专访2023阿贝尔奖得主卡法雷利：偏微分方程大师的数学之路

3月22日，2023年阿贝尔奖（Abel Prize）公布，授予阿根廷裔美籍数学家、得克萨斯大学奥斯汀分校教授路易斯·卡法雷利（Luis A. Caffarelli），表彰其“对非线性偏微分方程的正则性理论的开创性贡献，包括自由边值问题和蒙日-安培方程”。卡法雷利也是首位获得阿贝尔奖的拉丁美洲数学家。阿贝尔奖是数学三大奖项之一，由挪威设立，每年颁发一次，奖金为750万挪威克朗。

在阿贝尔奖官方公布的人物传记中，作者Alex Bellos表示，“在理解偏微分方程方面，没有哪个在世的数学家比卡法雷利贡献更大。他引进了巧妙的新技术，展示了卓越的几何洞察力，并产生了许多开创性的成果。”

本文访问者刘太平任职中央研究院数学所，林长寿为中央研究院院士，郭忠胜任教台湾师范大学数学系，林琦焜任教交通大学应用数学系，整理者焦源鸣、林思华为中央研究院数学所助理。

策划 | 刘太平

访问 | 刘太平、林长寿、郭忠胜、林琦焜

时间 | 2008 年 5 月 2 日

地点 | 台湾大学数学系

整理 | 焦源鸣、林思华

卡法雷利（Luis A. Caffarelli） 教授 1948 年出生于阿根廷布宜诺斯艾利斯，于 1968、1972 年于布宜诺斯艾利斯大学获得硕士、博士学位，博士导师为Calixto Calderón；1979年任明尼苏达大学教授。现任得克萨斯大学奥斯汀分校教授。美国科学院院士，及多国海外院士，得过多项国际大奖。Caffarelli 教授在偏微分方程（PDE） 领域功力深厚，在自由边界等核心领域有开创性，重要的结果，是公认椭圆型 PDE 的泰斗。Caffarelli 教授为人谦和，沉醉于数学研究。

刘太平（以下简称刘）：我们的访谈通常都先问一个标准的问题：你小时候在阿根廷，如何开始喜欢数学的？

Caffarelli（以下简称 C）：其实，我一直都很喜欢各种科学。高中时，有位很能启发学生兴趣的老师，班上30位学生中，有8位毕业后就读跟数学相关的科系，后来只有2—3位留在数学界发展。当时我尚未决定求学的方向，我同时对工程、 物理、 数学感兴趣。所以，在高中最后一年，我旁听了一些工程跟数学的课程，比较之下我还是喜欢数学。工程就不再去想了，只需选择数学或物理，这两门科目我都喜欢。但1966年，在我要进大学前，军政府接管了学校，并且强行干涉学校的内政。许多物理学家跟数学家都出走了; 物理学界花了好一阵子才恢复元气。当时我同时进修数学跟物理约有 2 年，但最后选择了数学。

刘：传统上阿根廷的物理学很强，对吧？

C：没错。阿根廷的物理学很强。

刘：那数学呢？

C：哦，数学也是，不过现在阿根廷培养出来的物理学家跟数学家已散布到全球。我念书时，学校有些优秀的教授，如 Luis Santalo，一位西班牙数学家，西班牙内战时在共和军，最后必得离开西班牙时，他来到阿根廷。在芝加哥的 Calderon，他有许多优秀的学生回到阿根廷，他们有很扎实的训练，我因此也受到很好的训练。

刘：20 世纪初期，有那些出色的阿根廷数学家？

C：没有。阿根廷和一般的拉丁美洲的数学界，由于二次世界大战跟西班牙内战而蓬勃成长，因为当时有许多科学家因战争逃往拉丁美洲，如 Andre Weil 去了巴西，Beppo Levi 则去了阿根廷。政府自40年代开始便大力支持科学研究，一直到50、60年代都是如此。

