黑体辐射、对应原理与零点能——普朗克老师的一箭三雕

撰文 | 曹则贤（中国科学院物理研究所研究员）

所有学物理的人，按说都知道柏林大学教热力学的普朗克老师 (Max Planck, 1858-1947) 。普朗克老师上大学时学物理不是为了将来有什么成就，他说他就是想学懂物理，结果他还真做到了——经典力学、电动力学和热力学，普朗克老师是全吃透了其精髓。普朗克老师学习物理肯定是下了狠功夫的，学物理掉头发的梗可能就是来自他老人家 (图1) 。普朗克老师是相对论的奠基人，是热力学的拓展者，是统计力学的反对者和拥护者。

普朗克老师是相对论的奠基人，在于他1906年就跟上了相对论研究，第一个写出了质能方程 E=mc^2，培养了第一个相对论专业的博士。此外，他还是第一个派助手劳厄 (Max von Laue，1879-1960. 劳厄也是相对论奠基人之一) 去看望那个穷困潦倒的年轻人爱因斯坦的，普朗克因此有爱因斯坦学术监护人的说法，后来还和爱因斯坦于1929年共同获得了第一届普朗克奖 (获得用自己名字命名的大奖，不亦乐呵呵乎！ ) (图2)。

图1. 青年普朗克与普朗克老师

图2. 普朗克老师和爱因斯坦一起获首届普朗克奖(1929)

普朗克是量子论的先驱，但似乎不能算是量子力学的奠基人。在1900年的文章 [M. Planck, Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspectrum (标准谱能量分布律理论)，Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft 2，237–245(1900)] 中，普朗克用能量量子假设 ε=hν 再次得到了他在此前一篇文章 [M. Planck, Über eine Verbesserung der Wien'schen Spectralgleichung (维恩谱方程的改进), Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft 2, 202–204(1900)] 中得到的黑体辐射谱分布公式，即所谓的普朗克分布公式，

普朗克的这篇文章被当作量子论的开端，愚以为这与科学史的事实不符——玻尔兹曼1877年就引入了动能量子化得到了气体的麦克斯韦分布公式，而量子化说到底还是回到了1854年黎曼引入quanta一词时的本义，即几何量子化。后来普朗克在其1913年的热力学教程第二版中阐述了这一点，结果被印度青年玻色给读懂了。在此后十余年的时间里，普朗克对待能量量子的态度同爱因斯坦等人的态度截然相反，可以说他并不期待一个所谓的量子理论而只是希望在新的物理理论中，作用量子h，普朗克嘴里的Wirkungsquantum，危害小点儿就好。当然了，普朗克本人是一直在思考量子与黑体辐射问题的，他称自己那些年里的所作所为是绝望行动 (Akt der Verzweiflung) 。

然而，在1911年底，普朗克提交了当前的这篇论文 [Max Planck, Über die Begründung des Gesetzes der schwarzen Strahlumg, Annalen der Physik 37, 642-656(1912). 译文全文“黑体辐射定律的依据”将发表在《物理》杂志2020年第6期上] ，在一个新的振子发射机理的基础上，普朗克再次得到了黑体辐射公式，这是普朗克自己的第三种黑体辐射公式推导方式，也是继爱因斯坦在1906年, 1907年和1910年，洛伦兹在1908年，德拜在1910年，艾伦菲斯特在1911年各种花式推导黑体辐射公式后的新尝试。这篇文章绝对是物理学史上里程碑式的存在。在这篇文章中，普朗克不仅再次如愿以偿地得到了黑体辐射公式，关键是他还第一次使用了对应原理 (这是后来构建量子理论时会频繁用到的一种方法，比如狄拉克就成功地用这个原理导出了量子化条件

) ，还第一次导出了振子的零点能，½hν。也就是说，普朗克老师在这篇文章中完成了物理学概念层面上的一箭三雕。就笔者所知，这应该算是绝无仅有的了，我不知道物理史上还有哪个单篇有如此高的成就。

如果要推举近代物理史上前三个重要概念，我估计结果会是没结果，众说纷纭是必然的。但如果说黑体辐射、对应原理与零点能都是近代物理中重要的基础概念，恐怕有异议的人不多。虽然，中文关于黑体辐射的介绍常常是热力学、统计力学、光学或者量子力学教科书中的三言两语，这反映的是作者的轻蔑而丝毫不影响黑体辐射是近代物理摇篮的地位，其博大精深是鲜有其匹的。黑体辐射的推导除了前述几种推导以外，后来还有爱因斯坦1917年，泡利1923年，玻色1924年以及基于广义相对论的多种推导，导出了受激辐射、散射理论、量子统计等概念甚至崭新的物理领域 [参见曹则贤，黑体辐射公式的多种推导以及在近代物理构建中的意义，待发表] 。现在，让我们仔细学习普朗克老师的这篇论文，看看他是如何做到一箭三雕的。普朗克在这篇文章中的各种惊艳操作是否合理、妙处何在，读者诸君请自行体会。

本文的神奇之处在于对具有一定能量的振子如何发射电磁辐射的假设。普朗克假设，振子只在其能量达到能量单元 ε=hν 的整数倍 nhν 时才会发射辐射，具体的因果性发射机制不知道，但发射以随机的方式进行：发射的概率为 η，不发射而后继续吸收能量的几率为1-η。也就是说，每一次当振子的能量 U 为 U=nhν 时，其将全部能量 U 发射出去的事件就可能发生，概率为 η，发射后振子回到静止状态开始下一轮的能量积聚。普朗克进一步地制定了振子的发射规则，其不发射的概率相对于发射的概率之比正比于激励振子的那个外部振动的强度，J, 即

其中的 ½ε 是在有第一次发射机会前振子的平均能量，(n+½)ε 是经历了n次发射机会但从未发射的振子的平均能量。注意，这里的这个½是作为从0到1的均匀分布 (等测度) 之平均值的面目出现的。这个½，相较于后来人们恣意发挥的、怪力乱神式的零点能概念，非常好理解，也容易接受。

如上，在给定强度的稳恒辐射场中的N个相同振子组成之系统的能量分布，就这样唯一地决定了。接下来，就能以熟知的方式计算系统的熵和温度了。首先，系统的熵为

按照普朗克老师对待 h 的态度，我估计他接下来怎么也要想办法“掰扯掰扯”这个莫名其妙的 hν。然而，没等他来得及摆脱或者至少再论这个½，爱因斯坦和Otto Stern (Stern-Gerlach实验中的那位) 在1913年就拿这个零点能的概念迅速解释了氢低温比热的实验结果 [A. Einstein and O. Stern, Einige Argumente für die Annahme einer molecular Agitation beim absoluten Nullpunkt (关于绝对零点下分子激励假设的讨论), Ann. Phys.(4) 40, 551 (1913)] 。注意，爱因斯坦的这个零点，Nullpunkt，指的是那个永远达不到的绝对温度的零点。奇怪的是，爱因斯坦的原文中不仅有振子能量

普朗克老师这样一箭三雕的推导，怕是再也不会有了。

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