学做家长｜小学数学教学的重点应是对数学理念的领会而非对数学知识的掌握，以分数为例

“To learn mathematics is to do mathematics.”

——匈牙利裔美国数学家保罗·哈尔莫斯 (Paul Halmos，1916-2006) 

导读：在小学数学的“教与学”中，“数学知识”的教授与学习虽然是实际上的绝对主体性的内容，但其相对来说真的不难——绝大多数仅需记忆、极少数需要一点点理解，不值得耗费大量时间和精力；学生对于“数学理念”（指“‘（如何）创造/发明数学知识’的知识”、“数学抽象的思维及其能力”和“数学表述的严谨性”三个方面）的领会与老师对此的引导和启发是被轻慢了的本应该更有侧重的内容，其相对较难，但是更为重要。分数的“教与学”就是一个典型的例子。

01

小学数学学什么？

小学数学学什么？

神马？这难道是个问题——难道不就是教学大纲/课标中设置的内容吗？或者说，这难道是家长应该或者说有能力考虑的问题？

历次版本的教学大纲/课标从来都是充满争议的，其中不乏数学界大咖对其的批判。所以，笔者认为，这个问题家长应该要去考虑。至于是否具备考虑这个问题的能力，笔者想说的是，只要有此意识，就可以去多关注学界各方的意见，然后根据自己的认识去判断。不会烹调难道连何谓美食的分辨能力也没有吗？

推荐几篇文献（后文中会不断提到和引用，读完本文后如有兴趣请移步参阅）：

《姜树生：小学数学应该学什么？》

《李克正：怎样学好数学？》

《华罗庚：我从事科学研究工作的体会》

《我们需要怎样的数学教育？｜展卷》

再推荐一个微信公众号：“返朴”。该公号中的文章都是各个领域研究前沿或在国际上享负盛名的科学家/学者（包括数学家）写的文章，特别是有一些大咖还特别关心数学教育（包括小学数学教育）并专门撰文阐述自己的心得和观点。既能拓展我们的视野，又能提升我们的见识层次，且极具实操意义上的参考价值。

以下谈谈笔者研究该问题后得到的一些认识和体会。

02

小学数学“教-学”内容的应然与实然

应然

小学数学的“教-学”应该包括两部分：“数学知识”和“数学理念”。

“数学知识”大家都明白，这里只强调一下“知识”具有“‘可言传’性”。

“数学理念”则有点不明觉厉，这是笔者暂时化用的一个词儿，用以表达的是“‘（如何）创造/发明数学知识’的知识”、“数学抽象的思维及其能力”和“数学表述的严谨性”三个方面。“数学理念”具有“‘只可意会不可言传’性”。

【补充说明1：“‘可言传’性”可能是笔者生造的概念，其意思是“可以言说并可明确说清楚”。与之相对的就是大家比较熟的“只可意会不可言传”，但这不是说就“不能用言去传”了，而是说，“虽可言说但不可能明确说清楚而只能从所言说中去意会/领会”。比如老子《道德经》中讲的“道”，就是个“只可意会不可言传”的“东西”（你都不能称之为“概念”）。所谓“道可道，非常道”，“道”可以言说，但说出来的就不是那个“道”。然而，我们依然可以或者说仍然要通过《道德经》五千言去“意会/领会/体会”那个“道”。“只可意会不可言传”的“东西”不可教（如“知识”那样直接传授）但可引导和启发，比如“跳大绳”，详见注释1。】

【补充说明2：“‘（如何）创造/发明数学知识’的知识”这个表述中的后一个“知识”用“知识”是权宜之计、亦是无奈之举，其实并非“可言传”的“知识”，而是“只可意会不可言传”的“不知是什么东西的东西”。“数学抽象的思维及其能力”是指对具象事物进行抽象得到概念然后对概念进行逻辑活动的思维方式及其能力。数学表述的“严谨性”意味着“科学性”也即“精确性”。“数学理念”是小学即数学启蒙阶段的重中之重，也是学好数学的基础和关键——在越往高年级的/越高深的数学上表现得越鲜明，这一点笔者有切肤之痛的体会，详见注释2（笔者自己在数学学习上的惨烈教训）。】