刘：华人社会一向看重学识的追求，阿根廷也是一样吗？

C：是啊，不过现在的人心里有些挣扎了：学识和财富，孰重？（众人笑）

林长寿（以下简称林）：你可否讲一些你的大学生活？你从教授那边得到那些数学方面的启发？

C：我们没有所谓的大学部。在阿根廷，一旦进入高等教育系统就读，你便是「Licenciatura」，类似硕士生，这个体制是阿根廷的一个严重问题，没有过渡阶段。如果学生能完成学业，便能领到文凭；如果学习中遇到挫折，无法坚持下去，只能两手空空离校。我觉得这会是个问题，但不幸的，我们的制度就是这样。对于我来说，大学独特的氛围，空阔的校园，我们一整天都待在学校，有许多开放空间供学生使用。我们生活在那儿，分享彼此的问题跟想法。我想我们不仅仅只是一个团体，我们每个人都是一个共同体的一部分。

林：在那段期间，教授跟学生之间的关系特别亲近？

C：主要是学生之间的互动，教授们很好，会回答你的问题。但主要是助教跟学生，尤其是学生之间，彼此切磋。学校离家不近，我们大部份的学生，需要搭一个小时的公车才能到校。所以到校后，就会在学校待上一整天而且把功课做好，气氛好极了。我想，世界上不管在那里都一样，要紧的是你周遭的气氛，例如一所好的高中，有好的师资，但主要的还是那些学生让整个气氛和乐，因为他们彼此有良性竞争。

林：你后来曾回母校去吗？

C：有的。我每年都会回阿根廷，有时1年2次。

林: 情况还是一样吗？

C: 是有些改变。60 年代阿根廷就如同当时世界许多地方，是让人振奋的时代。

林琦焜（以下简称琦）: 政治方面吗？

C: 嗯，啊，没有束缚的 60 年代。年轻人感觉未来有无限可能，没有限制，美国跟法国都是这样。

琦: 你是说受学生运动的影响? 这好像是从法国开始的。

C: 可能是因为经过战后休养生息。那个时候在阿根廷任何人都可以找到自己的一片天。你可以念书或找到一份好工作，安身立命，所以年轻人充满信心。

刘: 我知道 60 年代同样是墨西哥的好时光，对吧？

C: 没错。

刘: 那是个充满希望乐观的年代。

C: 乐观让人对未来有信心，就像对科学有信心。

刘: 接着你去了美国。

C: 我去了美国，是的。我拿到阿根廷一年的奖学金到美国去，从此就待在美国了（众人笑）。

刘: 你在美国待了那么长的时间，可不可以跟我们谈谈你学习过程中某些曲折的经过？

C: 所有待过的地方，我都很乐在其中。去明尼苏达之前，刚在阿根廷完成特殊多项式理论的论文，对于 PDE (partial differential equations，偏微分方程) 的理论一点概念都没有，在明尼苏达时才发现PDE，因此我学到很多。每个阶段各有不同，我很喜欢我在芝加哥时做的东西，那期间我主要是得到想法。在 Courant 期间则有许多活动，和 Nirenberg，Varadhan 等互动，每个地方都有它的价值，有它独特的价值。

琦: 你什么时候遇到 Nirenberg？

C: 我跟他有过几次简短的碰面，然后忽然有一天他打电话给我，当时我正访问意大利，你愿意加入 Courant 吗？我第一次到 Courant 时，才真正跟他有比较深入的接触，开始合作，那是 1980 到 82 年间。

琦: 那时你们完成了 Partial regularity 的文章?

C: 就是那时候。我跟 Nirenberg 和 Joel Spruck 在那段时间写了好些论文，利用 continuity method 探讨完全非线性方程，如 Monge-Amp`ere 方程。

刘: 既然你提到 Nirenberg，可否谈一下你曾经相处过的人？特别是 De Giorgi？他是怎么样的人？

C: De Giorgi？他了不起。我记得他是意大利国际特赦组织的主席。除了是位伟大的数学家，De Giorgi 也十分关心人权，他与众不同，令人喜欢，非常专注，意大利的数学家都敬爱他。

刘: 你能否说一说 De Giorgi 是怎样的伟大的数学家，他的工作态度，他的……?

