数学物理巨匠赫尔曼·外尔:时间、空间、物质的终极问题丨展卷

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1916 年,阿尔伯特·爱因斯坦 (Albert Einstein,1879-1955) 发表了“广义相对论的基础” (“Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie”) 一文, 成功地运用张量分析的工具与方法表述他的广义相对论,导出了著名的广义协变的引力场方程 (即爱因斯坦方程):

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Wheeler,1911-2008) 深刻地阐释了爱因斯坦方程所揭示的本质——“物质告诉时空如何弯曲,时空告诉物质如何运动”。

1916年到1917年,赫尔曼·外尔在苏黎世的联邦工学院讲授相对论课程时,力图把哲学思想、数学方法以及物理学理论结合起来,用自己的思想清晰而严格地阐述广义相对论。1917-1919 年,外尔在几何学与物理学上作出了巨大贡献,其中最重要的成果之一就是他的专著Raum, Zeit, Materie。该著作德文第一版于1918 年出版 (英文第一版Space, Time, Matter 于1922 年出版),到1923 年已经出到第五版,它是关于相对论的最早的专著之一,而且是最有影响的著作之一。

在《空间–时间–物质》中,赫尔曼·外尔探讨的是关于“空间、时间和物质” 的终极哲学问题,蕴含着他的深刻数学哲学思想及其在几何、物理 (特别是广义相对论) 与哲学之间的深刻联系,因而本书是一部物理学、哲学和数学相结合的世界名著,在近现代科学史 (包括数学史、物理学史) 上具有重要的学术价值。

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外尔的著作《空间-时间-物质》把哲学思想、数学方法以及物理学理论结合起来,用自己的思想清晰而严格地阐述广义相对论。本书1918年以《空间-时间-物质》(Raum、Zeit、Malerie) 的书名正式出版,五年之内再版五次,成为年轻人的心爱之物,大物理学家W.K.海森伯 (Heisenberg) 等都从此书中得到教益。

我国已故著名数学家齐民友先生认为: “外尔是整个数学的数学家,而且对整个科学了解很多,他根据广义相对论写了《空间–时间–物质》(Raum, Zeit, Materie),这本书到现在还没有中文译本。实际上,外尔的著作应该全部翻译成中文。” (《数学文化》, 2019/第10 卷第4 期,102 页) 因而,本书的翻译出版不仅完成了齐先生的遗愿,而且也是对赫尔曼·外尔著作出版百年的一个特别纪念。

陈惠勇

江西师范大学数学与统计学院

2022 年5 月20 日

撰文 | 赫尔曼·外尔

空间和时间通常被认为是现实世界的存在形式,物质是它的内容。在一特定的时间里,物质的某一特定部分占据一特定的空间。这三个基本概念正是在运动的综合概念中才形成了密切的关系。笛卡儿将精确科学的目标定义为,用这三个基本概念来描述所有发生的事情,从而把它们称为运动。自从人类的心智第一次从蒙昧中觉醒,并被允许自由驾驭以来,它就从未停止过对时间深刻神秘本质的感知——意识的演化、世界在时间中的发展和变化。这是一个终极的形而上学问题,在任何一个历史时期,哲学家们都试图阐明和解决这个问题。希腊人把空间作为一项极其简单和确定的科学的主题。在古典主义的思想中,纯粹科学的观念由此而生。几何学成为激发那个时代思想的至高无上的最有力的表达方式之一。后来,当贯穿整个中世纪的教会的知识专制崩溃,怀疑主义的浪潮似乎要把一切看似最固定的东西都卷走的时候,那些相信真理的人就像紧紧抓住岩石一样紧紧抓住几何学,而每一个科学家的最高理想都是使他的科学“更加几何学化”。物质被认为是参与每一个变化的物质,并认为每一种物质都可以用一个量来衡量,这个量作为“物质” 的特有表达方式是物质守恒定律,该定理断言,物质在每一次变化中的数量都是不变的。迄今为止,这代表着我们对空间和物质的认识,哲学家们在许多方面都声称这是一种先验的知识,是绝对普遍和必要的,这些在今天看来却是一个摇摇欲坠的知识结构。首先,以法拉第和麦克斯韦为代表的物理学家提出了与物质相对立的“电磁场”,作为一种不同范畴的实在。然后,在19世纪,数学家遵循不同的思路,暗中破坏了对欧几里得几何证据的信任。现在,在我们这个时代,已经发生了一场大变革,它横扫了迄今为止被认为是自然科学最坚实的支柱的空间、时间和物质,但这只是为了给这些事物一个更广阔和更深刻的视野让路。

爱因斯坦的相对论使我们对宇宙结构的认识又进了一步。这就像一堵把我们与真理隔开的墙倒塌了。现在,我们看到了更广阔的领域和更深刻的知识,而这些领域我们甚至没有任何预感。它使我们更接近于掌握所有物质赖以发生的规律。