当然，虽然是分开列为两个名目，但实际上在学习中这二者是内在统一的，“数学理念”要在对“数学知识”的学习中去领会。

笔者在“教”与“学”之间加了个“-”，用以强调小学数学的老师的“教”与孩子的“学”这两者的并重。其中有两层意思：

其一，不仅要从课标设置的角度去看要求老师教什么——这决定着孩子们必须学什么，更要从数学自身的角度去看孩子应该学什么——这反过来又要求老师必须还要教什么；

其二，“数学知识”与“数学理念”的并重，或可进一步说，相对于“数学知识”，更重要所以也应该更有所侧重的是“数学理念”。

【补充说明3：上述两点，若不知所云，请详参下文第4节（案例讨论：“分数”“教-学”之我见）和注释3（从“九九乘法表”中沙里淘金），并参阅《姜树生：小学数学应该学什么？》、《李克正：怎样学好数学？》这两篇文献。】

以武侠概念譬喻，则：

“数学理念”是“内功”，“数学知识”是“外功”，或者说，“数学理念”是“心法”，“数学知识”是“功法/招式”；

上乘武功尤重“内功”“心法”，数学亦如是，越高深的数学体现得越明显；

“内功”“心法”讲究童子功，所以小学阶段的数学启蒙在“数学理念”这一“内功”“心法”上的修习就至关重要。

这是小学数学“教-学”内容的应然。

实然

然而，理想很丰满，现实很骨感。

由于：

“数学知识”是老师相对容易着力且力所能及的，也是对老师的考核评价中易于测度的；而“数学理念”是老师不易着力或力有不逮的，也是对老师的考核评价中难以测度的。

故而：

通常，老师会偏重于并擅长于“数学知识”的传授，而轻慢于或不善于对孩子对于“数学理念”的领会的引导和启发。而孩子们的考试成绩即分数成了老师可追求的目标，于是，孩子就得多做无谓的重复性的习题，而由于习题多故而就由不得慢慢地思考习题所体现的数学本身，而只追求尽快将正确答案写出来以完成作业任务。

这是小学数学“教-学”内容的实然。

03

小学数学“教-学”，“数学知识”比较容易，“数学理念”更为重要

小学“数学知识”真心不难，甚至可以说相当容易

对于“知识”本身而言，所谓“掌握”——教学大纲/课标中的惯用词，其标准无非是“熟知且会用”（其表现就是会正确答题，体现为考试成绩/分数），达标的方式/途径是“理解+记忆”。

“理解”取决于“逻辑思维”，“记忆”取决于“重复练习”（天赋异禀除外），“理解”可助于“记忆”。

那么，以对“知识”“掌握”的“熟知且会用”的标准来衡量，“小学的‘数学知识’”，难吗？

不难！不仅不难，甚至可以说相当容易——易教且易学！

因为：

第一，其核心：无非（自然数、分数、小数等的）加减乘除及其混合运算而已；

第二，其绝大多数仅仅是记忆性的，极少数稍微多一点点理解性。

比如多位数的加减乘除的竖式计算：

虽说看起来有点复杂，但对这个知识点的掌握——以“熟知且会用”为标准——老实说根本没啥难度，只是个“计算规则”的记忆和熟练应用而已，连理解意义上的难度都没有。所以，按照教学大纲/课标的设计及要求，老师要教的就是传授（老实说，只是告知）这个“计算规则”，学生要学的就是记住这个“计算规则”然后重复训练直至“手熟”就能达标（“熟知且会用”）了。

再比如带括号的加减乘除混合运算：

图自网络

这是看起来更为复杂一些的内容了，但对这个知识点的掌握——以“熟知且会用”为标准——老实说仍然根本没啥难度，仍然只是个“计算规则（运算次序）”的记忆和熟练应用而已，仍然连理解意义上的难度都没有。所以，按照教学大纲/课标的设计及要求，老师要教的就仍然只是传授（告知）这个“计算规则（运算次序）”，学生要学的也仍然就只是记住这个“计算规则（运算次序）”然后重复训练直至“手熟”就能达标（“熟知且会用”）了。