C: 我跟 De Giorgi 私交不深，我并不常去比萨，每次见他一个星期，大约 3—4 次。数学方面我记得曾告诉过你，他在 26−27 岁时，解决了 Hilbert problem。当他 30 出头时，建立了 generalized theory of minimal surfaces，然后在 1957−1958 年间做了 homogenization。其实有件事，我一直感到不平，当你读到A beautiful mind'' (中译: 美丽境界)，大家因为有 De Giorgi 的工作以至于 Fields 奖没颁给纳许而感到遗憾，但在孤立环境中先做出这个工作的 De Giorgi，却没人为他没得到 Fields 奖抱撼 (众人轻笑) 。

刘: 我想他们两人都不需要多这个荣誉。

C: 是的，是的，毕竟不需要。De Giorgi 非常可亲，非常和善。如果有人跟他提起这件事，他总是说: 不用操心这个了。

郭忠胜（以下简称郭）: 你最喜欢那个领域?

C: 嗯，每个领域都美。当发觉掌握到问题的关键时，我特别高兴。这是研究数学美妙的地方。每个阶段的感觉不一样，举例来说，当我在撰写第一篇论文时，感觉我的技巧愈好，我就知道、发现得愈多。现在，随着年纪与见识的增加，看问题格局更大也更深入。数学家常有个理论，22 岁前是数学家的黄金时刻，所有的结果都该在 22 岁前完成，但我并不这样认为，22 岁做出好的成果是很让人意外的，因此众人瞩目。每个阶段都是好的，每个阶段对数学有不同的体会。

林: 确实。我很喜欢 Caffarelli 教授的想法。我想，他是用自然的方式在研究数学的，掌握问题的核心，观点自然。举例来说，我回到台湾，在大学任教 3 年后，决定搬到台湾一个偏僻的地方——当时几乎是隐居——专心研究数学。我选择的第一个问题便是探讨奇异性 (singularity problem)。

C: 我知道，我还记得。

林: 我的研究受到 Caffarelli 教授的论文许多启发。那篇论文是关于如何将解分类，利用 Kelvin transform 将无穷远点转换到有限点，然后只需考虑一个有奇异点的方程。想法很简单，也很自然，我想是做偏微分的人第一次处理奇异点的问题。对我而言，我深深为你及 Louis Nirenberg 等合作的 Monge-Amp`ere 方程的文章所吸引。我想这是你的 fully nonlinear 方程工作的起点。你从何时开始跟他合作的? 你们之间激荡出何种火花？

C: 我们很紧密的合作。跟 Nirenberg 合作很难预料最后结果会如何浮现，我们由讨论开始，想法就在一来一回之间蹦出来。我觉得 合作是一个很好的过程。有些时候，合作有点类似拼图，各人知道不同的部份，双方坐下来把自己知道的一部份拿出来，放在一起; 有些合作则是由零开始，必须要双方一起找出想法，Louis (Nirenberg) 便擅于此道，我们常凑在一起，谈天、讨论。

林: 你在非线性、椭圆 PDE 的工作非常几何，我想，在 PDE 数学家中，你的想法非常独特。

C: 那或许是因为 PDE 我是自修的，在明尼苏达时，我听了 Hans Lewy 的课又向他请教几个问题，我当时并不懂 PDE，他问了我 2 ∼ 3 个问题，都是没有泛函分析为背景的，而是有关调和函数回绕曲线之类的。并没有论文谈论到这些，所以我便去翻找老的论文，我必须自己发现些东西，这给了我一些优势。

刘: 如此说来，从行外开始会有好处。

C: 是的。有许多次是这样，许多次都是这样。

刘 (笑) : 今天，当你在演讲时，你给我们一个强烈的印象——你好像身处在一个繁花似锦的园子，沉浸其中，乐在其中，对吧?

