代数几何学“圣经”

《代数几何学原理》（EGA）是代数几何的经典著作，由法国著名数学家 Alexander Grothendieck（1928-2014) 在J. Dieudonné的协助下于20世纪50—60年代写成。在此书中，Grothendieck首次在代数几何中引入了概形的概念，并系统地展开了概形的基础理论。EGA的出现具有划时代的意义，对现代数学产生了多方面的深远影响。

下文为中译本《代数几何学原理》（高等教育出版社）译者前言。

撰文 | 周健

这部书的全名是Éléments de Géométrie Algébrique，通常缩写成EGA，是A. Gobaedick在20世纪50—60年代写成的 (在J. Dieudonné的协助下）。它对现代数学许多领域的发展产生了深远的影响，至今仍然是对于概形基本概念与方法的最完整最详尽的理论阐述。由于丘成桐教授的大力推动和支持EGA中译本终于得以出版。

为了方便初次接触这本书的读者，译者将从以下三个方面做出简要的介绍，以便读者能够获得一个概略的了解这三个方面就是：一、EGA的成书背景，二、EGA的重要影响，三、EGA的翻译经过。

在开始之前，有必要先厘清一个概念即EGA有狭义和广义之分。狭义的EGA是指已经完成的第一章到第四章， 发表在Publications Mathématiques de l'I.H.E.S.，Tome 4，8，11，17，20，24，28，32 (1960-1967) 中①，广义的EGA是指Grothendieck关于这本书的写作计划，在引言中可以看到个简略的列表，共包含13章涉及非常广泛的主题，并归结到Weil猜想的证明上后面的各章内容虽然并没有正式写出来，但大都以草稿的形式出现在了SGA，FGA②等多部作品之中，应该被看成是前四章的自然延续。

本次中译本的范围只是EGA的前四章，但对于下面要谈论的EGA来说我们不得不作广义的理解，因为计划中的13章内容原本就是一个有机的整体，各章相互照应，具有前后贯通的理论构思，而且说到EGA对后来的影响也必须整体地来谈。

一

EGA的成书背景

代数几何考察由代数方程所定义的几何图形的性质，已经有漫长而繁复的历史。特别是其中的代数曲线理论，这已经被许多代的数学家使用直观几何语言、函数论语言、抽象代数语言等进行过详细的讨论，并积累了丰富的知识和研究课题。

20世纪初、意大利学派的几位数学家 (Catelnuovo，Enriques等) 进而完成了代数曲面的初步分类但在这一阶段，传统方法开始受到质疑，仅使用坐标和方程的语言在陈述精细结果时越来越难以满足数学严密性的要求。O. Zariski 意识到了问题的严重性，开始着手建立代数几何所需的交换代数基础。他所引人的Zariski拓扑、形式全纯函数等概念使代数几何逐步具有了独立于解析语言的另一种陈述和证明方式。J.-P. Serre的著名文章FAC和GAGA等③进而阐明，借助层上同调的语言，在Zariski拓扑上也可以建立起丰富而且有意义的整体理论。Grothendieck在EGA中继续发展了Serre的理论，把代数闭域上的结果推广为任意环上 (甚至任意概形上) 的相对理论，使数论和代数几何重新统在以交换代数和同调代数为基础的完整而严密的体系之下 (此前代数整数环和仿射代数曲线曾被统一在Dedekind整环的语言之下) ，可以说完成了Zariski以来为代数几何建立公理化基础的目标。

Grothendieck在扉页上把EGA题献给了O. Zariski和A. Weil，这确认了Zariski对于EGA成书的重大影响。我们再来看A. Weil对于EGA的关键影响，这就要说到Weil的著名猜想，揭示了有限域 (比如F=Z/pZ) 上的代数方程组在基域的所有有限扩张中的有理解个数所具有的神秘规律。Weil把这种规律用Zeta函数④的语言做出了表达，列举了Zeta函数所应具有的一些性质。其中还特别指出，这种Zeta函数的某些信息与另个代数方程组 (前述方程组是这个方程组通过模p约化的方式而得到的) 在复数域上所定义出的复流形的几何或拓扑性质会有密切的关联。Weil还预测到，为了证明他的这一系列猜想，有必要对于有限域上的代数几何对象发展出一套上同调理论，并要求这种上同调具有与复几何中的上同调十分相似的性质。在此基础上，上述猜想便可以借助某种Lefschetz不动点定理而得以建立。