这场革命主要是由阿尔伯特·爱因斯坦的思想推动的。在目前看来,从这些基本思想出发,似乎已得出某种结论;然而,无论我们是否已经面对一种新的事态,我们都感到有必要对这些新的想法进行仔细的分析,也不可能退缩。科学思想的发展也许会使我们再一次超越目前的成就,但回到过去那种狭隘和受限制的模式是不可能的。

哲学、数学和物理在这里提出的问题中各有所长。然而,我们将首先关注这些问题的数学和物理方面。只简单地谈谈哲学的含义,原因很简单,在这方面还没有达成任何最终结果,就我个人而言,我不能像我的良心所允许的那样, 对所涉及的认识论问题作出这样的回答。本书中要提出的想法并不是对物理知识的基础的某种推测性探究的结果,而是在处理具体的物理问题的一般过程中发展起来的——这些问题是在科学的迅速发展中产生的,而科学的迅速发展可以说已经冲破了它的旧外壳, 因为它现在变得太狭隘了。这一对基本原则的修订是后来才进行的,而且也只是在新拟订的想法所需要的范围内进行的。就目前的情况来看,除了各门科学各自独断地沿着这条路线前进之外,别无他法,就是说,各门科学都应忠实地按照它们各自的特殊方法和特殊限制所特有的合理动机所引导的道路前进。然而,从哲学的角度阐明这些问题仍然是一项重要的任务,因为它与属于许多个别科学的问题截然不同。在这一点上,哲学家必须谨慎行事。如果他始终注意到这些问题固有的困难所确定的界线,他就可以指导科学的发展,但决不能阻碍科学的发展,因为科学的研究领域只限于具体对象的领域。

尽管如此,我还是要从哲学性质的一些思考开始。人类在日常生活的活动中, 会发现自己的感知行为受到了物质的影响。我们把它们归为“真实” 的存在,并且我们一般地接受它们的构成、形状和颜色等,当它们在我们的“一般” 感知中出现时,就排除了可能的错觉、海市蜃楼、梦境和幻觉。

这些物质的东西都浸没在一种轮廓不定的类似现实的流形之中,并被它们注入其中。这些现实结合在一起,形成了一个永恒存在的空间世界,而我和我自己的身体就属于这个空间世界。让我们在这里只考虑这些实体的对象,而不考虑我们作为一般人所面对的所有其他不同范畴的事物,如生物、人、日常生活用品、价值观,以及诸如国家、权利、语言等实体。哲学反思可能始于我们每一个人,当它第一次对我刚才简要提到的朴素实在论的世界观产生怀疑时,它就被赋予了一种抽象的思维方式。

我们很容易看出,像“绿色” 这样的品质只有当感觉“绿色” 与知觉所赋予的物体相关联时才存在,而把它自身作为一件东西附加在它们本身存在的物质事物上,则是毫无意义的。这种对感觉性质的主观性的认识是由伽利略 (以及笛卡儿和霍布斯) 创立的,其形式与否定“特性” 的现代物理学的建构性数学方法的基本原理密切相关。根据这一原理,颜色是以太 (æther) 的“真实的”振动, 即物体的运动。在哲学领域,康德是第一个朝着这个观点迈出决定性下一步的人,该观点认为不仅感官所揭示的性质,而且空间和空间特征也没有绝对意义上的客观意义;换句话说,这种空间也只是我们感知的一种形式。在物理学的领域里,也许只有相对论清楚地表明,进入我们直觉的空间和时间这两种本质,在数学物理所建构的世界里没有立足之地。因此,颜色是“真实的”,甚至不是其他的振动,而仅仅是发生在与三维空间和一维时间对应的四个独立参数中的一系列函数值。

就一般原则而言, 这意味着现实世界,它的每一个组成部分及其伴随的特征, 都是而且只能是意识行为的有意对象。我所接收到的直接数据,就是我所接收到的意识经验的形式。他们并不像许多实证主义者所主张的那样,仅仅由感知的东西组成, 但我们可以说,例如,在一种感觉中,一个对象实际上是以一种人人都知道的方式,在物理上呈现在与那个感觉有关的人面前,然而,由于这种感觉的独特性,它不能被更充分地描述按照布伦塔诺(Brentano) 的说法, 我将称之为“意向对象”(intentional object)。例如,在体验感知的过程中, 我看到了这张椅子。我的注意力完全集中在椅子上。我“有” 这个知觉, 但只有当我把这个知觉反过来作为一个新的内在知觉的有意对象时 (一种自由的反思行为使我能够做到这一点) ,我才“知道”关于它的一些东西(而不仅仅是椅子),并确切地确定我刚才所说的。在这个第二行为中意向对象是内在的,即行为本身一样,它是我经历的一个真正的组成部分,而在主要的感知行为中,客体是超验的,即它是在意识的体验中给予的,但并不是意识的真正组成部分。

