数学思想与现实

为了培养儿子的数学思想，我问了一个问题：

烧水有7个步骤：

1）找一个水壶；

2）水壶装满水；

3）把水壶放燃气灶上；

4）点火

5）等水沸腾

6）关火

7）灌水到保温瓶。

问题是这样的，已经有一个水壶，里面装满水，要烧水该如何做？

儿子答：把水壶里的水倒掉，然后按上面说的步骤烧水。

我问为什么要把水倒掉，而不是直接烧水？

儿子答：水壶里的水不干净，所以需要倒掉，重新装水烧。

哦，原来是这样。

儿子是姥姥带大的，父母平时都忙于上班，儿子早早地就放学回家了，每天与老人相处的时间比较长。

老人有洁癖，什么东西都要洗得三遍五遍的。

儿子这样回答，其实已经给出他数学没有入门的原因了。

数学和现实是两个世界，一个是抽象世界，一个是现实世界。

在抽象的世界中，不要问具体的细节，如点、线、面都是抽象的，与真实的点线面不一样。

在真实世界中，如果点没有大小，线没有粗细，面没有厚度，那就无法被人所感知。

在抽象世界中，你必须将点设想成一个没有直径的“球”。

因此在烧水问题中，你必须把“水”想像成抽象的“水”，这个水没有质量问题，不会变质。

当抽象地思考烧水问题时，真正的答案是：

1）把水壶里的水倒掉；

2）使问题转化成已知的问题，按已知问题的解法（7步）处理。

这个思考过程展现了一个经典的数学思想：将未知问题转化成已知问题。

烧水问题只有7步，当然一般人都能看得出来，但是如果问题需要成千上万步，那么这个思想就能节省很多工作量。

话说到这里，其实就可以结束了，但是因为近期的热点，还可以多说两句。

1）在抽象世界中生活得太久的人，可能会比较极端，缺乏考虑细节的能力

如果不能在两个世界之间自由切换，那么精神出问题是迟早的。为博弈论做出重要贡献的纳什后来得当成精神分裂症。

姜文华可能因为难以处理复杂的社会关系，感觉受到打击和排挤。

2）将未知问题转化为已知问题有风险

这个风险在我上大学时，老师已经反复告诉我们了。老师说做数学研究简直是走钢丝绳，胆战心惊的。

张益唐进入美国普渡大学攻读博士学位，师从中国台湾代数专家莫宗坚。

​怀着远大的理想，张益唐选择了世界著名难题“雅可比猜想”作为自己的博士论文题目。

“雅可比猜想”于1939年被提出，是数学领域最难攻克的“灾难性问题”之一，大多数数学家都不愿涉足。

以这样的题目作为博士论文，显然不是一个好的选择。

但出人意料，张益唐只用了两年，就得到了关于雅可比猜想的一些“结果”。

这在数学界可是一个热门的话题，许多专家都对张益唐的证明十分感兴趣。

果，在专家们的审查下，悲剧发生了。

张益唐的证明里引用了导师莫宗坚的一个已经发表的成果，专家们仔细审查后发现，他导师的这个成果，竟是错误的！

毫无疑问，这篇建立在错误理论上的论文，失去了它该有的价值。

导师莫宗坚的名誉和已取得的一些学术成就，也不可避免地受到了影响，师徒二人的关系因此降到了冰点。

最后，在张益唐读博的第七年，他才终于获得了普渡大学的博士学位，并且，因为师生关系不融洽，他没能拿到导师的推荐信。

一没有推荐信，二没有高质量的学术成果，更何况还是在异乡美国，张益唐毕业后四处碰壁，没有任何一家学校或科研机构愿意录用他。

他从一个备受瞩目的天才，一下子沦为了被世界遗弃的孤儿。

当我跟老婆说这个事时，老婆不以为然的认为，还是张的综合实力不行，他为什么不仔细审查一下引用的成果。

我说，可能是因为引用的成果已经流行很多年了，大家都想当然地认为那个成果是对的。

老婆说，那不行，大多数人认为是对就一定是对的吗？

我赶紧闭嘴，与文科生讨论数学问题是自取其辱。

其实，科学的价值在于可证伪。

科学的基础并不总是正确的，而是一定历史条件下的猜想。

以欧式几何为例，其基本理论建立在五大公理之上，其中有一条平行线公理。

后来黎曼发现这条公理可以被推倒，从而建立了黎曼几何。

张益唐比姜文华强的地方在于，他了解人性。

为了生活，张益唐在很多地方打过零工。

送过外卖，端过盘子，做过收银员，有很长一段时间，都住在阴暗的地下室里。

生活虽然艰苦，但他从未放弃对数学的热爱。

无数个夜晚，他在昏黄的台灯下埋头钻研学术难题，那一个个复杂的公式推论，成了他阴暗岁月里的唯一慰藉。

北大校长丁石孙得知了张益唐的困境，邀请他回北大任教。

但他拒绝了。

他觉得自己没有研究出什么大的成果，回到国内后会受到歧视。

张益唐能够在两个世界之间自由地切换，尽管他在真实的世界中只能洗盘子，住地下室。

如果一个人不能在两个世界之间自由切换，还不要建议他学数学了。