上课中，仍然应该避免讲错话。我只是想说，教师在讲话严谨的同时，也要避免为了严谨而把简单的事情绕得太复杂。

很多难懂的概念，是可以通过多个角度的交叉表述帮助学生理解的，实现化繁为简。如果教师害怕说话不严谨，几节课翻来覆去只重复一种说法，则无异于作茧自缚。我们证伪上述“公理”的现实意义，就在于帮助教师摒除对不严谨的害怕，创新讲授与解释的视角。我们在后面展开讨论这个问题。

02 知识概念的多视角理解与多支点记忆

我们学习或教学实践中，有时候会遇到几个概念看似容易混淆，但其实并不是真的容易混淆，只是视角问题而已。遇到这种情形，最简单可行的方法，就是有意识选择多个视角去观察讨论理解概念，让学生从不同的角度脑补出完整的拼图。

就好比院子里有两棵树，从北屋门口看，几乎叠合在一起，稍微偏东一点的是槐树，稍微偏西一点的是榆树，这似乎很容易混淆。但如果站在西屋门口看，就可能发现两棵树其实分得清清楚楚，一棵靠北，一棵靠南，一点也不容易混淆。

比如在中学物理中，速度和加速度是两个貌似很容易混淆的概念。我们当然要强调这两个物理量的定义，我们甚至会和学生咬文嚼字，加速度是“加速——度”，或者说加速的程度，而不是“加——速度”。但光靠这样几个说法，重复无数遍还是不那么容易懂。

换个方式，我们在手机上下载安装一个加速度计的软件，把手机放在一个玩具小车上向前推动，软件上就记录了小车所经历的不同运动阶段的加速度。

上面图中红色曲线是沿着手机轴线的加速度。从大约0.7秒左右开始，我们推动小车，图中显示正向的加速度，小车速度逐渐增加。随后有一段时间，轴向加速度基本为0，小车在这段时间中自由滑行。在2.5秒左右，小车碰到障碍物，加速度图上呈现一个很大的负值，小车的速度在很短的时间中下降为0。

通过这样一个实验，就可以看到加速度和速度这两个概念分得清清楚楚，二者完全不是一回事。

实际上，很多讲课不容易说清楚的概念，换个视角，做个实验就可以讲清楚。如果学生仍然不清楚，那么就再换一个视角，再做一个实验。比如把手机安在气垫导轨上，比如把手机朝天上抛再接住。

03 不要人为制造难点与焦虑

正如马博士文章中谈到的，我国小学数学教学的宝典之一是“突出重点，分散难点”。这是一个非常符合人类认识规律的有效举措。

在这里，重点是指知识概念技能本身的重要之点，而难点则是学习理解过程中可能会出现的理解障碍。有时候重点本身也是难点，比如线性代数教学中有一个说法，叫“线性相关，真是一关”，意思是说线性相关既是重要的知识，又是一个难讲清楚的话题。但很多时候，重点和难点不是一回事。对于不同届的学生，以及不同的学生个体，难点都可能不同。某个对多数人而言的难点，对有的学生可能不是事儿。而对多数人不是事儿的地方，有的聪明学生完全可能会绕进去半天出不来。

所谓分散难点，是指不追求一次把所有的事情讲清楚，而是通过多次讲解探讨，逐步排除学生的理解障碍。这一逐步排除的过程，就包括了前面说的通过多个视角来理解相应的概念。

比如马博士文章中谈到，由于不区分被乘数与乘数，因此 5x3 = 3x5。这样就必须解释清楚 5+5+5 = 3+3+3+3+3，因而加重了认知负担。在这个例子中，如果我们只拘泥于3个5或者5个3这样的单一视角，确实有点难讲。比如像下图这个例子，很难一眼看出两种情况下葡萄的总数一样。

但我们换个视角，就没有那么难了。比如同学们每天要做课间操，排成3行，每行5个人，就是 5+5+5 一共15人。而同样的方阵，也可以看成排成5列，每列3人，这就变成了 3+3+3+3+3 还是15人。或者把上面的葡萄摆成下图的样子，两种算法总数相等这个事实就非常直观了。

更进一步，如果把课间操的情景，改成排列小方块积木，则可以提前让孩子接触到了面积的概念。

有的朋友可能会批评，你用方阵这个例子讲乘法，等于把乘法交换律提前引进了，把难点集中了。实际上，让学生看到一个比较明显符合乘法交换律的例子没有什么不好，这恰恰为后面讨论乘法交换律做了铺垫，是分散了难点。

乘法交换律是个在相当早的阶段就需要学生认识的事情，比如乘法口诀表里有“三五十五”而没有提“五三”等于多少，显然在背会口诀之前，学生就必须明白3乘以5和5乘以3结果一样。

交换律的自然本质是两个操作可以按任意顺序进行，而不会影响到结果。比如先数北坡3只羊，后数南坡4只羊，和反过来数，都能得到总数7只羊的结论。人类从类似的实践活动中总结出了加法交换律。又比如一个方阵先按行数，还是先按列数，得到的总数都相同，从而认识乘法交换律。马博士文章中提到有的教师朋友认为由于不区分被乘数与乘数，乘法交换律成了画蛇添足，这个说法不对。实际上，无论我们是不是使用被乘数与乘数的表述，乘法交换律都是自然存在的。

在使用公理系统串连起来的算术学体系中，为了逻辑上的清晰，同时也为了体系一致对称的数学之美，定义了被乘数与乘数。这样的定义，暗示或明示了二者之间不一定可以交换。然后通过证明，再揭示两者其实可以交换。作为理论体系，这么处理完全是可以的。但是在小学学习中，这样人为地绕一个圈，很难说对提高学生实质性的数学素养有多大帮助。人类的学习方法不是只有通过公理系统这一条路。我们当然希望让学生受到公理系统训练，这很必要，但这完全可以通过几何以及其后的一系列课程实现。在学习算术的时候，看不出公理系统训练的迫切性。事实上，即使在使用被乘数与乘数概念的年代中，小学教学引入乘法交换律的方式，通常也是用“你看”这样的举例归纳方法，从来没有听说哪位老师给学生讲解了严格的证明。

如果把被乘数与乘数的概念上升成必须考试的内容，二者写反了要扣分，则无异于给学生人为制造了一个学习难点，给家长老师制造了一个无妄的焦虑。一个孩子一生需要学的东西太多了，像区分被乘数与乘数这种无比重要的学习难点，完全可以等孩子将来长大，立志成为教师，去读师范的时候再去抠。

04 不要矮化儿童

那么，课纲上没有列出被乘数与乘数，是不是教师就不许提被乘数这三个字呢？当然不是。我在微信文章中曾读到“不要矮化儿童”这样一句话，意思是说，我们不应该过低地估计学生的理解力。被乘数并不是一个错误术语，只不过在小学算术学习的过程中，其重要性不应人为地过分抬高而已。当我们需要指认乘法中第一个和第二个数（或者竖式中上面和下面的数）的时候，完全可以使用这个术语以方便叙述。同样，马博士的亲民版表述：“每份数×份数=总数”，也完全可以在讲课中使用。

如我们前面所说，即使我们讲话真的有什么不严谨，也不见得会误导学生一辈子。而一个没有错误的术语，仅仅是因为课纲中没有列出，我们就不敢在讲课中提，这就更没有必要了。

05 结语

不要把课纲里有没有列出或区别某个概念知识当成大事。不要把课堂上该不该讲某个“超纲”的概念知识当成大事。该当成大事的，是学懂知识本身。这就需要鼓励教师们创新讲解的视角，从而使学生轻松愉快不焦虑地理解知识概念。

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