余不尽述。

通过上述两个例子见微知著，可以说，就小学数学的各个知识点来看，其本身绝大多数只是个“记忆”、极少数涉及一点点的“理解”，主要需要“理解”参与的境域是所谓应用题（不局限于考卷末的那种题型的应用题，也包括选择题和其它题型）的解答——应用数学知识解决实际问题，然而此间所涉及的“理解”很大程度上并非是对数学知识点的理解，而是语文意义上的阅读理解，只要语文意义上的阅读理解没问题，加上一点对“数学理念”（其中的后两项：“数学抽象的思维及其能力”和“数学表述的严谨性”）的领会，应用题的解答也是小菜一碟。

【补充说明4：小学数学的应用题对孩子们来说，究竟难与不难，见仁见智。愚见以为，只要是“数学式”的应用题，就不难。所谓难的应用题，通常并非“数学式”的，而是“世故式”的，考验的其实是“生活经验”——是否世事洞明，或者是“急智机巧”——是否“圆滑”甚至“奸猾”。比如：“离题（实考语文、经济学）”式的、“脑筋急转弯”式的、陷阱式的、甚至是恶意挖坑式的。其中很多“不靠谱”的题目连数学院士看了都摇头。这是另一个大问题，也是本系列第二篇（初拟标题为“学做家长｜以对几道题的鉴赏性分析管窥小学数学习题之现状：精良者不多，低劣者不少，平庸者不可胜数”）将要专注和讨论的议题。】

正是因为小学数学就其对“数学知识”的掌握——以“熟知且会用”为标准（其表现就是会正确答题，体现为考试成绩/分数）——来说非常容易，所以多年以前对跳级还比较宽松时，就有不少孩子跳级甚至连续跳级。比如曾上中科大少年班、现为科普大咖的袁岚峰博士“小学和初一总共（只）上了两年，一共跳了四级”（笔者注：那是小学是五年制），详见其自述：我是如何14岁上大学的？| 科技袁人。

按照现在的孩子们的智商，学习并掌握这些数学知识虽不能说易如反掌，但也并不难，根本不需要零敲碎打、反复折腾地磨蹭六年。

【补充说明5：所谓“智商”是现代科学衡量智力水平的一个可测量、可量化的指标，其本质——愚见以为——是“记忆+理解（逻辑思维）”的能力。智商超高和较低的孩子都是极少数，绝大多数孩子的智商是处于差不多的水平的，而且足以应对小学阶段的数学知识。详参注释4对此的深入讨论。】

【补充说明6：就现在小学数学这些知识实际上需要多少时间能完成教与学，笔者也曾看过数篇有些“激进观点”的文献，也曾与几位数学老师探讨过，得到的结论是“即使对于‘资质’平平的孩子来说也最多仅需三年左右即可”。】

既然小学数学的“数学知识”这么容易且用不着六年去学，那难道将中学的部分数学知识下放到小学来提前学——然后又将部分大学数学知识下放中学去学）？以对知识的掌握——以“熟知且会用”为标准（其表现就是会正确答题，体现为考试成绩/分数）——来说，也未尝不可。但此非笔者本意。

【补充说明7：也有另类方案。比如，个别学校“特立独行”的实验——小学一二年级不开数学课（也即不学习具体的数学知识，其腾出的时间用于加强语文的学习以及其它文艺、科学等科目）、到了三年级才开始正式开数学课，实验效果（从与正常班的考试成绩的比较来看）还蛮不错。详情请参阅《湖北一小学三年级才上数学课，教育局叫停》。笔者虽然非常欣赏这一“特立独行”的做法，但并不完全支持，因为笔者有自认为更好的方案，详见注释5（以数学发展史为主线贯穿各知识点的教-学或许是做好孩子们数学启蒙的适用方式）。】

笔者认为，小学数学除了“数学知识”还有更重要的“数学理念”，而对“数学理念”的领会是需要、也值得投入更多——相对对“数学知识”的掌握来说——的时间和精力的。

小学数学“教-学”的难点（但却更重要的）是“数学理念”

