广义对称性：联结高能理论、凝聚态理论与数学的新概念（下）

撰文 | 王一男（北京大学物理学院研究员）

超越群——范畴对称性

正如前文所述，群是一种描述对称性的自然结构，但是否描述对称性一定要用群呢？随着形式化量子场论的发展和高形式对称性的提出，人们意识到在场论中需要关注高维物体和高维算符，例如被p-形式对称性作用的p维算符。但是，我们能否描述不同高形式对称性之间的混合呢？以及需要用什么样的数学结构来描述呢？

答案是：现代数学的灵魂——范畴。

范畴是集合论的推广与集大成，同时也是数学的一个重要前沿领域。一个一阶范畴包含了一些对象（object）和对象之间的关系（被称为“态射”，1-morphism）。进一步，我们可以定义二阶范畴（2-category），其中包含关系之间的关系（2-morphism），三阶范畴包含关系的关系的关系（3-morphism），以此类推，甚至到无穷范畴。

在拓扑学中，我们可以将空间上的每个点看成对象，两个点之间的路径看成对象之间的关系，两个路径之间张成的面看成关系之间的关系，等等。因此，可以看出范畴论早期的发展与代数拓扑中的同伦论（homotopy theory）存在密切的联系。

在代数中，我们同样可以用范畴的语言定义代数结构。例如，群可以被看作是只有一个对象“•”的一阶范畴，其中每个群元素对应“•”到自己的一个1-morphism。当然，对于群来说，这些1-morphism都是可逆的，并且需要满足结合律。

接下来就是将群推广到高阶群（higher-group），一个n阶群（n-group）被定义为只有一个对象“•”的n阶范畴。在这个n阶范畴中，包括可逆的1-morphism、2-morphism直到n-morphism，它们在物理中对应于不同的对称性变换，作用在不同维度的算符上。

更细致地说，对称群在物理算符上的作用方式是由其“群表示”确定的。一个简单的例子是三维空间中的旋转变换，它可以作用在三维坐标矢量上。在线性代数中，这可以理解为一个3×3的旋转矩阵去乘以一个三维列矢量。换句话说，我们用一个3×3矩阵去“表示”旋转对称群的元素。

对于高阶群的群表示，也需要用所谓的“n阶矢量空间”（一个n阶范畴）去替代普通的矢量空间。在数学领域，一般的高阶群与表示理论还未被完全建立，而此问题在数学和物理中都存在许多未知的可能性，亟待人们深入探索。

不可逆对称性

在范畴对称性的讨论中，我们依然假设所有对称变换都是可逆的。现在自然而然地引出一个问题：我们能否放松对可逆性的要求呢？

在一般的范畴中，1-morphism当然可以是不可逆的。一个经典例子是非阿贝尔群的表示张量范畴（representation tensor category），其中的1-morphism是群表示，而它们之间的结合就是群表示之间的张量乘积展开。一个简单的例子是SU(2)群，其不可约表示可用自旋标记。两个自旋1/2的粒子结合，可以得到一个自旋为1的三重态，以及一个自旋为0的单重态：

在这个代数系统中，单位元可以被定义成自旋为0的单重态。然而，对于张量积运算而言，不存在逆元的概念。

接下来，我们将探讨物理系统中的不可逆对称性[3]。一般来说，生成不可逆对称性的拓扑算符之间的张量积需要形成以下的一般形式，即等式右边是若干个算符的直和：

一个具有不可逆对称性的物理实例可由以下方法构造：考虑一个具有离散非阿贝尔群G对称性的场论模型，我们将这个对称性规范化，变成一个规范群为G的规范场论。可以证明，新的体系会具有一个新的对称性G’，其对称性代数为G的Pontryagin对偶，也就是G的表示张量范畴。由于非阿贝尔群的表示在张量乘积运算下不可逆，我们因此构造出了一个带有不可逆对称性的物理体系。

我们还可以研究最一般的，由n阶张量范畴描述的高阶范畴对称性，这些高阶范畴对称性的定义和性质与普通对称性大不相同。如何研究它们的表示论、量子反常、对称性破缺等问题都是数学物理中的前沿课题。

