时空对称性视角下，量子力学需要虚数

近日《返朴》刊发的《量子力学需要虚数吗？》一文，引发了一些讨论。本文从时空对称性的角度来看量子力学是否需要虚数（复数）。答案是肯定的。

撰文 | 1/137, Estelle

《返朴》最近刊登的《量子力学需要虚数吗？》（以下简称《虚数》）一文，对于虚数是否在量子力学中起到本质的作用这一古老问题的新进展[1, 2, 3] ，做了解读。本文不打算就文中实数系量子力学理论本身置喙，而从另外的对称性的角度对复（虚）数在量子力学中的必要性做一简单评论。

众所周知，相对论和量子力学是现代物理学的两大基石（二者的融合则产生了量子场论），而对称性更是贯穿其中的主旋律。对于狭义相对论，洛伦兹群及其群代数反映了理论的时空结构，并且在低速极限下，“退化”（收缩）为伽利略群及其群代数。相应的对称性则要求物理理论在群变换下保持不变。

其中m是粒子的质量。我们关心薛定谔方程在（伽利略）时空变换下的性质是怎样的。

考虑伽利略时空变换：两个惯性坐标系S和S’中，S’以速度V相对于S沿+x向运动。设t = 0时刻两个参考系的原点重合，涉及的运动是非相对论性的，则

由伽利略变换可得时空坐标微分关系，

我们问：在伽利略变换下薛定谔方程的形式不变，即

这一对称性要求对波函数ψ(x, t)产生何种约束？首先，一个最简单的选择是令S′系的波函数ψ'和S的波函数ψ系满足纯实函数，且

则不难发现，新的S’系的薛定谔方程不能满足伽利略不变性。这个结果很容易得到，就不在此赘述，而作为后文运算的特例给出结果。

但是，如果波函数并不是实函数，而是复函数——毕竟，在量子力学中，对称变换下的不变性只要求波函数的模不变——因此，在时空不变群的变换下，最一般的波函数变换形式应取：

其中Λ(x, t)是相因子（显然，当Λ = 0 时就是前文实函数的情形）。则根据前面微分的变换(3)，有：

以及，

和

保持伽利略不变性要求ψ项和∂ψ/∂x项前的系数须为零，故有：

这两个方程包含以下关系：

由此不难确定相位Λ(x, t)：

已忽略一个无关紧要的常数。从以上推导可以看出，对称性对时-空间导数加以很强的限制。最后的结果意味着，在时空对称性的约束下，复数几乎必然是（非相对论）量子力学不可分割的一部分。特别是，这个结果存在一个简单的副产品：当取波函数为（一维）行波时，易得频率（或波长）的变换关系，从而对德布罗意波粒二象性，ℏ → 0 的经典极限有更深的理解，这在本科量子力学教学中是个极好的例子。

这里“几乎”的涵义是，我们只简单论证了自由粒子的情况，未包括任何势场的情况，也未包括电磁相互作用的最小耦合（这时问题有些非平庸，机械动量和正则动量通过最小耦合相联系P = p - eA，A是矢势），相对论的情形更是未加以考虑，但是作者相信，在基本原理层面不会发生本质改变。

更进一步，以上结果，用群论的语言来说，这就是 Bargmann（中心扩张）定理，质量参数作为相关的中心荷进入量子伽利略代数中，使得经典伽利略代数在量子力学中通过投影表示 (Projective Representation) 实现伽利略协变性（请参考有关群论教材）。不过作为简评，就不再赘述了。

最后划一下本短评重点：物理理论在时空变换下不变的对称性要求导致复数几乎不可避免地成为量子力学的一部分。

参考文献

[1] Ming-Cheng Chen et al, Ruling Out Real-Valued Standard Formalismof Quantum Theory, Phys. Rev. Lett. 128, 040403 (2022).

[2]P. B. Hita et al, Quantum mechanics based on real numbers: A consistent description, arXiv:2503.17307 (2025).

[3] T. Hoffreumon, M. P. Woods, Quantum theory does not need complexnumbers, arXiv:2504.02808 (2025).

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