第2节中以武侠譬喻讲了“数学知识”与“数学理念”的关系，即：

“数学理念”是“内功心法”，“数学知识”是“外功招式”；“内功心法”根基打好了，练习“外功招式”就能事半功倍；上乘武功尤重“内功心法”而“内功心法”尤为讲究童子功，数学亦如是。

因此，“数学理念”的“教-学”应该是小学数学的重中之重。

然而，“数学理念”的“教-学”或许是小学数学的真正难点。

因为，“数学理念”具有“‘只可意会不可言传’性”，也就是说，“数学理念”必须依赖于孩子自己去领会，但又必须要有老师的引导和启发；对于老师的“教”来说，这个“引导和启发”是极具挑战性的——不仅考验耐心、更加需要智慧；对于孩子的“学”来说，这个“领会”是非常玄妙的（如人饮水、冷暖自知）——不仅要认真听讲/练习、更要用心体察/感悟。

举个例子，大家体会一下。

这个例子是关于小孩子识数——认识自然数——的，转引自上述推荐文献之一即《姜树生：小学数学应该学什么？》。

只有认识了整个自然数集，才能说是认识自然数了。

华罗庚先生曾经这样生动地描述小孩子识数的过程（见 [2]）：

“小孩子识数，先学会数 1 个，2 个，3 个；过些时候，能够数到 10 了；又过些时候，会数到20，30，...，100 了，但后来，却决不是这样一段一段地增长，而是飞跃前进。到了某一个时候，他领悟了，他会说：‘我什么数都会数了。’这一飞跃，竟从有限跃到了无穷！”

只有经过了这个飞跃，才真正能说是识数了。

但这个“大彻大悟”的过程，是只能由孩子自己完成的。对于这个过程，华罗庚先生解释说：

“怎样会的？首先，他知道从头数；其次，它知道一个一个按次序地数，而且不愁数了一个以后，下一个不会数。也就是他领悟了下一个数的表达方式，可以由上一个数来决定，于是，他也就会数任何一个数了。”

教育者则只能引导，如上面所说，讲了一百以内的数再讲一千以内的数、一万以内的数、一亿以内的数，等等，逐步扩展孩子的知识和想象力，直到孩子完成这个“飞跃”。在完成之前，教育者需要有足够的耐心。

华罗庚先生所说的“从头数”、“一个一个按次序地数”、“不愁数了一个以后下一个不会数”，在数学中可以严谨地表达为“皮亚诺公理”。一个好的数学教育者应该明白，自然数集就是满足皮亚诺公理的集合（参看 [4]），而且应该理解自然数集的无限性，这是人对于无穷的第一个科学认识。

庆幸地是，笔者带孩子识数的过程与上述几可仿佛，那时还没读到华罗庚先生讲的这个例子、也没有此等明晰的认识，而只是直觉应如是。

【补充说明8：或许有人以为笔者在吹牛，或者有人会认为即使孩子识数过程没有华罗庚先生描述的那个“美妙”的过程尤其是其中的“领悟”那又如何呢。对此，最好的回应或许是笔者孩子的一个实证，见《以二年级女儿的一个独立发现为指引得到可推导出九九乘法表的一组公式》。这个“独立发现”与华罗庚先生讲到的“领悟了下一个数的表达方式，可以由上一个数来决定”几乎是异曲同工的。】

我们再看看华罗庚先生的另一段话（引自：华罗庚：我从事科学研究工作的体会）：

什么叫做坚实的基础？会背会默，滚透烂熟，是否就算已获得坚实的基础了呢？我认为不算的，并且，我认为这不是建立坚实基础的一种最好的途径。因为真正懂得前人的成果或书本上的知识的人，不一定要会逐字逐句地背诵；甚至完全相反，会逐字逐句背诵的人不一定就是真懂的人。

华罗庚，公众号：返朴华罗庚：我从事科学研究工作的体会

这段话的道理，反应在小学数学的学习中，就是所谓对“知识点”的“掌握”（“熟知且会用”）并非就是所谓“（为以后更高年级的更繁难/高深的数学的学习）打好了（坚实的）基础”，更不代表真懂。真懂才是真正的“坚实基础”。

