小学在算术这一低阶数学（思维）上反复折腾六年是迁就还是轻视了孩子们的学习能力？

这是一篇由众多观友对我贴出的一道或有歧义的小学数学题的评论/争论所激发的胡思乱想，算是前贴的续吧。

前贴（请教：这道费脑的小学数学题究竟该作何解？）不长，为阅读方便，我照录如下（以下>>>与<<<<之间的内容）：

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下面这道小学数学题的第二问把我难住了，关键是括号内的“时间按整月计算”该如何理解，我跟孩儿妈的理解就完全不一样。而且我觉得标准答案对题意尤其是“时间按整月计算”的理解是有问题的。

原题如下：

一项工程，若请甲工程队单独做需4个月完成，每月要耗资9万元；若请乙工程队单独做需6个月完成，每月耗资5万元。

（1）请问甲、乙两工程队合作需几个月完成？耗资多少万元？

（2）现要求最迟5个月完成此项工程，请你设计一种方案，既保证按时完成任务，又最大限度节省资金。（时间按整月计算）

请教一下各位的看法。

（注：题目为本地中学五大名校的初中入学“分班考试”试卷的真题）

以上是原帖，引发了众多学友广泛而深入的讨论。

特别感谢“♂丶灬晓淚生命不止，思考不息！”学友之赐教，不辞辛苦，多番大篇幅耐心解释。

以下是修改后重发时增补的内容——借回复Jarod学友的赐教展开谈谈我的一些看法。

Jarod学友谈到：

我挺诧异这么一道例题怎么还在讨论，几乎所有人都搞错了“时间按整月计算”的意思，绝大部分人都缺乏孩子这阶段的学习体系，不严谨同时逻辑判断有问题。我已经说过了，这是三四年级小奥的工程题，考察点是分数运算，在这个阶段他们还在练的有大量年月日计算，所以这里说到的“时间按整月计算”指的不是结果取整月或者各队费用按整月结算，仅代表他表述的按整月计算，不涉及其他，你们几乎所有人都做了过度解读。这类题如果涉及只取整月和结算按整月，他的表述会是“时间取整月”或者“不足月按整月计算”这类说法，所以是你们读题不准确。因此第二问的费用是31万，不是你们大部分人推崇的3/2月分配的33万。你们的读题精准性存在问题，也不去想如果如你们所想该怎么注脚，该想少的地方想多了，该想多点又想少了，导致出现歧义。这题是不是容易造成歧义？是的，对于经历过系统化学习的应该是可以准确抓取到“按”和“取”的区别，也应该知道如果要对月取整题目会用什么话术，但对于普通孩子就容易产生歧义。还有就是我说它是这一阶段的题，如果作为小升初分班题的话，这仅仅是例题水平，不应成为区分题目。这题的话术只能算常规，现在的课内教育也非常讲究用词的精准性，等你们的孩子上了初中就明白了，现在的史地政生数物很大程度上是在考语文了。

以下是我的回复。

你的表述大致有一个框架，在这个框架里，你的表述很自洽，非常有道理。

在你的框架内，具体到对“时间按整月计算”应该如何理解的问题，我谈谈自己的想法：

1、你是从出题人的本意来说的，对于考试中解答这道题来说，这当然是唯一正确的（出路），不这么去理解是“找死”。

2、你最后一句话我深度同感，也在我对我孩子的引导中特别注重语文/语言素养的培育。你提到如果是我和很多学友的那种理解，出题人的表述会是“时间取整月”或“不足月按整月计算”，你的这个表述我深表认同。但是这里我想来个“反将”（没有恶意，只是一时找不到合适的词），如果按你理解的那个意思，那似乎应该表述为“（计费时）按月计算”或“（计费时）时间以月为单位”——加上括号内的“计费时”更好，这两表述虽然也会有一定歧义的可能，但很明显更接近你的理解也即出题人的本意。

现在跳出你的框架来谈谈我的看法：

1、我在贴文末尾的括号内已经交代这道题的来历了，这题肯定有标准答案的啊，我也当然会看的啊，看了标准答案，当然会“明白”你的那种理解是“对”——从考试做题的角度看——的。但是我为什么还要贴出这道题求教呢？当然是另有考虑咯。

2、对题目的审美姿态是我想要引导孩子养成的。

【我平时基本不辅导孩子课内学业（现在搞这道题另有渊源，容末尾交代），有前段时间贴出的一篇文章为证，孩子咨询我题目，被我撅回自己弄去了，结果熬战了一个半小时才闹明白，然后我才给讲，这时就不是讲题目本身的解题思路、技巧、套路之类的“术”了，我讲“道”，我引导孩子以审美的姿态去看题目，分析她思考过程中那些错乱的根源和因由与题设表述之间的“互动”关系。（详见：学做家长｜记孩子的一次“1.5小时熬战一道数学题”的经历及其收获）】