内在的东西是绝对的,也就是说,内在的东西就是我所占有它的形式,我可以通过反思的行为把它的本质归结为公理。另一方面,先验对象只有现象性存在;它们是以多种方式和多种“层次”呈现自己的表象。同一片叶子,根据所处位置和光照条件,似乎有这样那样的大小,或者有这样那样的颜色。这两种外观方式都不能声称呈现叶子就像它“本身” 一样。此外,在每一种知觉中, 毫无疑问都包含着存在于其中的对象的现实性这一命题;事实上,后者是世界现实这一总的论断中的一个固定和持久的因素。然而,当我们从自然的观点过渡到哲学的态度,对知觉进行沉思时,我们就不再赞同这一论点了。我们只是简单地确认其中有一些真实的东西是“假定的”。这种假设的意义现在变成了必须从意识的数据中加以解决的问题。此外,必须找到合理的理由。我并不想以此暗示,认为世界上的事件仅仅是自我所产生的意识的游戏的观点,包含着比朴素实在论更高程度的真理;相反,我们所关心的只是清楚地看到,如果我们要理解绝对的意义以及对现实的假定的权利,我们就必须把我们自己置于意识的基础之上。

在逻辑领域,我们有一个类似的例子。我所宣布的判断肯定了某些情况;该判断认为它们是真的。在这里,关于真理的这个命题的意义和理由的哲学问题又出现了;在这里,客观真理的概念并没有被否定,而是成为一个必须从所给予的东西中绝对把握的问题。“纯粹意识”是哲学上先验事物的基础。另外,对于真理命题的哲学考察,必须而且必然会得出这样的结论,那就是,任何知觉的行为、记忆等 (它们表现出我们借以把握现实的经验),都不能给我们一种结论性的权利,把所知觉的对象归于一种所知觉的存在和构成。反过来,这种权利也总能被以其他观念为基础的权利所否定。

在内容上取之不尽是真实事物的本质;我们可以通过不断地增加新的体验(部分处于明显的矛盾中)来获得对这一内容更深刻的理解,并使它们彼此和谐。在这个解释中,现实世界的事物是近似的概念。由此产生了我们对现实的所有知识的经验特征[注: 这些思想的详细发展非常密切地遵循胡塞尔的路线,见他的“Ideen zu einer reinen Phänomenologie und phänomenologischen Philosophie”(Jahrbuch f. Philos.u. phänomenol. Forschung, Bd. 1, Halle,1913)]。

时间是意识流的原始形式。无论我们的头脑多么模糊和困惑,事实上,意识的内容并不仅仅表现为存在 (如概念、数字等),而是正在以一种不同的内容来填充持久存在的形式。因此,人们不说这是,而说现在才是,但现在又不再是现在了。如果我们将自己投射到意识流之外,并将意识流的内容表示为一个对象,意识流就会成为一个发生在时间中的事件,其不同的阶段在我们的意识流中彼此存在于更早和更晚的关系中。

正如时间是意识流的形式一样,人们也可以合理地断言空间是外部物质现实的形式。物质的东西在外在感知行为 (如色彩) 中呈现出来的所有特征都被赋予了空间延伸的分离性,但是,只有当我们从所有的经验中建立起一个单一的、连接在一起的真实世界时,作为每一种感知的组成部分的空间扩展才会成为同一个包容一切的空间的一部分。因此,空间是外部世界的形式。也就是说,任何物质的东西,在不改变其内容的情况下,同样可以在空间中占据与其现在不同的位置。这立即给了我们空间同质性的性质,这是全等概念的根源。

现在,如果意识的世界和先验的现实世界是完全不同的,或者更确切地说,如果被动的知觉行为弥合了它们之间的鸿沟,事态将保持我刚才所说的那样,也就是说,一方面,一种意识以一种永恒的现在形式流逝着,但却没有空间;另一方面,是现实世界在时间上的延伸,但却是永恒的,而现实所包含的只是一种不同的表象。在所有的知觉之前,我们有努力和反对的经验有主动和被动的经验。对于一个过着活跃的自然生活的人来说,知觉最重要的作用是在他的意识之前清楚地指出他所要采取的行动的明确的攻击点,以及与之对立的根源。作为行动的实施者和执行者,我成为一个具有精神现实的单一个体,这个具有精神现实的个体在外部世界的物质事物中占有一席之地,通过它我可以与其他类似的个体进行交流。意识,不放弃它的内在性,成为现实的一部分,成为这个特定的人,即我自己,出生并将死去。此外,作为这个结果,意识以时间的形式在现实之上展开了它的网络。变化、运动、时间的流逝、存在与消逝,都存在于时间本身之中;正如我的意志作为一种原动力,通过并超越我的身体作用于外部世界一样,外部世界也同样是活跃的 (正如德语单词“Wirklichkeit” 一词所示,源自“wirken”= to act 的实相表示)。它的现象始终是由因果关系联系在一起的。事实上,物理学表明宇宙时间和物理形式不能彼此分离。相对论提出的时空融合问题的新解决方案,使人们对世界行动的协调性有了更深刻的认识。