广义对称性与弦论

如何理解非微扰、强耦合、强关联系统是物理学中的基本难题，也是数学物理的终极问题之一。由于一般的非微扰量子场论过于复杂，人们会尝试讨论一些具有更高对称性的模型。

其一是探讨具有标度不变性的“共形场论”。这些理论在统计物理中用于描述临界现象，同时也能描述量子场论在极限短距离（紫外）或极限长距离（红外）下的“不动点理论”。

其二是引入一种新的对称性——超对称，要求理论中的玻色子与费米子两两配对。超对称可简化、减少量子场论中的量子修正。

共形场论与超对称量子场论一直以来都是形式化高能理论的重点研究领域，它们背后蕴含着丰富的数学结构。例如四维N=2超对称场论的Seiberg-Witten理论、四维N=4超对称场论的散射振幅结构，以及各种对偶性等都是深受关注的研究方向。

值得一提的是，有些量子场论同时具备超对称性和共形不变性，它们被称为“超对称共形场论”（superconformal field theory）。这类理论很多都是非微扰的，甚至没有经典拉氏量近似描述。著名的例子包括四维的“Argyres-Douglas”理论，以及众多的五维、六维时空中的超对称共形场论等[7, 8]。

我们可以在弦论框架中系统地构造许多超对称共形场论，这也被称为“几何工程”（geometric engineering）。弦论是一种自上世纪70年代以来发展起来的量子引力候选理论，旨在统一量子场论与广义相对论。诸多现代数学分支也随着弦论的进展而一同得到发展，如复代数几何、镜像对称、计数几何、共形场论相关的算子代数，等等。

人们通常使用的弦论版本是10维的IIA/IIB超弦理论，或者11维的M-理论、“12维”的F-理论等。为了获得我们所需的低维理论，我们需要把其中一些额外的时空维数置于满足一定数学条件的几何空间上，比如著名的卡拉比-丘流形。

当我们希望构造不含引力部分的超对称共形场论时，选取的几何空间需要满足以下的性质：

(1) 几何空间的体积趋于无穷，使得低维理论的牛顿引力常数趋于零，即引力相互作用可被忽略；

(2) 几何空间包含一个奇异点，即呈现下图的锥形结构。超对称共形场论中的物理自由度就隐藏在这个奇异点当中。

前文提到的许多有趣的超对称共形场论都可以通过这种方法构造。近年来的研究表明，虽然我们仍然很难描述这些理论的动力学细节，但却可以直接利用几何空间的拓扑性质去计算它们的全局结构，尤其是它们的广义对称性。

具体而言，在超弦/M-理论中都存在着奇异的高维“膜”物体，如超弦中的D膜和M-理论中的M2、M5膜。通过将这些膜缠绕在一些特定的子空间上，我们可以直接构造出广义对称性作用的高维物理对象！例如，笔者与合作者首次通过这种方法计算了四维“Argyres-Douglas”理论及其推广理论的高形式对称性[9]。

近年来，一些学者也在探索用弦论框架来构造不可逆对称性和高阶范畴对称性[10]。这种尝试或许可以在一定程度上将弦论“范畴化”。

广义对称性与全息

除了前文提到的在弦论中的直接几何构造方式，还有一种在弦论框架中研究量子场论的途径，即AdS/CFT对应，或更广义地说是全息原理。AdS/CFT对应的核心思想在于两个物理理论之间存在对偶性（等价性），分别是：

(1) 弯曲的反德西特（Anti de-Sitter ，AdS）时空中的量子引力理论。这里的反德西特时空可以视为一种具有边界的负曲率双曲时空；

(2) 在AdS时空边界上定义的一个量子场论，该场论中没有引力相互作用。

由于AdS时空中量子引力理论的信息完全包含在其边界场论当中，这种对应关系类似于光学中的全息现象，所以也被称为全息原理。

在某些极限情况下，我们能够建立弱耦合引力理论与强耦合边界场论之间的对偶关系。因此，AdS/CFT也被认为是一种有望解决强耦合物理问题的理论框架。

从广义对称性的角度看，在AdS/CFT中，量子引力中的规范对称性对应于边界量子场论中的全局对称性。

因此，为了研究AdS/CFT框架下边界量子场论的广义对称性，我们可以去寻找AdS量子引力中是否存在合适的规范场。读者可能会发现，此物理图像与上文中讲的反常理论与SPT的图像非常相似。实际上，边界量子场论的’t Hooft反常正好对应于AdS中量子引力的拓扑项！在近年，笔者与合作者利用M-理论的几何框架成功计算了著名的三维ABJ/ABJM理论的’t Hooft反常，以及其他三维超对称共形场论的情形[11]。