C: 没错，我喜爱谈论数学，是的! 我们这一辈子都在跟人们传达讨论我们的想法，我喜欢这样。

刘: 你懂得 PDE；我这话说得轻淡！你是否可以谈谈偏微分方程的一些方法、技巧或是想法，或是和偏微分方程有关的活动、人物……

C: 多年前，我真的很想举办一个研讨会，邀请我最推崇的 3 位分析数学家: Calderon、 Carleson 跟 De Giorgi来谈谈他们的想法。不过现在说这些都太迟了，因为 Calderon 及 De Giorgi 已经过世了。我喜欢借用 Gene Fabes 描述 E. M. Stein (我同样佩服他的分析能力) 的说法: 「 I think he can hear the music」来形容这三人，我想这句话真实地描述了他们如何做数学。他们改变了研究领域的视野。当我还在阿根廷的时候，我学 Carleson 傅氏级数逐点收敛的定理，这是定理中的定理。

刘: Carleson 曾在 80 年代早期来到台湾，我们谈到 Komolgorov，谈到几乎处处发散的 L1函数的例子。他也说了一些事情，就像长寿刚才谈到你（Luis），主要的就是 Komolgorov 的分析也是很几何的。那是来自于 Carleson 大师的说法（笑） ，同样的，Carleson 也不太愿意谈论他自己。你现在跟许多人合作，是吧？

C：是的。

刘：究竟有多少人跟你合作过？我知道有相当多人，像我们前面所提到的 Louis Nirenberg ……

C：我有许多合作伙伴。我跟 Louis，Avner Friedman，Joel Spruck，Yanyan Li 合作过许多次。

林：你有华裔学生吗？

C：有，2 位已经毕业了，王立河跟 Peiyong Wang。还有Lan Tang，正在攻读博士学位，总共是3位。

刘：近年来，学术环境已大不相同。它在不停的变化，跟 60 年代大不相同，举例来说，特别是在亚洲，很重视 SCI 的评鉴，但在美国则还好，对吧？人们并不那么重视 SCI。

C：美国的科学界在某种程度上是可以的，因为美国引进许多外国人才，数学的博士生有一半以上是外国人，对美国来说，这是很多的。在阿根廷，如果训练出30个人，其中有10位出头了，那么就会有5位前往美国发展。一个美国小孩如果他选择攻读数学，那么他要怎样才能在数学领域里出头呢？他努力四年在很困难很需要技巧的领域获得博士学位，如果他真那么好的话，或许他会横越美国到一个好的学术机构做博士后研究，如果他工作得很努力，那么过个 2 ∼ 3年或许又要横越美国在另一个机构成为助理教授，再过个3或4年成为教授，可以说他的薪水比别人晚了10年……（笑）

刘：但数学还是比生物要好，读生物的可能要做一辈子的博士后。而且生物也更难拿到终身聘的职位。

C：工商管理的硕士可能在 2 ∼ 3年后就可以有教授那么高的薪水（笑），而且拿到硕士学位的要求也比较低——不需要写论文，像 rational curves，Euler equations……等等，我能理解为什么美国小孩就读科学的意愿这么低。

刘：是啊。

C：我们在数学界有所成就而且也享受我们的研究生活，但这毕竟只是少数。

郭：现在台湾教育部门正在进行评鉴台湾各大学的计划，数学界跟科学界的人也在讨论，该用什么样的标准来衡量各个系所？比方说，SCI……，你的意见呢？

C：我认为评鉴一个系所是非常复杂的，不能仅用几项指数（index） 来决定。

郭：当然。

C：我们必须要衡量大学对社会有何益处？系所的评鉴也要考量到这一点，并不是光看有多少大师级的人物。

刘：我们在教学上对社会的贡献更大。

C：嗯，这是很复杂的事情，有人在美国以学位的价值对系所进行评量，Texas A&M 排名第二（轻笑）。当你了解评鉴详情后，你会发觉这是很合理的，Texas A&M 学费低廉，训练出很好的学生，从事各行各业。所以这是评鉴一所学校需要考量的另一个角度。