与此同时,我希望把这门伟大的学科作为哲学、数学和物理思想相互交融的例证,这是一门我非常喜爱的研究。要做到这一点,只有从基础开始系统地建立理论,并把注意力自始至终集中在基本原理上。但我一直无法满足这些自我强加的要求:数学家的地位高于哲学家。

这样,我们今后的论证路线就有了明确的轮廓。如果分开来讨论,那么包括在这篇导言中的关于时间以及从数学上和概念上把握时间,我们还有什么要说的呢?我们将不得不以更长的篇幅来处理空间问题。第1章主要讨论欧几里得空间及其数学结构。那些迫使我们超越欧几里得体系的思想将在第2章中加以阐述;这在度量连续统的一般空间概念 (黎曼空间的概念) 中达到了高潮。在此基础上,第3章将讨论上述空间与时间在世界上的融合问题。从这一点上讲,力学和物理学的结果将发挥重要的作用,因为正如前面已经指出的那样,这个问题的本质使我们把世界看作一个活跃的实体。根据第2章和第3章的观点建造的大厦将在第4章的最后把我们引向爱因斯坦的广义相对论,广义相对论在物理上包含了一个新的引力理论,以及后者的延伸,后者包括除万有引力之外的电磁现象。在我们的空间和时间概念中所引起的革命,必然也会影响到物质的概念。因此,所有必须谈到的有关物质的问题将在第3章和第4章中得到适当的处理。第3章和第4章中讨论的相对论不仅针对时间点,而且对整个物理世界都提出了相对论的问题。然而,我们发现,一旦找到了这个世界的两种形式——空间和时间的解决方案,这个问题就解决了。通过选择空间和时间的坐标系,我们也可以用数字的方法从概念上确定世界所有部分的物理真实内容。

万事开头难。既然数学家是按照严格而形式的方式来处理他的概念的,他就必须不时地提醒自己,事物的起源往往隐藏在比他的方法所能到达的更深处。除了从个别科学中获得的知识之外,还有理解的任务。尽管哲学的观点在不同体系之间摇摆不定,但我们不能放弃它,除非我们要把知识变成一种毫无意义的混乱。

读者在开始时所需要的理论储备是最少的。狭义相对论不仅详尽地论述了相对论,而且就连麦克斯韦理论和解析几何也在其主要内容中得到了发展。这是整个计划的一部分。张量微积分的建立——仅仅依靠它,就有可能充分地表达所讨论的物理知识——占据了相当大的空间。因此,希望本书能够使物理学家更好地熟悉这种数学工具,同时,它还将作为学生的教科书,赢得他们对新思想的赞同。

本文摘编自《空间-时间-物质》[ (德) 赫尔曼·外尔著;陈惠勇,夏际金译。北京:科学出版社,2024.3]一书“《空间–时间–物质》导言”“中译者序”“从作者的前言到第一版”,有删减修改,标题为编者所加。

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书名原文: SPACE, TIME, MATTER

ISBN 978-7-03-073894-3

责任编辑: 李 欣 范培培

本书是被誉为20世纪最伟大的数学家之一的德国数学家赫尔曼·外尔 (Hermann Weyl,1885-1955) 的名著《空间-时间-物质》(Raum, Zeit, Materie),是黎曼几何与广义相对论领域的经典著作。1916年到1917年,外尔在苏黎世联邦工学院讲授相对论课程时,力图把哲学思想、数学方法以及物理学理论结合起来,用自己的思想清晰而严格地阐述广义相对论。1917年到1919年这几年间,外尔在几何学与物理学上作出了巨大贡献,其中最重要的成果之一就是他的专著《空间-时间-物质》,内容包括:欧几里得空间,它的数学表示及其在物理学中的作用;度量连续统;时空的相对性;广义相对论共四章。本书德文第一版于1918 年出版,英文第一版于1922 年出版,至今已有百余年。

本书读者对象是数学与物理相关专业本科生和研究生、教师和研究人员,对于欲了解黎曼几何学思想、广义相对论及其相关领域历史的读者来说是一部极具价值的历史文献。

本文经授权转载自微信公众号“科学出版社”,编辑:刘四旦。

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