3、出题人将题目出出来了，那读题/做题的人对题设表述如何理解已经跟出题人本意没关系了。

如果有歧义，那只能按照可能的各种理解去分别解题。

如果我要给孩子讲解题目，讲的就是这种内容，而不是解题的套路和技巧。

我想要引导孩子学会思考，以数学思维去思考。

当然咯，审美的姿态是我所欲，但我不会傻得头铁去跟考试的规则做对，讲完了审美姿态的内容，还是会告诉孩子如果是考试中碰上这种题，那就“顺”着出题人的本意——审美姿态中当然也审过出题人本意了的——去解答吧。

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交代一下本帖的背景：

小区邻居请我给其正在上六年级的孩子辅导一下数学。

孩子在本校——所在行政区的第二小学（与第一小学归属同一教育集团旗下的）——的数学考试中成绩基本是90+，但碰上这种本市五大名校初中入学分班考试的题就懵了，茫然无措，不敢去思考，也不知如何去思考，犹如“老虎吃天、无从下口”。

我接受了委托，开始给孩子辅导。孩子家长的本意或者说他们理解的辅导无非就是带着刷题，但我决定从根基入手，每次上课的2个多小时，真正讲题目只讲一道题，而且花的时间很少，其它时间都是在教“功夫在诗外”——相对做题套路、技巧而言——的内容，或者说，教学校本应该更侧重教而实际上只是蜻蜓点水的滑过的内容。具体地说，我要教的内容是“数学理念”，并以此为基础引导孩子学会自主思考。（关于“数学理念”，详见：学做家长｜小学数学教学的重点应是对数学理念的领会而非对数学知识的掌握，以分数为例）

贴文中的这道题是我给孩子写的一个课后读本中所选的一个例题，也是作为收官的最后一个例题，主旨是引导孩子遇到难题时勇于探索的精神及其能力。最后一个嘛，可以随心所欲不逾矩，超纲但不超能力所及都是可以的。

之所以接受委托是基于如下考虑：

其一，在于我的教-学理念得到一个施展和检验的机会（我自己的孩子还在三年级，而要辅导的这个孩子是六年级，而且碰到的困境我判断恰是在对“数学理念”的领会上没有做到所导致的）；

其二，也为究竟该如何引导自己的孩子提前做一个探索，具体说就是，如果我的辅导不成功，那我要检讨我现在以我的理念对自己孩子的引导是否是不合时宜的，即“理念”要与“现实”妥协，如果我的辅导成功了，那会坚定我按照自己的理念引导自己孩子的信心。

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报告一下辅导进展：

在经过寥寥3次课合计6个多小时的辅导后，孩子已经生发出自主思考的勇气并初步具备一定的自主思考的能力了。（注意，我说的是“自主思考”，而不是记忆并照搬那些所谓的解题套路、技巧。）

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补个图证：

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大家可先进前帖的评论区看看各位大神的评论。

隆重推荐”♂丶灬晓淚生命不止，思考不息！“和”Jarod“两位学友的精彩而独到的观点。

以下是我的胡思乱想。

众多学友误以为现在的小学教材没有方程的内容，我先对此做补充说明：

1、本地当前所用人教版教材的五年级上册就有“方程”的内容（方程这一章的第一节是“用字母表示数”）。

2、虽然课本中出现的只有“一元一次方程”，但练习题实际上已经有涉及“二元一次方程组”了——虽然可能“‘强行’要求”要用“一元一次方程”的方式去思考和解答。

比如课本中有这样的练习题：

这不典型的入门级的“二元一次方程组”的练习题吗？

但鉴于课本中没有提到/出现任何关于“方程组”的内容/文字，可能会“‘强行’要求”必须用“一元一次方程”去思考和解答，即只许设一个未知数X，另一个未知数不能设Y而只能用（7-X）去代替。

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以下开始我的胡思乱想。

如果真这么“‘强行’要求”了，我觉得这是在“掩耳盗铃”“自欺欺人”哦。讲了方程但是不讲方程组或不许用方程组，是不是有点“给你一杆枪上战场，但不给你子弹或不允许你用子弹”的感觉啊？！

【这里插一段关于“方程”的数学史。

而且，就数学史而言，在中文语境中，我们现在说的“单一的含一个未知数的数学等式”的”方程“是近代才有的规定性名称，中国古人在数学上最初发明“方程”这一数学思想中的“方程”其实就是我们现在所称的“方程组”。中国古人最初所说的“方程”本来就是（现在的我们所说的）“（多元一次）方程组”。也就是说，方程的概念本来就是从方程组中衍生出来的，先有“方程组”的数学思想/思维，其后才有了“方程”的数学数学思想/思维。这也很好理解啊，古人的算术思维和能力那么强大，与用现在所说的一元一次方程就能解决的问题相关的问题，古人根本用不上——或者说没有动力和痛点/难点去激发创造——“一元一次方程”的思维啊。只有遇到了需要发明创造“多元一次方程组”才能方便解决的难点和痛点，古人才发明了“多元一次方程组”啊，然后，顺带着就发展了“一元一次方程”去解决原来用算术思维解决起来有点复杂和难度但又不是难到非“一元一次方程”不可的问题了啊。