华罗庚先生接着谈到了何谓“真懂”：

所谓“真懂”，其中当然包括搞懂书本上的逻辑推理，但更重要的还要包括以下一些内容：必须设身处地地想，在没有这定律（或定理）之前，如果我要发现这一条定律（或定理）是否可能。如果可能，那是经过怎样的实践和思维过程获得它的。不消说，在研究证明的时候，更重要的是了解其中的中心环节。因为对中心环节的了解，有时可以把这证明或这定理显示得又直觉又简单。

华罗庚，公众号：返朴华罗庚：我从事科学研究工作的体会

这段话的道理同样适用于小学数学，比如前文举例的多位数乘法的竖式计算，仅仅学会计算法则是不究竟的，要究竟就要按华罗庚先生说的，要假设这个竖式计算及其计算法则还没有发明出来，现在我要来发明，得要经过怎样的实践和思维过程获得它。这其中最核心的就是对笔者所说的“数学理念”尤其是其中的“数学抽象的思维及其能力”的领会。体现在“教-学”中，这就要求老师的“教”是引导和启发性的，学生的“学”是探索和领会式的。这其中甚至允许学生的“学”的失败，甚至允许老师的“教”的失败，因为：其一，先贤的智慧/思路确实有很多是我们现在难以复原重现的（可参阅：费曼为什么无法重复牛顿的椭圆轨道证明？笔者在“祛魅演绎”系列文章中的核心观点或可解释）；其二，即使是失败的经验也是有益的，至少足以增加对先贤及其发明的这个竖式计算方式及其计算法则的敬意、并很大程度上加深对于这个竖式计算及其计算法则的理解/领会。

然而，现在的问题是，从小学到大学，数学的教学都过分偏重知识的传授，而缺少了对“知识是如何创造出来的”也即所谓“‘（如何）创造知识’的知识”的学习、体察和领会。

美国学者杰森·威尔克斯（Jason Wilkes）在其一本书名极具冲击力的著作《烧掉数学书：重新发明数学》（Burn math class）中就深入探讨了这个议题。笔者从《我们需要怎样的数学教育？｜展卷》一文中转引该书的“序”的其中两段话：

在各个层次的数学课程中，从小学到博士后水平，都缺失了重要的一环，就是对模糊和混乱的创造过程的忠实描述，而这个缺失是数学课让最积极的学生也感到厌倦的主要原因之一。如果对数学概念创造过程中的思想之舞没有深刻认识，就无法充分领悟数学的优雅和美丽。这个过程不像看上去那样难，但是需要彻底改变我们讲授数学的方式。我们需要在教科书中至少纳入一些错误的假设、推理和结论，让学习者在接触现代形式的定义之前体验到这些。我们需要像讲故事一样写教科书，让书中的角色经常被难住，不知道下一步该往哪里走。职业数学家每天都要用到这些策略，但是在教科书中和课堂上很少拿出来讨论。

本书的主题就是：讨论从模糊和定性到精确和定量的过程，或者说，如何自己发明数学。我所说的“发明”不仅仅是创造新的数学概念，还包括学习如何重新发明已经被其他人发明了的数学知识，从而获得对这些概念更深入的理解。这个过程以前从没有被明确讲授，然而它比任何数学课程都更为重要。

这个“重新发明数学”的方式，笔者深表认同，其过程就是对“数学理念”的三个方面全面学习、体察和领会的过程。

这对于以后学习更高深的数学以至于从事科研创新都是至关重要之必要条件，而小学数学的这个数学启蒙的阶段，尤为关键。

或许有的老师会争辩，我们课标中以及教学中安排有这方面的内容啊，感谢万能的互联网和国家强大的信息基础设施，笔者不仅查阅到了一些课标，也随孩子一起（在疫情居家隔离期间）上了些在线授课的数学课。笔者的感受是，这方面的内容基本是蜻蜓点水、寥寥数语带过，根本就只是聊胜于无吧。

