纽结：一种特殊类型的复杂性

撰文 | 詹姆斯·格雷克

翻译 | 林开亮

纽结是日常打结的形式化、标准化与理想化，即一维线条在三维空间中弯弯曲曲所形成的封闭环。在数学家心目中，纽结是自然最本质的形状之一。纽结理论的未来，究其本身而言，是研究一种特殊类型的复杂性。

一系列令人惊奇的发现正在帮助数学的最纯粹形式之一——纽结理论——的实践者来解决该学科最基本的问题：如何将一个纽结与另一个纽结区分开来。

同时，对于正在研究类似于化学和分子生物学中分子结构的缠绕、环状线体的科学家，这些进展为其提供了一种新的工具。关于纽结的数学认知似乎为科学家们将分子组织、破译成复杂DNA结构的方式带来了直接的希望。

理论家所研究的纽结是日常打结的形式化、标准化与理想化，即一维线条在三维空间中弯弯曲曲所形成的封闭环。它在数学家心目中是自然最本质的形状之一。关于命名、分类和理解纽结的问题被证实是极为困难的。

DNA的图像清楚地显示出，伴随有旋转和交错的纽结可以通过分子涂层可视化，从而通过电子显微镜看到。数学上的发现似乎为解开在生命的复制与重组的基本过程中，从一个结构变为另外一个结构的方式提供了钥匙。

“这是数学和生物学的一个非比寻常的连接，”美国国立卫生研究院的水内清志（Kiyoshi Mizuuchi）说。“你可以获得关于酶的强有力的信息，而这些信息原本是不可能获得的。”

最重要的是，化学家和分子生物学家正逐渐意识到，这些重要特征可以通过采用纽结理论家的现实观点来理解。在欧几里得几何学中，结构属于刚性领域，纽结理论家则完全灵活地看待这些结构。这就是拓扑学的本质，而纽结理论是这门“橡皮几何”的一个分支。距离和尺寸是无关紧要的。如果某一纽结可以被弯曲、扭曲、拉伸、挤压或以其他方式变形成为另一个的纽结（在不被切割或解开的情况下），则这两个纽结就是等价的。

最基本的拓扑原理是很难被证明的。例如，决定两个纽结（被画在纸上或用细绳来模拟）是否相同或不同的问题被证实是一个贯穿始终的难题。任何一个曾经解开包裹或解开一束纱线的人都熟悉该问题，它的实质已经占据了数学家们将近一个世纪的时间，现在似乎比以往任何时候都更接近现代几何学的核心。

伦敦南岸大学理工学院的数学家莫文·西斯尔思韦特 (Morwen B.Thistlethwaite) 说：“在这个课题中，存在很多潜在的困难。这些问题很容易被陈述，但解决起来却十分困难。并且这些技巧已经变得非常强有力。”

事实上，纽结理论中的重大问题有时以娱乐性的智力题为幌子而出现。例如，假设“作弊”被定义为将一个闭合纽结的一部分穿过另一部分，你必须作弊多少次才能把给定的纽结“解开”或变成圆环？对于一个仅有8个交叉的纽结而言，答案最近才被证明，是两次，其证明需要300页的密集分析。对于其他简单的纽结，解结次数仍然未知。

确定性是难以捉摸的

对于此类问题，一个持久性的主题是，解决方案似乎显而易见，但最后的确定度却不然。作弊一次似乎不足以解开纽结。两个纽结似乎是不同的，在经过几个小时的解纽和解环之后，通过试验，你会肯定它们是不同的。但也许仅仅是你还不够耐心或者不够聪明，因而，不能通过眼睛和手来得到确定的结果。数学家需要一个系统。

