庞加莱的疑问

《数学史》是一本由大师创作，资深研究人员主持翻译的杰作，在国际上自第一版出版以来已成为数学史领域的标准参考书，而目前引进的第三版，对第二版做了很大改进，其修订覆盖整部作品，并补充了数学史领域的新发现。本书内容广博、形式活泼，可读性很强，将带领读者仰望数学天空的灿烂群星，感受数学深邃的迷人景象，激发读者对于数学乃至自然科学的热爱之情。

撰文 | 尤塔·C·默茨巴赫 卡尔·B·博耶

翻译 | 程钊

Jules Henri Poincaré

从1895年到1904年的十年间，亨利·庞加莱发表了一系列重要论文，奠定了位置分析，也称为组合拓扑学或代数拓扑学的大部分基础。最开始的导论部分发表在1895年的《综合理工学校杂志》上，有120多页，随后的一系列补充和更正则散布在巴勒莫数学会、伦敦数学会和法国数学会的出版物，以及巴黎科学院《通报》的副刊上。正如第二十三章所述，庞加莱在这些论文中建立了贝蒂数、基本群和同调论的其他基本概念之间的关系。

在对1895年论文的第二篇增补 (1900年) 中，庞加莱曾宣称每个贝蒂数等于1的无挠多面体是单联通的。到1904年第五篇增补发表时，他提出了一个反例，后来被称作“庞加莱同调球”，它由两个适当联通的双圆环面组成。尽管可以用许多不同的方式将它构造出来，庞加莱的同调球仍是唯一已知的与三维球具有相同同调而又不与它同胚的三维流形。庞加莱的反例导致他以下面的疑问结束了这篇论文：

有可能使 (流形) V 的基本群简化成恒等代换，并且V 还不是单联通的 (不与三维球同胚) 吗？

让人感兴趣的是，我们注意到庞加莱的疑问不像牛顿在《光学》附录中的疑问那样，是以否定形式表述的，并暗示一种肯定的回答，而是作为一个中性问题。然而，这就是最终以“庞加莱猜想”著称的那个表述。直到20世纪30年代，也就是庞加莱去世后20多年，这个问题才在拓扑学家中引起极大兴趣。怀特黑德 (J. H. C. Whitehead, 1904—1960) 是这个正在成长的领域中的首批著名实践者之一，他宣称证明了庞加莱猜想。但深入研究后表明他的证明有误。

在这个过程中，他发现了不与 R3 同胚的单连通非紧三维流形的一些有趣例子，其原型现在称为怀特黑德流形。

怀特黑德之后，有许多拓扑学家寻求对庞加莱疑问的解答，但都无功而返。作为例子，我们提三个人: 宾 (R. H. Bing, 1914-1986)、莫伊兹 (E. E. Moise) 和史蒂夫· 阿门特劳特 (Steve Armentrout)，他们都在穆尔 (R. L. Moore, 1882-1974) 指导下于德克萨斯大学获得博士学位。宾通过证明该猜想的一种弱化形式获得了些许成功。1958年，他确认如果一个紧三维流形的每条简单闭曲线包含在一个三维球中，那么该流形同胚于这个三维球。

尽管对于三维情形解决庞加莱猜想的种种尝试似乎没什么进展，然而却产生了对于高维情形能够谈论些什么的问题。这里存在着不与n维球同胚的单连通流形。看来似乎并不存在与一个n维球同胚的同伦n维球。然而在1961年，史蒂芬·斯梅尔 (Stephen Smale) 对于高于四维的情形证明了所谓广义庞加莱猜想。1982年，迈克尔·弗里德曼 (Michael Freedman) 对于四维的情形证明了该猜想。

20世纪70年代，威廉·瑟斯顿 (William Thurston) 提出了一个关于三维流形分类的猜想。他认为任何一个三维流形都能被唯一分割，使得每部分具有八种特定的几何之一。人们很快想到二维的单值化定理，其中一个类似的分割涉及三种几何。瑟斯顿的所谓几何化猜想通过其在1980年的一系列演讲为人所知，并于1982年发表。正如约翰·摩根 (John Morgan) 注意到的，尽管它与庞加莱猜想之间没有明显的关系，但是瑟斯顿的工作有助于增进庞加莱猜想以及瑟斯顿本人的猜想都成立这样一种共识。到2006年，瑟斯顿猜想的八种几何中的六种已得到证实。剩下的两种困难情形是球面几何和双曲几何。瑟斯顿本人致力于研究双曲情形，它具有负常曲率度量，与之相对的球面几何具有正常曲率度量，后者则适用于庞加莱猜想。

1982年，理查德·汉密尔顿 (Richard Hamilton) 引入了流形上的里奇流。里奇流方程被认为是热方程的一种非线性推广。汉密尔顿指出，它可以用来证明庞加莱猜想的特例，但是他在某些奇点处遇到了困难，这使他没能完全证明这一猜想。要再等上20年，期待已久的证明才会出现这次是在互联网上。

