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“蒙古帝国”是今天的叫法，古代没那么叫，就叫“大蒙古国（蒙语:也克蒙古兀鲁斯）”，然后忽必烈改了国号后，就叫“大元蒙古国（蒙语:也克元兀鲁斯）”，然后统一天下。明朝建立后，元庭退回漠北继续使用大元这个国号，直到建文年间改称鞑靼。
所以大蒙古国和大元只是不同历史时期的国号，本来就是一码事，无非是从中国的边疆民族政权进化为统一天下的中原王朝罢了。特殊的是西征后建立的四大汗国，相当于脱离大蒙古国独立出去，“蒙古帝国”散伙各过各的去了。而中国的大元，则是大蒙古国的直接继承者。
真正的问题在于外蒙独立，所以产生了中蒙两国谁是继承“大蒙古国-大元”正统的问题。若外蒙没独立，哪算个问题嘛。