即使不考虑长远地影响，即使是对于小学阶段的数学成绩来说，对于“数学理念”的领会也是非常有功效的。

这可以反过来看（“真理就是真理的不在场”，意即要认识到一个东西的价值你就试试这个东西不在场会怎样）：

孩子为什么会答错ta们已经掌握了其知识点的题目，或者即使答对了题目也其实是稀里糊涂地答对了而并非真懂（其表现是下次遇到类似的题目有可能就会答错）？笔者以为，主要就是因为孩子们在对“数学理念”的某些方面的领会上面还有所欠缺。而这种欠缺或者是老师的引导/启发没有做好，或者是孩子领会得还不够。这个议题笔者在本系列（见文首按语）的第二篇中将会以对具体案例的分析进行深入的讨论（初拟标题为“学做家长｜以对几道题的鉴赏性分析管窥小学数学习题之现状：精良者不多，低劣者不少，平庸者不可胜数”）。

04

案例讨论：小学数学的“分数”“教-学”之我见

为什么选择“分数”作为案例

1、“分数”是孩子对于“数”的认识的第一次飞跃

“自然数”之名中虽有“自然”两字，但却是人类思维对“物体”进行抽象而得到的一个的概念，只不过因为这些“物体”是“自然之物”，是人类的感官还能感觉到的（所谓“看得见、摸得着”）东西，所以对这个从“自然之物”中抽象得到的概念仍有亲近感，故而此一抽象略显“自然”一些，故名之为“自然数”。

“分数”是在“自然数”这一抽象概念的基础上对“某种抽象的东西”再进行抽象而得到的一个概念，这个“某种抽象的东西”与人类的感官已经没有直接关系了（所谓“看不见、摸不着”），所以一点儿都不自然，而是“非自然”的。

所以说，“分数”是人类在“数”的认识上的一大“飞跃，且是第一次飞跃。

【补充说明9：自然数”之名或许是人类认识了“分数”以后才有的，如同人类认识到了“无理数”后，才将之前所认识到的数称之为“有理数”。】

正因其“非自然”、“更抽象”、“飞跃”，故而其“教-学”就得复原/重现古人发明/发现“分数”并认识“分数”的过程，而且其中的语言表述一定要谨慎、不能用古人认识分数之前还没有的概念和认识去讲（讲完了认识过程以后，可以用一些现代数学的概念去对其进行总结，但一定要注意解释清楚每一个概念），只有这样，孩子们才能对“分数”如同古人那样感同身受，才能真正“领会”也即“懂”——而不是仅仅理解——“分数”。

2、看到孩子们在分数相关计算习题上的迷乱和挣扎

笔者的孩子在托管班（并非辅导班，主要是解决吃饭和午休的难题），晚上去接孩子到得早时会留意一下其它孩子（不限年级）做作业的情况，也算是提前“侦察敌情”吧。最近留意到几个孩子在做分数相关的作业时不太顺畅，于是就猜想其中可能的原因，直觉是上述“飞跃”没能跃过去、还悬在空中。

为了检验一下自己的猜想，于是试着跟其中一个男生聊了一会儿分数的由来，他觉得笔者有些讲法挺新鲜的、跟老师讲的不太一样（从他的表情中就能看出来），对他做题还是有些许帮助的。

【补充说明10：笔者一直有个预设的立场和观点，即现在的孩子都很聪明；作业中出现的不太顺畅或答错的情况，首要原因不是孩子“笨”，而极可能是教与学的过程中的哪个环节出现了问题或者做得不够好；答题无碍的孩子不一定是因为真懂，答题不顺的孩子有可能是在“纠结”于比“知识点”本身更重要的“知识点”背后的问题——而这恰恰说明孩子很有潜质。】

3、学校老师教得似乎有点儿“敷衍潦草”，在若干重要的细节方面普遍地不得要领、甚至存在重大误导

为了搞清楚老师究竟是怎么讲这个分数的，笔者查阅了一些被发在网上的自鸣得意的所谓“优秀教案”：

https://www.ruiwen.com/jiaoxuesheji/1557078.html

https://www.ruiwen.com/jiaoxuesheji/1761582.html

https://www.wenmi.com/article/pwuq7c03nek7.html

笔者发现，老师们虽然也试图带孩子们“飞跃”，但“姿势”似乎不对，似乎有些“敷衍潦草”、只是寥寥数语就带过了（一节课老师能讲几句属于核心内容的话呢？）；所谓“差之毫厘、谬以千里”，虽然在大面上看，老师们该讲的似乎都讲了，但实际上缺少一些关键性的细节，而在另一些关键性的细节上却似乎又普遍地不得要领、甚至存在重大误导。

