祖冲之的密率，妙在什么地方？ | 科技袁人

导言：

但需要注意，疏率这个说法是错误的！

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本视频发布于2022年4月26日，点赞量已达3.6w

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大家都知道，祖冲之把圆周率算到了小数点后第七位，确认它在3.1415926和3.1415927之间。然后，对数学更感兴趣的人还知道，祖冲之为圆周率找了两个近似值，22/7和355/113。

许多人把它们称为疏率和密率，但需要注意，疏率这个说法是错误的！正确的说法是约率。这两个近似值以及3.1415926的结果都来自《隋书·律历志》，原文是：“宋末，南徐州从事史祖冲之更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈肭二限之间。密率：圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率：圆径七，周二十二。”你看，跟密率相对的叫做约率，而不是疏率。

为什么许多人会把22/7叫做疏率？这来自一些早期的印刷错误或笔误。如1935年章克标《算学的故事》140页正确地写成约率，201页却误写成疏率。1951年2月10日《人民日报》第三版发表华罗庚的文章《数学是我国人民所擅长的学科》，其中提到“（祖冲之）用22/7及355/113做疏率和密率”……后来大量的书刊沿用了“疏率”这个名称。其实华罗庚早已发现了错误，他在1962年的《从祖冲之的圆周率谈起》一书中已将这种叫法改正过来，并把《隋书》的原文列在书前，又在密率和约率的下面加上重点，以引起注意。

介绍完这些考据，下面我们来说一个非数学爱好者很少知道的知识：密率355/113的精度出奇的高。你猜，下一个比它更精确的有理数是什么？回答是52163/16604！分子分母一下子从三位数变成了五位数。也就是说，在分母从1到16603的范围内，355/113就是对圆周率最精确的近似。

最近，有一位同学发给我一本日本科普小说《数学女孩》。开头是有一个高一女生米尔嘉向主角提问，都是数列问题，米尔嘉给出前几个数字，考他后面该是什么。

第一道题是：1，1，2，3。主角立刻答出：5，8，13，21……显然，这就是斐波那契数列。

第二道题是：1，4，27，256。这四个数分别是1^1、2^2、3^3和4^4，主角立刻想到下一个是5^5 = 3125，但再下一个6^6心算不出来，米尔嘉告诉他是46656。

第三道题是：6，15，35，77。熟悉因数分解的人会注意到这四个数分别是2 × 3、3 × 5、5 × 7和7 × 11，即相连的两个质数之乘积，所以下一个应该是11 × 13 = 143。主角发现了这个规律，但把11 × 13算成了133，受到了米尔嘉的鄙视。

第四道题是：6，2，8，2，10，18。你看出规律了吗？提示一下，这些数都是偶数。把它们除以2看看，你就知道了。