求教丨为一位小学生创造的“多集合容斥取极值问题”的新解法作一个规范表述遭遇的难题

按：此前在风闻求教了一道“多集合容斥取极值问题”（见：求教丨一道貌似浅滩实则深渊的小学数学烧脑题：多集合容斥取极值问题），得两位高人（尤其难得的是其中一一位是个小学生）赐教，给出了一种与主流解法（“反向、求和、作差”）迥异的新解法。但在深入解析该创新解法也即试图为该解法作一规范表述的过程中，我又遇到了难题，在关节处找不到恰切的语言表述使其逻辑严谨、通畅。为此，再次发帖求助，盼高人赐教。

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题曰：

某班有60人，其中：43人会骑车，45人会游泳，50人会溜冰，48人会足球。问：至少有几人四项都会？

小朋友给出的思路及其解法是（孩子家长的转述）：

我儿子想到一个思路，每个学生四个技能槽，假设所有人都填满了三个技能槽，这时候还有43+45+50+48-60*3=6个技能没有分配，所以还必须有六个人的技能槽填满。

小朋友获得他的思路的方式是（孩子家长“bluekylin ”的转述）：

他说他刚学过抽屈原理，感觉可以用这个思路。

另一位是成人，风闻ID“相约酒吧”，他给出解法与小朋友的异曲同工，表述稍有不同：

每人会3项最多180项，现在共186项，那肯定至少6人会4项，哪用那么复杂？

我对这一创新思路及其解法中的细节很感兴趣，于是分别请教了这两位高人，小朋友没有为他的思路和解法作更深入的解析（孩子家长未有转述），“相约酒吧”倒是作了一些解释：

1、这不应该是最符合直觉的解法吗？尽可能减少4项的人数就等于尽可能多掌握3项的人啊。

2、最极端情况下没有一个人会四项，那最多会多少项？然后在给定条件下，要增加多少会4项的人，不就很清楚了。你要靠教别人孩子套用工具去应付奥赛来赚钱，所以觉得你自己的那些套路很重要。会这些套路可能能拿个华杯赛金奖，但是对筛选真正的尖子没啥用。

另有一位“cchere”学友也给出了一个解释说明：

假设没有一个人会四项，60个人合计最大值为60*3为180。而四项合计值为186，则显然至少有6人会四项，否则不可能超过180。

无论是小朋友的原始表述还是“cchere”和“相约酒吧”给出的解释说明，本来似乎都已经一听即明了，我也感觉自己理解了。但是，当我试图深入细节并将其用规范表述阐释清楚时，我遭遇了语言表述上的困难。

以下是我所作表述的初始版本：

设定每人都有4个“技能槽”且初始状态均为“空”待“充值”，若假设没有一人的4个“技能槽”全部被“充值”，则当每人的4个空“技能槽”中的3个均被“充值”时，所有人的被“充值”的“技能槽”数量之和最多，该最多数量为60×3=180（个）；

而实际所有人的被“充值”的“技能槽”数量之和为43+45+50+48=186（个），比假设情况多186-180=6（个）；

则说明实际上还有6个“技能槽”被“充值”，而假设情况下所有人都仅有1个“技能槽”为空，所以有6人各自余下的1个空“技能槽”被“充值”，这样，就有6人的4个空“技能槽”均被“充值”；

由于，………………

故，此6人即为4个空“技能槽”均被“充值”的人数的最小值。

也即：4个空“技能槽”均被“充值”的至少有6人；

故，至少有6人四项都会。

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【注：“……”这里又是一个“鸿沟”，左思右想找不到一个恰切的表述将其中的逻辑呈现出来】

以下是两个修改版本：

其一

设定每人都有4个“技能槽”且初始状态均为“空”待“充值”，若假设没有一人的4个“技能槽”全部被“充值”，也即4个“技能槽”未被全部“充值”的人数取最大值即全部60人，则当每人的4个空“技能槽”中有且仅有3个均被“充值”时，所有人的被“充值”的“技能槽”数量之和最多，该最多数量为60×3=180（个）；