这一不同寻常的证明的作者是一个叫格雷戈里· 佩雷尔曼 (Grigori Perelman)的圣彼得堡人，他的同事都管他叫格里沙 (Grisha)。他的父亲是一位电气工程师，母亲是一位数学教师。16岁时，他在布达佩斯举办的数学奥林匹克竞赛中获得金牌，因而开始走进公众视野。他就读于圣彼得堡大学并获得了博士学位，而后得到了斯捷克洛夫研究所的一个职位，起初是在几何与拓扑系，后来转到了偏微分方程系。1992年到1995年期间，他在美国度过，最初在柯朗数学科学研究所和纽约州立大学石溪分校，后来在加利福尼亚大学伯克利分校获得了两年的研究资助。这段时期结束后，他拒绝了美国几所大学提供的职位，回到故乡，从1995年到2002年，他一直过着隐居生活。

还在伯克利时，佩雷尔曼就因其才华卓著和行为古怪而出名。研究方面他做的很多，但发表的很少。有很长一段时间，他似乎对庞加莱猜想没什么兴趣。然而，当他听到汉密尔顿曾再三表示，如果有人能够解决与里奇流关联的奇点问题，相信就会找到庞加莱问题的解时，这一切发生了改变。这吸引了佩雷尔曼：某件事情可以作为微分方程中的问题由具有良好拓扑学方面背景的人来处理，这非常适合他自己。为了不让他的同事对他八年来所做的事情产生疑惑，他在2002年11月结束了自我放逐的生活，将他关于里奇流的三篇论文中的第一篇贴到了预印本文库网站 (arXiv) 上。这些文章没有一篇提到庞加莱或该猜想的名字，他也在证明瑟斯顿的几何化猜想这件事，只是在第一篇文章中不经意地提到过。他没有试图发表这些论文。但是这一领域的专家显然清楚这项工作是怎么一回事，很快就有几位专家开始了填补佩雷尔曼粗略证明的细节的工作，所有人都表示这些都是在他自己的技术框架内进行的。

在佩雷尔曼的第三篇论文贴到预印本文库网站三年后，此事变得非常公开了。较早时，有数学文献通报称佩雷尔曼似乎给出了证明，但它还没有被验证，尽管2003年到2005年之间，举办了几次研讨会来研究这三篇论文。终于，2006年，验证工作开启了。

8月份，国际数学家大会在马德里召开。它向佩雷尔曼颁发了菲尔兹奖，然而佩雷尔曼却拒绝领奖。早在10年前他就曾拒绝过欧洲数学会一个享有盛誉的奖项，对于那些还记得的人来说，这也许并不完全令人吃惊。后来他辞去了在斯捷克洛夫研究所的职位，继续同他母亲在家中安详地生活。

译后记

美国著名数学史家卡尔·B.博耶（Carl B. Boyer，1906-1976）所著《数学史》（A History of Mathematics）自1968年出版以来，在欧美地区流传较广，受到普遍欢迎，被认为是经典的数学通史著作之一。卡尔·B.博耶1976年不幸去世。1989 年，约翰·威立父子出版公司邀请作者的学生梅尔茨巴赫（Uta C.Merzbach，1933- ）对原作进行了一次修订（1991年又作了微调），是为修订版或第二版。除了对19世纪相关章节的少部分修改以及将原20世纪数学的一章分作两章以外，第二版在内容上可以说改变不大。到2011年，梅尔茨巴赫又在第二版基础上重新修订出版了第三版。新版在尽量保持原书风格的同时，在结构上作了适当调整，内容也有较多的增补与删节，特别是，对原关于希腊数学的部分作了较大的缩并，将原合章叙述的中国和印度数学分别独立成章，关于20世纪数学的篇幅则扩充了一倍，等等。这些修改，符合自第一版出版40余年、第二版出版20年以来数学迅猛发展的需要，也在一定程度上反映了数学史研究的新进展与作者的新认识。

根据以上所述，北京大学出版社决定出版《数学史》第三版中译本，是一项很有意义的举措。中文翻译任务艰巨，许多地方需要边研究边翻译，因此本书中译本是团队合作的成果。六位译者各自都有繁重的日常业务，每一位都以高度认真负责的态度投入工作，并表现出很强的协作互助精神。每一章末分别标有该章译者名，封面排名不分先后，笔者向每一位参译者表示衷心感谢。笔者审校了全部译稿，因此书中可能出现的疏漏和错误概由笔者担责。

最后，笔者高度赞赏北京大学出版社在传播数学史和数学文化方面的热情和眼光，特别要感谢本书责任编辑潘丽娜为本译著的顺利出版所做的大量细致耐心的工作。

李文林

2024年3月29日于北京中关村

本文经授权转载自微信公众号“数学大院”，载于《数学史》（北京大学出版社，2024年）。

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