当水手根据物理特征对纽结进行分类时，数学家需要对绳圈和交叉的列表方式赋予明确的定义。当纽结变得越来越复杂时，其复杂性也随之增加。最简单的纽结，称为三叶结，仅用三个交叉的方式即可画出。除了它的镜像之外，它是唯一的。类似地，有四个交叉的纽结只有一个，有五个交叉的纽结只有两个。但是有十个交叉点的纽结有165个，而总共有13个交叉点的纽结有2965个，该数量是现存的完整目录中最高的。

交叉数逐渐增多，从而变得越来越复杂的纽结。| 图片来源：Wikipedia

自首个重要的纽结分类表于19世纪由苏格兰物理学家彼得·格思里·泰特（Peter Guthrie Tait）和美国数学家利特尔 (C. N. Little) 给出以来，数学家一直在试图寻找出“不变量”，即一些可以将一个纽结与另一个纽结区分开来的基本性质。完美的不变量将可以区分任何一对纽结。尽管一些不变量是不够完美的，但它们比其他的一些不变量要更有效。

纽结理论的最新突破是发现了一种特别强大的不变量，它能够区分其他不变量对之失效的纽结。几个数学家群体各自独立地制定了一些规则，这些规则可以使得他们处理任意纽结，并将其系统地变为一个代数表达式，该表达式被称为多项式，即数字和变量的组合。

多项式可充当纽结的一种标记。与纽结本身不同，通过观察，多项式就可以被区别开来。如果两个纽结的多项式是不同的，则这两个纽结就是不同的。不幸的是，如果它们是相同的，这两个纽结却未必是相同的。

大小与形状无关紧要

正如在所有的拓扑问题中一样，一个环的具体大小或形状是无关紧要的。重要的是纽结的交叉、上线或下线的方向，以及它们相对于其他交叉点的排列。

第一个多项式不变量，且是直至最近唯一的一个，于20世纪20年代被发现。它区分了许多纽结，但是数学家无法预知该多项式何时有效，何时失效。

加州大学伯克利分校的沃恩·琼斯 (Vaughan F. R. Jones) 是一位代数领域而非纽结理论领域的专家，在1984年，他发现了一个新的多项式不变量，之后一个接一个的数学家进一步利用了他的发现。

“这是一个非常令人兴奋的、惊人的发展，”巴纳德学院的一位数学家琼·伯曼 (Joan S. Birman) 说，她是研究纽结和与其有着近亲关系的辫 (braid) 方面的权威。“这对于纽结理论是重要的，且其重要性的更大意义在于它是数学上两个完全不同领域之间的桥梁，人们从来没有想象到有这样一个联系。”

来自不同领域的300位数学家，以及一些分子生物学家，下周将在加利福尼亚州圣克鲁斯召开的会议上讨论这些新的进展。

马萨诸塞州克拉克大学伍斯特分校的戴维·耶特（David Yette）说：“这为数学的一部分领域打开了一个在此之前完全没有预想过的前景之门。”他和其他五位数学家发现了另一个新的多项式，被称为Homfly，该名称来自他们姓氏的首字母。耶特博士说：“数学作为一个整体正在被改变的迹象是，当每个人都认为不同领域是分开发展的时候，它们被发现是相互联系的。这些领域开始聚集，成为某一整体的一部分。”

如新技术一样强大的是，这些多项式也是神秘莫测的：到目前为止，纽结理论家无法很好地解释为什么它们工作得如它们做的一样好。某种程度上，将一个具体结构转换成一个抽象的代数表达式，其过程必须抓住该纽结的一些本质特征，但是没有人准确地知道这些本质特征是什么。从某种意义上说，数学家熟知新发现背后的代数，而不是几何学。

“它们是神奇的，”伯曼博士说，“这是我们正在做的魔术。这个多项式抓住了某些事实，但是很难说它是什么。”

即使没有新的不变量，将交叉数不大于13的所有纽结分类也是可能的，这一工作在1982年就完成了，但其过程艰巨且容易出错，甚至是证明三叶结与平凡结不同也非常难，用早期的方法来区分两个难以辨别的纽结时需要大量的计算。理论上，它可能需要数百万小时的计算时间。与之相比，新的多项式要快得多。