Weil的这个思路深刻地影响了代数几何语言的发展。上面提到的FAC就是朝向实现这一目标所迈出的重要一步⑤。但是仅靠凝聚层上同调理论被证明是不够的。Grothendiek在Serre工作的基础上完成了一次思想突破，他意识到层上同调这个理论格式可以扩展到更广泛的“拓扑”上，这种“拓扑”已经不是传统意义下由开集公理所定义的拓扑，而是要把非分歧的覆叠映射也当作“开集”来使用。基于这个想法定义出的上同调 (即平展上同调) 后来被证明确实能够满足Weil的要求⑥，但为了要把该想法贯彻到有限域、代数数域、复数域等各种不同的环境里 (比如为了实现Weil猜想中有限域上的几何与复几何的联系)，就必须尽可能地把古典代数几何中的各种几何概念 (如平滑、非分歧等)推广到更般的语言背景下。

EGA和很大部分的SGA (如前所述，它们原本就应该是EGA的组成部分) 都在致力于完成这种理论构建和语言准备的工作。最终，Weil猜想的证明是由Deligne⑦完成的，阅读他的文章就会发现，EGA-SGA的体系在证明中起到了多么实质的作用。

二

EGA的重要影响

EGA-SGA的出现对于后来的数学发展产生了多方面的深远影响。

首先，概形已经成为数论和代数几何的基础语言，它的作用完全类似于流形之于微分几何，充分印证了这个理论体系的包容性、灵活性、方便性以及严密性。

其次， 在概形理论和方法的基础上，不仅Weil猜想得以圆满解决，而且很多困难的猜想都陆续获得解决，比如说Mordell猜想、Taniyama-Shimura猜想、Fermat大定理等。以Mordell猜想为例，Faltings最早给出的证明中就使用了Abel概形的参模空间、p可除群、半稳定约化定理等关键工具，这些都是建立在EGA-SGA的体系之上的⑧。再看Fermat大定理的证明，它是建立在自守表示的某些结果、模曲线的算术理论、Galois表示的形变理论等基础上的，后面的两个理论都离不开EGA-SGA的体系。

EGA-SGA的体系不仅为解决数论中的许多重大猜想奠定了基础，而且也催生了很多新的观念和理论体系，试举几个典型的例子如下:

(1) 恒机理论

这是Grothendieck为了解决Weil猜想中与Riemann假设⑨相关的部分而提出的理论设想 (基于Serre的结果)。与Deligne证明中的独特技巧不同，该理论试图建立一个良好的“恒机”范畴，使Riemann假设成为一个代数演算的自然结果。这个思路并没有取得成功，因为其中涉及的“标准猜想”看起来是极为困难的问题。但“恒机”的想法本身不仅没有就此消亡，反而日益显示出强劲的生命力。它首先在Deline的Theotie de Hodge I， II，III中得到了侧面的印证，后来又在关于L函数特殊值的一系列猜想中扮演了关键角色 (以恒机式上同调的形式)，并因此促成了概形同伦理论的发展。另外值得一提的是，Grothendieck在构造恒机范畴时所引人的Tannaka范畴概念也被证明具有非常普遍的意义。

(2) 代数叠形理论

这起源于Grothendieck使用函子语言来重新解释参模理论的工作 (FGA)。Hilbert概形和Picard概形的构造是第一批重要的结果， 但后来发现许多在代数几何中很平常的参模函子并不能在概形范畴中得到表识。代数叠形的概念就是对于概形的一种推广，目的是把那些有重要意义但又不可表识的参模函子也纳入几何框架之中。这一理论无论从技术上还是从结果上都是EGA-SGA体系的自然延伸，它的应用范围已经超出数论和代数几何中的问题，扩展到数学物理等领域。

(3) 导出范畴与转三角范畴

这个理论最初是Grothendieck为了恰当表述上同调对偶定理所构思的概念框架。现在它的应用范围已经扩展到了多个数学分支 (如有限群的模表示、双有理几何、同调镜像对称等)，并被发掘出一些新的意义。Voevodsky构造恒机范畴的“导出”范畴时就使用了这套语言。

(4) p进刚式解析几何

这个理论最初是Tate把Grothendieck拓扑的考虑方法引入p进解析函数中而定义出来的几何理论，Raynaud又使用形式概形的语言对它做出了重新的解释。后来该理论被应用到稳定约化、曲线基本群、p进合一化理论、p进Langlands对应等诸多问题之中。

限于译者的理解程度，只能先说到这里，还有很多话题未能触及。

三

EGA的翻译经过

EGA的中文翻译开始于2000年，到了2007年中，前四章的译稿已大致完成。在随后的校订工作中，译者逐渐意识到两个更大的问题。

第一，我们知道Grothendieck写作EGA的一个主要动机是要给出Weil猜想的详细证明 (除了Riemann假设的部分)。但是前四章只是陈述了一些最基础的理论，尚未深入探讨那些比较核心的话题。如果不结合后面的内容 (比如SGA) 来阅读的话，就看不到这四章理论的许多实际用途，也不能更充分地理解作者的思维脉络，而且与后来的那些广泛应用相脱节。