刘：Texas A&M大部份的学生是当地人。

C：对当地学生而言，这大学不昂贵，却能真正提升他们的教育水平。他们认为比那些只有极优秀的学生才能进入的顶尖的私立学校还要有价值，这些极优秀学生不论上那个大学，反正都会成功。相对于他们所付出的学费，我认为科学教育是便宜且高效率的。另一方面，在印象中，美国的 NSF（National Science Foundation） 到目前为止，对于纳税人的钱都能作到有效的利用，拿到NSF补助的科学家都很自豪，不会去浪费它。

林：你在我心中是少有的伟大分析学家。我想谈一下 Navier-Stokes 方程式，这是当今最重要的 PDE，Navier-Stokes 方程式的研究似乎仍以椭圆 PDE 方法为主，你能就Navier-Stokes方程式跟我们谈一下吗？

C：好吧（众笑） ，让我先这么说，Navier-Stokes 方程式是一个很简单的模型，在某一个范围内的参数，可以描述些复杂的现象。但我不知道了解Navier-Stokes方程的解是否有界，是否平滑等等，有何实质的价值。数学上来说，这是很有挑战性的。但它在科学上真正的价值并不那么大。毕竟石油在高速运转下会完全燃烧，显然地，Navier-Stokes 模型并不适用。数学界有时会谈论这类，比 Navier-Stokes 一般的问题。我个人认为数学界太强调那些百年来一直没有解决的老问题，是个很坏的习惯。我认为数学是远比这样有活力的。在机率、物理、材料科学、生物等等都很美妙，更为有趣。这远比将钱用在悬赏那些老问题的解答上要好多了。何不让我们试着把美金 20 万用在鼓励年轻人解答让人感奋的问题上？我还记得，当 Fermat 问题被解决后，新闻报道给人的印象是数学家们一代接一代地致力于解决a^n+b^n=c^n。（众笑） 当然啰，如果有人能解决 Navier-Stokes 方程式，我们都会欣赏其美妙的分析。

刘：那么接着你的话，我想问，此刻你认为什么是值得去做的事？什么是数学家可以做的，有那些具体方向？

C：像 wrought equation 及 different media（不同的界值） 和 interaction between scales（不同尺度之间的相互作用） 这些都是我想了解的。科学已经变得非常数学化，我记得 20 年前，当电脑真正开始展现它的强大的功能时，许多科学家跟工程师都不约而同宣称：数学已到了终点。（笑）那里还需要数学呢？对吧，只要将数字一串串丢到电脑里，电脑会不停地帮我们计算出结果。但是后来人们发现，若你的模型不够好，或者你对方程本身不够了解，那么你所能做的就很有限。他们才察觉到数学并不只是消化数字这么简单。你看，现在是数学的黄金年代，有许多数学问题等着我们去解决。可是数学系对新的潮流反应不过来。现在的人们会希望找到量化的方式来描述如人口动力学、细胞生长诸如此类的问题，在科学的各个层面，有许多待解决的数学问题。所以我认为做数学是好的，我们再从头出发，对年轻人来说，这很好。他们可以不必去学过去40年累积的一切才能下手做问题。

刘: 嗯。

C: 唯一的麻烦是在这样新的领域从事研究，有时很难得到他人的赞赏。

刘: 让我们希望数学昌盛，而数学系也能兴盛。

C: 我衷心希望。

刘: 但这不会自动就发生，需要花心思的。

林：我认为目前科学界并不那么看重数学。

C：没错。

林：我们研究数学常常要证明一些东西。你觉得这种数学研究方式有可能因科技的发展而改变吗？

C：哦，我想这事我们并不知道的！就现在，我们该怎样训练学生？我们不是没有好的研究机会在那里，但困难在于，如果我们训练学生处理跨领域的问题，要他去那里学新的数学，但是我不太愿意这样做，因为如果他学我这行，教他我所知道的，教他如何思考，他毕业后将很容易有份好工作。但是如果我把他放到未知的领域，这不太公平，因为即使他做出了一番成绩，但他的研究生涯的开始会非常困难，因为没有可以支撑他的学术团体。这是个问题：我们如何去搭学术团体间的桥？