艾奥瓦大学的数学家乔纳森·西蒙 (Jonathan Simon) 说：“它们非常重要，同时非常简单。人们早就应该看到这些——这里的‘人们’指的是过去20年的所有纽结理论家。”

有几个数学家超越了常规抽象学科的通常界限，开始探索化学的含义，西蒙博士就是其中之一。

很多年前，化学家们就已经知道，分子可以采用纽结的形式，也可以采用其他结构，比如链环或者说“索烃”。但直到最近为止，大多数有几何思想的化学家考虑的都是刚性模型而不是无限灵活的模型。

“现在化学家们已经开始制造分子，它们位于空间中的差异是由于拓扑结构，而不是刚性几何结构。”西蒙博士说，“拓扑学中充满了美丽的图画和简洁的思想，且对思想和图画有一些迷恋，但这里也有实质性的内容。”

其他化学家和生物学家正在研究通过某些化学反应或肌肉细胞阵列传播的特殊波。在此类“激发介质”中，刺激产生一种反应，该反应从一个地方传播到另一个地方，就像池塘中一个向外荡漾的波浪。视网膜中神经细胞薄片是一个例子，而心肌是另外一个例子。在三维空间中，这样的波浪可以形成奇妙的形状，而这些形状的核心可以形成线状细丝。

2017年，科学家第一次合成了有8个交叉的分子纠结，图中是这种纽结的X射线晶体结构。| 图片来源：Robert W. McGregor

“意大利面片”

“当你有一个空间扩展的媒介，你可以有结构、线条、意大利面片状，”阿瑟·温弗里 (Arthur T. Winfree) 说。他是一个理论生物学家，在实验室中借助于强大的计算机对激发介质进行了广泛的模拟。“所有这些数学都可以被锁定、存储和移动，并且在一个完全不同的环境中使用。”

这些细丝，正如它所产生的那样，可以被连接甚至被打结。独特的拓扑形状似乎产生了独特的类型。

在分子生物学中，最著名的三维结构是DNA，其超螺旋的双螺旋结构连接两条链，并将其遗传信息压缩到可管理的空间区域。如线圈般盘绕的超螺旋能储存细胞可使用的能量，就像扭曲的橡皮筋所具有的能量一样。

当螺旋的线在重组过程中需要被拉开，然后重新缠绕时，螺旋还产生了一个可怕的拓扑问题。研究这些过程的生物学家已经改变了他们的重点。许多生物学家越来越多地关注于空间中链的灵活性排列，而不是专注于DNA的组成基元——碱基对——的排列，将DNA单线视为简单的直线。

纠缠的DNA结构。| 图片来源：Chris Hammang

“我们有了美好的一天”

通常，这些结构似乎影响酶的作用，酶在重组过程中充当媒介和信使。加州大学伯克利分校的分子生物学家尼古拉斯·科扎雷利（Nicholas R.Cozzarelli）是一名分子生物学家，他开创了涂层技术，从而使得DNA纽结的成像成为了可能。他说：“这是我们的美好的一天，这一天，数学和生物化学有了最完美的结合。”

纽结理论现在能使生物学家观察酶反应的开始和结束阶段，并推断出中间阶段是什么，还可以使他们预知酶临时断链以解开结的可能性方式。特别地，新的琼斯多项式似乎提供了一种量化此过程的方法，这也许是因为该多项式对纽结的交叉特别敏感。

对于大多数数学家来说，在化学和生物学方面的应用仍然是一个次要的问题，乐于去了解但并不是特别令人惊讶。纽结理论的未来，正如他们所看到的，将一如过去，究其本身而言是研究一种特殊类型的复杂性。

本文经授权取自《数学百年风云：〈纽约时报〉数学报道精选（1892-2010）》（上海科技教育出版社，2019年6月），文中图片来自网络。

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