第二，EGA-SGA体系是建立在一系列预备 知识和先行工作的基础上的。首先，EGA中大量使用了Bourbaki数学原理中的结果 (特别是“代数学”、“交换代数”、“一般拓扑学”等卷)，作者Grothendieck和协助者Dieudonné都是Bourbaki的成员。另外，正如作者在引言中所指出的，阅读EGA还需要准备两本参考书:

R. Godement， Topologie algébrique et théorie des faisceaux。⑩

A. Grthediecke， Sur quelques points d'algèbre homologigue。⑪

最后，作者还告诉我们，EGA的前三章完全是脱胎于Serre的FAC，所以仅从详稿的校订工作来说，译者也必须对上面提到的这些书籍论文做出系统的梳理和把握。

这两个问题迫使译者持续对相关的著作加深了解，并翻译其中的某些部分，借此来检验EGA译稿的准确性和适用性，提高译文的质量，这些工作仍在进行中。

由于理解上的不足，译文中一定还有译者未曾注意到的错漏之处，敬请读者指正译者将另外准备“勘误与补充”一文，报告可能的错误，并介绍某些背景信息，以及与其他文献的联系等，此文将放置在下面的网址中:

http://www.math.pku.edu.cn/teachers/zhjn/ega/index.html

EGA中译本的出版工作几经波折最终能够达成，与丘成桐教授的运筹和指导是分不开的，感谢丘成桐教授的关心和鼓励。

在翻译工作的最初几年里，译者得到了赵春来教授的莫大支持和帮助。赵老师曾专门组织讨论班，以早期译稿为素材进行讨论，初稿得以完成，完全是得益于赵老师的无私关怀，译者衷心感谢赵老师长期以来所给予的工作和生活上的多方支持。

巴黎南大学的Luc Illusie教授和J.-M. Fontaine教授十分关心此译本的出版工作，并为此做了许多工作。Illusie教授热心于中法数学交流，培养了许多中国学生，也给予译者很多指导，他还专门与法文版权所有者Johanna Grothendieck女土及法国高等科学研究所 (IHES) 进行联络，为中文版获得授权创造了良好的条件，并为此版写了序言诚挚感谢Illusie教授为此付出的热情和心力。东京大学的加藤和也教授和巴黎南大学的Michel Raynaud教授也给予译者很大鼓励，在此一并致谢。

译者还要感谢首都师范大学李克正教授、华东师范大学陈志杰教授、台湾大学康明昌教授、中科院晨兴中心田野教授、信息工程研究所刘石柱老师以及众多师友对于此项工作给予的热情鼓励。同时感谢译者所在单位的历任领导对此项工作的理解和包容。

最后，感谢高等教育出版社理科学术著作分社王丽萍分社长和编辑李鹏先生在出版工作上的坚持不懈和精心筹备，感谢波士顿国际出版社 (International Press) 秦立新先生的大力协助。

注

①新版EGA第一章由Springer-Verlag于1971年出版。

②SGA的全称是Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie，FGA的全称是Fondements de la Géométrie Algébrique。

③FAC的全称是Faisceaux Algébriques Cohérents，发表在The Annals of Mathematics，2nd Ser.， Vol.61，No.2(1955)，pp.197-278，中译名“代数性凝聚层”；GAGA的全称是Géométrie Algébrique et Géométrie Analytique，发表在Annales de l'institut Fourier，Tome 6(1956)，pp.1-42，中译名“代数几何与解析几何”。

④算术概形都可以定义出Zeta函数，通常就称为Hasse-Weil Zeta函数，Riemann Zeta函数也包含在其中。

⑤Weil也以自己的方式为代数几何建立了一套基础理论，并写出了Foundations of Algebraic Geometry(1946)及Variétés Abéliennes et Courbes Algébriques(1948)等书，他在这个基础上证明了对于曲线的上述猜想。

⑥参考：Grothendieck，Formule de Lefschetz et rationalité des fonctions L，Séminaire Bourbaki 1964/65，279。

⑦参考:Deligne，La conjecture de Weil，I. Publications Mathematiques de l'I.H.E.S.，Tome 43，n°2（1974），p.273-307，中译名“Weil猜想I”。

⑧对于Mordell猜想本身，后来也有一些较为“初等”的证明。

⑨这并不是原始的Riemann假设，只是与它具有类似的形状。

⑩中译名“代数拓扑与层理论”。

⑪中译名“同调代数中的几个关键问题”。

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