而实际所有人的被“充值”的“技能槽”数量之和为43+45+50+48=186（个），比假设情况多186-180=6（个），这说明实际上还有6个“技能槽”被“充值”，又由于假设情况下所有人都仅有1个“技能槽”为空，所以这6个被“充值”的“技能槽”分别一一对应于6个人的各自余下的1个空“技能槽”，也就是说，有6人的4个空“技能槽”均被“充值”；

这样，实际情况下4个空“技能槽”中有且仅有3个均被“充值”的人数相对于假设情况下的人数的最大值即所有/全部的60人要少6人，也就是说，4个空“技能槽”中有且仅有3个均被“充值”的人数的最大值为60-6=54（人），所以，4个空“技能槽”均被“充值”的人数的最小值为6人；

也即，至少有6人四项都会。 

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【注：该表述在逻辑上仍然不严谨、不通畅，其中关键处在于，没有找到恰切的表述方式将实际比假设多出的6个被“充值”的“技能槽”与4个空“技能槽”均被“充值”的人数“‘至少’有6人”严密对应起来，具体说就是两点，其一，如何将实际被“充值”的“技能槽”比假设多出的6个解释为/对应到某种意义上的“‘至少’6个‘技能槽’”，其二，如何将“‘至少’6个‘技能槽’”解释为/对应到“‘至少’6个‘人’”。（“6个‘技能槽’”对应“6个‘人’”比较好解释、容易建立一一对应，但加入“至少”的限定描述后其间的“一一对应”关系就不太好解释、表述了）】

——引自：“创新就是孩子的游戏”！亲见案例让我更坚信：孩子本有创新所必须的丰富的想象力和敏锐的直觉，老师和家长应对其予以精心呵护并善加滋养

其二

假如没有人“四项全会”，也即全部60人中“‘四项全会’者”人数为0，则当全部60人每人都会三项（即每人不会的仅仅只有某一项）时，全班所有人所会“‘项次’数”（“项次”可类比于“人次”来理解）的总和取到最大值，该最大“‘项次’数”为：60×3=180（项次）；

而所有人实际所会“‘项次’数”为：43+45+50+48=186（项次）；

实际比假设多出的“‘项次’数”为：186-180=6（项次）；

由于假设情况下全部60人每人已经都会了三项即每人仅有一项不会，则实际比假设多出的6项次分别一一对应于6个人各自所仅不会的一项，这就导致实际上至少有6人“四项全会”了；

也就说，实际比假设需要至少6个人“四项全会”；

故，至少有6人四项全会。

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【注：该表述在逻辑上仍然不严谨、不通畅，其中关键处在于，没有找到恰切的表述方式将“实际比假设多出的6个‘项次’”与“‘四项全会’者‘至少’有6人”严密对应起来，具体说就是两点，其一，如何将实际比假设多出的6个“项次”解释为/对应到某种意义上的“‘至少’6个‘项次’”，其二，如何将“‘至少’6个‘项次’”解释为/对应到“‘至少’6个‘人’”。（“6个‘项次’”对应“6个‘人’”比较好解释、容易建立一一对应，但加入“至少”的限定描述后其间的“一一对应”关系就不太好解释、表述了）】

——引自：“创新就是孩子的游戏”！亲见案例让我更坚信：孩子本有创新所必须的丰富的想象力和敏锐的直觉，老师和家长应对其予以精心呵护并善加滋养

各个表述之后的“【注】”中对我遭遇的表述难题作了详细描述，我不知道各位是否把握到我描述的“难题”，或者，我描述的这个“难题”究竟是个“真问题”中的“难题”还是是个“假问题”中的“难题”。是我没事找事自讨苦吃（庸人自扰）呢，还是其中却有问题被我意识到了（但不能明晰地表达出来）？

盼高人赐教（另，特别恳请“相约酒吧”、“cchere”、“bluekylin ”和他儿子、“云胡不喜”几位先前已有赐教高见的几位学友再次赐教）。

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附：谢耘《理解之理解》演讲的视频链接以及PPT

视频链接：谢耘：“理解”之理解

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