【补充说明10：笔者认为，分数概念的教学及其“飞跃”一定要“一气呵成”。哪有“飞到半空中停下来下次接着飞”的“飞”嘛！所以，在教学进度到了分数这儿时，数学课应该连起来上，而且最好是上午四节课都是数学课，这样有利于保持思路的连贯性、“飞跃”的连续性。可以跟其它科目调课。】

在此略举一例（来自于上述三个教案中都有的内容）：

……

理解单位“1”的概念，概括分数的意义。

……

把单个物体看作单位“1”。

……

把多个物体看作单位“1”。

……

师：4个苹果呢？50个苹果呢？

生：一组……一盘……一箱

……

这种对分数的讲法，或许是对分数有什么误解。试剖析如下：

其一、什么“单位‘1’”，这是古人能有的认识、概念吗？这明显是以后世而且是现代对数的认识去强解。

其二、“单位1”或“1个单位”这个概念用在分数这就不对。分数是在自然数没法处理的时候才被发明/发现出来的，自然数能处理，干嘛要分数！所以，这里所谓将“一组或一盘或一箱若干个（4个或50个）苹果”的“1组/盘/箱”视为“单位1”或“1个单位”的说法根本是“自欺欺人”或者叫“事后诸葛亮”（注意，没说它是错的，只是用这个解说分数的由来是极为不合适的），因为这根本就是数字“1”带了个“量词”，这个“量词”才是这里的“单位”的实际含义，所以这里的“单位”对应的根本就是个具象的实物、而非一个抽象的概念。而分数是个纯抽象的概念，其中的表示法“几分之一即1/N”中的“1”也是作为抽象的“1”而存在的，而非与“一”个（不论量词是什么）实物直接对应。

鉴于上述三点，故而选择“分数”的“教-学”作为切入点，谈谈小学数学的“教-学”或许应该所是的样子。

以下，不揣冒昧，将笔者基于一点粗浅的认识得来的或许多有疏漏、错乱的想法谈一谈，敬请读者批评指正。

“分数”“教-学”或许应该是这样的

……

……

……

这部分内容，暂时作缺省处置吧，容后再补。

因为，笔者感到写起来特别费劲，所以在犹豫是否要以视频的方式呈现。

（未完待续）

本文转自微信公众号“煅履堂薪火”

原文链接：学做家长｜小学数学教-学的重点应侧重更重要也相对更难的对“数学理念”的领会而非比较容易的对“数学知识”的掌握，以分数为例（上）

注释：

1、比如跳大绳，你教——能教也就是能用语言明确表达的——得再怎么明白，但孩子不会跳还是不会跳，ta会跳了，你的教也不是决定性因素。所以，我教孩子跳大绳，只在地上画个或比划个圈圈，让孩子往这个圈圈里跳就行了，其余的不多说——碰上多嘴的家长我会请ta闭嘴或远离、否则我就停绳，孩子就先看别的孩子跳几下然后自己去尝试，用这种方法，一般我只需要最多5分钟就能让一个孩子学会跳大绳——敢进绳、能跟上节奏、连续跳至少5个。孩子二年级那个寒假，我让至少15个孩子在5分钟内学会了跳大绳。