刘：我们现在大都认为好的数学家等同于好的分析及大的定理。

C：没错。

刘：但这并不应该是唯一的标准。

C：对！对！你可以说我们把这叫数学，而认为其他的是“新的”，但是我们应该试着培育这类“新的”研究生，这是数学界的问题而我们需要努力去做。

刘：我们需要宽阔的心胸来思考及探讨这个问题。不过你树立了一个好典范，你以一个门外汉进入 PDE 的领域，然后似乎一直维持这样的心态。

C（笑） ：但是现在我站在一个自在无忧的位置。

刘：是的。

C：当你年轻时，你是被用一定的标准来衡量，要冒许多风险。

刘：你先前那样子提到 Navier−Stokes 方程式，你又说我们需要从头做起，走出新方向，你能这么说真好。

C：对于我而言这样说是很安全的，那是因为你我现在都处于可以去发现新事物的地位，但我们的责任有点类似60年代那个时候，要给年轻人多点自由。

刘：对，对。

C：向科学挑战的自由。

刘：嗯。

琦：你能谈一下你开始研究新领域的经验吗？

C：哦，我不是重新开始一个新领域，只是不断地变换。不断地从先前的领域慢慢地推进，在我们这个年纪，我们的工作文件夹里总有 2 ∼ 3 件工作在进行，有的用上好的方法，就继续做下去，同时我们也冒点险尝试做点不同的工作。

刘: 但你游动的，不在原地停留。

C: 是啊，我一直在演化。

刘: 但琦焜刚刚好像想问你是如何改变的？ (笑)

C (笑) : 这就是合作的好处。有些人做不一样的东西，但跟你的工作又有共同的地方，你跟这些人合作，便能自然地进入他们的领域。

郭: 我十分同意。

C：没错。

郭：共同合作的确是件很好的事。

C：借着与人们交谈，可以一道想些其他有关的事。

琦：进入一个领域你是以解决问题开始，还是从学习开始？

C：我认为是两者互参。你不用去开始一个新的领域，你跟人们讨论，在谈论中发现问题，并在解决问题的过程中学习。

刘：说真的，你给的这一系列的演讲是很吃重的。我不能替别人说，但我在台大听了四堂演讲，第五堂在中研院，它们不是一般五堂演讲而是一个数学里很核心的主题的短期密集课程。你前面提到数学教育，现在的数学研究正朝着一个新方向前进。这些我感受到，希望学生们也能感受到。你思想自由，你那么无拘束的想着，我无法形容。是啊，你走到黑板前，拿着粉笔画那些曲线，非常独特，吸引着大家的兴趣。

C：他们还继续来听！（笑）

刘（笑）：通常听众会越来越少。

C：数目衰减。

刘：以指数衰减。

C：是，是。这很好，他们是非常好的听众。

刘：你一定要很快再来台湾。

C：是啊，我会常来的。

刘：下次你来台湾时，我们不会要你做那么多苦工。

C（笑）：但是我乐在其中，真的乐在其中，有人愿意听是好事，我们有点像演戏的人，是吧？。

刘：（笑）

C：我们花了许多时间独自苦思答案，而现在能有机会向其他人解释。

刘：哦，现在学生也陆续回来了，待会我要去问问他们有没有从刚才的演讲中学到什么？

C：只告诉我好消息。（众人笑。)

刘：或许我们今日的访谈便到此结束，这是第一回访问。

C：没问题。

琦：第二回访问待续中。

林：我想 Caffarelli 应该很累了，毕竟他刚结束一场演讲，又被我们拉来回答这么多问题。

刘：我想感到疲惫的反倒是我们，而不是永不知疲倦的 Caffarelli。（笑） 谢谢你接受我们的访问。

C：谢谢。

本文经授权转载自微信公众号“和乐数学”，原文表于《数学传播》“有朋自遠方來 — 專訪 ”