展望

广义对称性是一个蓬勃发展的新领域，不断刷新着人们对于对称性这一古老概念的认知。它的重要意义不仅在于其在各物理分支中的应用，更在于它成功重新团结了三个原本独立的群体：高能理论学家、凝聚态理论学家和数学家。在国际理论物理学界，人们逐渐开始习惯用广义对称性的语言和思考方式来分析问题。笔者相信，广义对称性将成为物理基础教育中的一部分。如果读者想更深入地学习广义对称性，可参考笔者与王晴睿老师以及学生罗然合作撰写的综述讲义[2]，以及其他相关讲义[3, 4]。

最后，让我们简要展望一下这三个方向的未来研究前景：

(1) 在高能理论方面，研究各种广义对称性的量子反常、对称性自发破缺等基本问题，深入研究广义对称性在弦论与引力-全息对偶中的实现形式，探索在粒子物理、散射振幅、模型构造中的物理应用等。

(2) 在凝聚态理论方面，用广义对称性描述各种拓扑物态、SPT，在格点哈密顿量模型中实现广义对称性，分类融合范畴、高阶融合范畴（higher fusion category）及其对应的拓扑场论，研究在拓扑量子计算中的潜在应用等。

(3) 在数学领域，细致地研究高阶范畴及其表示论，严格证明拓扑量子场论、SPT等领域的物理猜想，推动量子场论的公理化，为理论物理提供更严密的数学基础。

参考文献

[1] D. Gaiotto, A. Kapustin, N. Seiberg, B. Willett, Generalized Global Symmetries, JHEP (2015) 02, 172.

[2] R. Luo, Q-.R. Wang, Y-.N. Wang, Lecture Notes on Generalized Symmetries and Applications, Physics Report (2024) 1065.

[3] L. Bhardwaj, L. E. Bottini, L. Fraser-Taliente, L. Gladden, D. S. Gould, A. Platschorre, H. Tillim, Lectures on generalized symmetries, Physics Report (2024) 1051.

[4] S. Schafer-Nameki, ICTP lectures on (non-) invertible generalized symmetries, Physics Report (2024) 1063.

[5] J. A. Harvey, TASI 2003 lectures on anomalies, arXiv: hep-th/0509097.

[6] X. Chen, Z-.C. Gu, Z-.X. Liu, X-.G. Wen, Symmetry protected topological orders and the group cohomology of their symmetry group, Physical Review B, 87(15), 155114.

[7] P. Jefferson, S. Katz, H. C. Kim, C. Vafa, On geometric classification of 5d SCFTs, JHEP 04 (2018) 103.

[8] J. J. Heckman, D. R. Morrison, T. Rudelius, C. Vafa (2015), Atomic classification of 6D SCFTs. Fortschritte der Physik, 63.7-8 (2015), 468-530.

[9] C. Closset, S. Schafer-Nameki, Y-.N. Wang, Coulomb and Higgs Branches from Canonical Singularities: Part 0, JHEP 02 (2021) 003.

[10] F. Apruzzi, F. Bonetti, D. S. Gould, S. Schafer-Nameki, Aspects of Categorical Symmetries from Branes: SymTFTs and Generalized Charges, arXiv:2306.16405.

[11] D. S. Gould, M. v. Beest, S. Schafer-Nameki, Y. N. Wang, Symmetry TFTs for 3d QFTs from M-theory, JHEP 02 (2023) 226.

本文受科普中国·星空计划项目扶持

出品：中国科协科普部

监制：中国科学技术出版社有限公司、北京中科星河文化传媒有限公司

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