最近又传张益唐证明了“朗道-西格尔零点猜想”，很多人连题目都看不懂

最近又传张益唐证明了“朗道-西格尔零点猜想”，很多人连题目都看不懂。我用“计算素数个数”的简单办法解释下，和黎曼猜想有关

张益唐2022年10月宣称证明了“比黎曼猜想弱”的朗道-西格尔零点猜想，公布论文。后来陶哲轩指出证明有不严格的地方，张益唐承认，一直在修正。最近传修正好了，又要公布论文，但也可能是自媒体编造的。这两个猜想很重要，但由于用了复分析里面的“解析延拓”，搞得几乎没人看得懂。

如黎曼猜想是说“复平面上的非平凡零点的实部都是1/2”，而朗道-西格尔零点猜想是说“复平面上的非平凡零点的实部与1都有一段距离”。显然，朗道-西格尔零点猜想要弱一些，但这到底是在说啥，就和天书一样，需要学一堆知识才能明白。不要怕，有更容易懂的黎曼猜想形式，只要会属素数的个数，就能看懂，本来黎曼猜想就是关于素数分布的。

我之前写长文介绍过张益唐证明素数间隔小于7000万的论文，里面有个π(x)函数，是小于x的素数的个数。有个“素数定理”PNT，是说π(x)与x/lnx比值为1（当x趋向无穷大），lnx是自然对数。

看图中从10到1亿，π(x)的数值给出了，这是查表得到的精确值，但造表要时间，数值大了就没法查了。然后数学家就用容易计算的方式去逼近它。

x/logx是一个最简单的估计。1896 年，法国数学家阿达马（Jacques Salomon Hadamard，1865 - 1963）和比利时数学家德·拉·瓦·布桑（Charles Jean de la Vallée Poussin，1866 - 1962）各自独立地证明了素数定理，也就是比值越来越小。可以看出x/logx确实和π(x)差不多，差值比例在缩小，最终减到1是可以相信的。

但是，我们发现当x到1亿的时候，x/logx和π(x)的差距居然还有5.8%之多，这个“收敛”的速度也太慢了。而另外一个叫li(x)的函数表现就好多了，和π(x)的差值比例迅速缩小，1亿的时候只有0.013%了。所以，直觉上li(x)就是π(x)更好的近似。

li(x)就是黎曼提出的函数，其实也不复杂。图二就是li(x)的定义，学过点积分就知道啥意思，在高等数学里算是很简单的函数。用这个函数计算π(x)的误差明显要小，而黎曼猜想就是“误差有多小”的说法。

我们来看π(x)与li(x)的差值，首先它永远是正数（这可以证明），然后它缓慢增大。而且增长速度不快，比x的增幅要小多了。

黎曼猜想：π(x)=Li(x)+O(√x lnx)。如果学过数学与计算机里的big-O函数，这理解起来不难，就是说：存在常数 C>0，使得对所有充分大的 x 有∣π(x)−Li(x)∣≤C √x lnx

这个理解起来真没那么难。这里有个√x，x的指数是1/2，也就对应所谓“复平面上的非平凡零点的实部都是1/2”。

虽然li(x)明显是π(x)更好的逼近，但是没法证明。也许不知道啥时跑出一段“素数异常集中”的区段，把li(x)的规律打破（能重复，不停地打破规律），还是需要用x/logx来近似（这个证明了）。是有些人怀疑黎曼猜想不成立，想找反例。但看这些数字，直觉上应该是成立的。

朗道-西格尔零点猜想是说，放松点条件，指数1/2太难证了，来证明这个指数与1有明显距离。这样关于素数公布，也会有比x/logx更好的估计，一堆定理就能确认了。