2、愚见以为，“数学抽象”是人的思维中本有的一种能力（参考：康德的“先天综合判断”），只不过未加学习和训练之前，它是无意识的、散漫的，数学的学习，就是要经过学习和训练将其提升为有意识的、统合的。“数学抽象的思维及其能力”是数学启蒙阶段的重中之重，如果不予足够的重视而没做好，就会为以后学习理解更抽象的数学概念和知识埋下隐患（小学阶段的简单数学还能应付，但到中学阶段的稍微复杂的数学就吃力了，到大学阶段接触高等数学就更跟不上了，更别提现在的高精尖的科学、技术方面的更高深的数学了）。笔者就有惨烈的教训。小学数学成绩位列前茅，初中数学成绩上中游走，高中数学成绩大扯后腿（在数学只考95分——满分150——的情况下总分高过当年的重点线30多分），大学数学成绩催人泪下（考研数学只考了90分的情况下总分与本专业成绩第三名的同学——他的数学考了120多分——相同），很长时间我都不明白我的数学为啥不行，经过这些年的学习和思考，我才觉悟到，在小学阶段的数学学习中，在“数学抽象的思维及其能力”方面没有打好坚实的基础。

3、从“九九乘法表”中沙里淘金。请先参阅拙文《以二年级女儿的一个独立发现为指引得到可推导出九九乘法表的一组公式》。

4、所谓“智商”，究其本质，其实是康德意义上的“知性（Understanding）”能力，反应的其实只是“记忆+理解（逻辑思维）”的能力。智商（康德所说的“知性”）应对的是经验世界（康德所说的“现象界”），是对世界的经验的反应。而根据马克思学说，“人对世界的经验其实是语言的经验”。现在的孩子在语言的经验方面完全可以碾压多年以前的孩子，所以仅以对“知识”的“熟知且会用”而论，以前仅有极少数孩子能能够做到的事（比如跳级），现在应该有更多的孩子能做到。若想对此有更深入的认识，建议了解一下康德的认识论（知乎、简书或百度等，搜索一下即有）和马克思的历史存在本体论（B站有复旦大学哲学院王德峰老师的课程视频/音频）。

5、以数学发展史为主线贯穿各知识点的教-学或许是做好孩子们数学启蒙的适用方式。

关于这一点，可参阅《姜树生：小学数学应该学什么？》一文中的相关论述。姜树生先生先是引用了日本数学家小平邦彦的观点：“数学教育应按数学发展史顺序进行，而不是按逻辑基础来进行。”接着姜树生先生谈了自己的理解：“在逻辑上，固然是由一般可以推导出特殊，因此掌握了一般原理就可以用于解决很多具体问题。但人的学习规律，是从特殊到一般，从具体到抽象，从简单到复杂，从容易到难，从低到高。不掌握足够的特例，是不能深刻理解一般规律的。在这方面教育不能偷工减料，老师省事了学生就苦了。”

笔者这里分享一下早在孩子刚上一年级时就与孩子妈、数学老师以及它家长探讨/交流过的内容，见以下微信（群）截图：

图1（注：那年家长们因对装修完即投用的校舍的恐惧而拒绝入校开学，孩子在家）

图2（注：参考注释4“人对世界的经验就是语言的经验”）

图3（注：数学老师在群里语音讲解这道题）

图4（注：竟然敢“杠”老师？！）

图5（注：赶紧找补、圆话，顺便继续“杠”——深入阐述己见）

图6（注：挨老师一顿“勾拳”后赶紧“服软”）

经过跟数学老师的这次“交流（jiao feng）”，有一个意外之喜（得）：此后各行其是，互不干涉，我们几乎从不在数学群里打卡作业（拍照作业发班级微信群），顺势就连其它科目也不在群里打卡作业了，而老师也从不找我们的麻烦（在此要对各位老师的宽容致以万分诚恳地谢意和崇高的敬意），当然，需要参与考评的作业我们会全力配合高质量完成上交（不能影响老师的教学业绩）；所以我对孩子作业具有极强的自由裁量权，比如作业多了我让孩子做多少算多少、即使做不完但到点了也必须睡觉，比如有的作业我会让孩子以“读做”（不用动笔）的方式去做，也因此，孩子现在对作业还不至于反感（当然，谈不上喜欢，也没哪个孩子喜欢作业的），于是做起作业来就比较认真（用不着急躁了啊，大不了做不完就不做了嘛，反正也不用打卡），完成质量也相当不错。

本文转自微信公众号“煅履堂薪火”

原文链接：学做家长｜小学数学教-学的重点应侧重更重要也相对更难的对“数学理念”的领会而非比较容易的对“数学知识”的掌握，以分数为例（上）