（提醒：上面这一段关于方程/方程组的数学史，不知道是否准确。我是在哪看过的，但现在想不出原始文献/文章在哪了。而且，我不大记得当初看过的那篇文献/文章是否出自正经可靠的书/刊物/公众号了。又或者，是我在看过的资料的基础上有所“脑补”？所以，大家不妨查证一下。）】

然而，本地五大名校初中入学分班考试的试卷中，大量实际上要用到二元一次方程组的题目，或者说如果引入不止一个符号（不仅仅是单单只设一个所求解的未知数为X），无论对于解题思路的思考的辅助还是对于写解答时表述的简练和精确，都是大有裨益的。

而虽然方程这一章的第一节就讲了“用字母表示数”，但是看过一本初中入学分班考试试卷的真题集的配套答案册后，发现其中大量的都是文字+算术式的表述，而少有符号+代数式的表述，用方程的很少，用方程组的就更少。要是全部都没有用方程/方程组也就算了，关键是虽然很少用但是也用了啊，那干嘛不多用甚至能用的都用呢。

可见，实际教学中，这一块很乱，或者说，可能由于“初中入学分班考试”这种为了“区分度”的考试的存在，打乱了正常的教学节奏。

但以愚见，既然教了方程就应该紧接着教方程组，否则就不要教方程了嘛，老老实实的教算术就好了嘛，算术教得好，也能训练最基本的数学思维的。

然而，我还是认为算术这玩意儿花整个小学6年的时间去反复折腾是不合理的，原因在于：

第一，教纲中美其名曰的要花大量的时间在培养基础的数学思维能力方面的“设计”/“初衷”在现实中落实不了，没几个能在这方面有造诣的小学数学老师。这几年因为疫情孩子有好几次在家线上上课，也就有机会现场观摩老师的讲课。我的感受是，在“培养基础的数学思维能力方面”老师基本都是“蜻蜓点水般地滑过”，基本路子是直接端出知识点，然后重点内容就是教做题。相信其它有机会观摩孩子上课的学友们会与我有同感。

第二，由于基础的数学思维（数学抽象、数学眼光、数学描述——所谓数学建模、数学证明和数学表述的严谨性，等等）是各阶段数学知识共通的，并没有所谓算术方面所独有的数学思维，没有如果学不好这个“独有的数学思维”那在以后的数学知识学习中就跟不上这种事情，那么为什么非要在算术方面耗费那么多时间呢，在算术之后的数学知识的学习中还是可以不断学习和巩固所谓基础的数学思维的啊。

第三，数学这门学科发展到现在，其知识体系已经非常庞大了，而且越是与高端科技有关的数学越是数学知识中真正高深的部分，现在所谓的大学里的”高等数学“其实既不高级也不高深，我们直到大学毕业所学到的数学知识相对数学大厦来说，只是几块底层的砖头，实在是少得可怜、浅显得可怜。看过中科院曹则贤老师著作和文章的学友应该会与我有此同感。所以，我们要学的数学知识太多了，而数学知识大厦的每一个阶梯，都是一次以一个”高维概念“引导的数学思维的革命，只有尽可能多的逐级跃升到更高维度/层次的数学知识，才会有更高阶的数学思维能力，才有可能更能适应和应对未来的高科技研究。如果你期望你的孩子或者说你期望更多的孩子能在未来将中国的高科技搞得更好，那就不能容忍小学数学教学中这种在算术的维度拖拖拉拉的搞法。

第四，或许有人会争辩，上述第三点的那种高大上的期望目标只适合少数尖子生啊。是的。这无可否认。但是我想反过来说一下，对于绝大多数未来不从事高精尖科技研究的学生来说，所谓的”数学思维“是不是有点鸡肋的意思呢？对绝大部分学生来说，”数学思维“好不好有什么要紧呢，只要数学知识学到了而且会应用就好了嘛，同样的学习时段内（比如到初中或者高中毕业）学习了更多的数学知识，这难道不香吗？比如说微积分，初中生学这个难不难？就其作为数学思维（尤其是其中蕴含的新概念的创造方面的”东西“——找不到合适的词来表述了，用”知识即创造知识的知识“容易引起误解）来学而言，对于绝大多数学生来说，可能确实有一定难度。但就其作为数学知识来学而言，对于绝大多数学生来说，可能也没那么难吧。那为什么不学呢？

第五，还是中科院曹则贤老师讲的道理，我们现在的教材逢难就绕路是极不正常的，为什么要如此迁就所谓孩子们的接受能力（思维水平）——或者说怎么敢如此轻视孩子们的学习能力？！把难的东西都从课本中抠出去了，那学生们学的就只剩下一堆”浅薄得愧对先贤（曹老师语）“的浅显知识。而到了做研究或搞清楚某个稍微高深一点的问题，孩子们就不得不去艰难自学以补上缺失的那些较为高深的知识。曹老师自己的亲身经历就是明证，所以他的其中一个”理想“就是”唤起年轻人高贵的野心“，故而他的即使是写给少年的科普书比如《相对论少年版》《量子力学少年版》等，绝不搞偷工减料式的（将其中难的东西尤其是精深的数学部分的内容撇开不讲）科普，而是迎难而上，还其本来面目——核心是理论中的数学部分。

第六，从科学史来看，有重大成就/成果的科学家其重大成果基本都是在20-30岁之间就已经取得的，所以这个年龄段是人最富创造力的阶段（丘成桐也做过这样的论断），如果这个阶段还在为补高深的知识尤其是数学知识而花费大量时间，那还怎么创造呢？科学史上不乏——甚至可以说很多——天才少年，人家之所以在20岁左右就能创造出重大研究成果，那是因为——用曹则贤老师的话来说——他们从小读的就是正经的书而且是高深的书。

一时兴起，扯了一堆，似乎越发跑题/拔高得太远了。还是打住吧。

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哦，这里还要附一下”Jarod“学友的最新评论以及我对这个评论的想法。

”Jarod“学友谈到：

这才是讨论，挺好。

1、这就是现实，不尽合理，又无法改变规则，只能去一定程度上适应规则，但并非无奈，同时去让孩子理解它的不合理性即可。

2、随手打的东西，难免不严谨，抛砖引玉，明白我的意思就行。正式的大规模考试里，出题会很严谨，极少出现那题的不明确表述。

我所说的它是阶段性例题是什么意思.....是指的它仅适用于常规学习阶段，因为这个阶段同时做得多的还有年月日换算，所以孩子们会有惯性思维考虑过多的日月换算，所以在有的题目中会出现这种“按整月”的表述，系统化学习的孩子会理解这点。但对于未经系统化学习，或者过了这个学习阶段再出现这种题，就不适合了，容易造成误解。

再说这种情况是怎么出现的，我不反对真减负，但现在不断在加强文科话术和难度，大幅缩减理科作业时间和难度，才导致这种题会出现在名校分班考。

关于你的看法，我觉得你把别人看扁了，看得也太浅了。

学习本身就不是对与错的简单化，比如你的这道题，我们也经过这个阶段，几种情况、几种表述、合适与否、为什么这么出题、题目好坏、所用知识、锻炼目的、现实应用等等当然是要全部讲解讨论的。启发式教育本身就是理科的学习方式，一题多解本就是基础。我家孩子初中老师甚至有过要求一题十一解，名校的老师和家长大家基本都是这么要求这么做的，而且标准还要高得多。

你的那篇1.5小时和孩子互动教育、启发式一题多解的文章我看了.......我不想客套，觉得很常规、浅了、而且低效。我这么说不仅你，恐怕绝大部分人都会不舒服，但事实就是事实。我拿效果来说话吧，这图是我家孩子的课外班同学，也是个小姑娘十岁在做的，同样是启发式学习，这是头部学生在做的。你们再想想差距在哪里，可不仅仅在孩子，高智高知家长比你们想象中更懂教育得多，尤其这些人在一个圈子之后。

以下是他的附图：

这真的让我大开眼界，大大冲击了我这只井底之蛙。

如果这不是拔苗助长——以孩子的兴趣和能力为标准判断——的话，我觉得这些”头部学生“可能就是国家未来高科技真正大规模崛起的希望之星。

我是支持相对于现在的蜗牛式学校教学来说要适度”超前学习“的，但要建立在能成功引导孩子有兴趣自己去钻研并且能力水平够得上的前提下。

我的孩子有没有能力水平学习这种高阶的数学我不知道，因为我还没成功引导孩子对这些高阶数学产生兴趣，而我又不认同报课外班”强按牛头去喝水“的方式，我倾向于孩子有兴趣了然后自学。

”Jarod“学友的介绍促使我有了紧迫感，引导孩子对高阶数学生发兴趣的事宜不能再过于自由/自然地慢条斯理的了，该好好琢磨一下有什么好招儿加速这一进程。

顺带澄清一下，这种“适度‘超前自学’”虽然从表面形式上看与大家痛批的“鸡娃”有点像，但实在说，其初衷及其本质是有区别的。

学做家长，难矣哉！

然则，”世事不难，我等何用！（孙皓晖《大秦帝国》始皇嬴政之豪言）“