安德烈·塞迈雷迪——2012年度阿贝尔奖得主
撰文 | 史永堂
阿贝尔奖
2012年3月21日,挪威科学与文学院宣布,将2012年度的阿贝尔奖授予匈牙利数学家安德烈·塞迈雷迪(Endre Szemerédi)。
挪威科学与文学院在颁奖词中说,决定将2012年阿贝尔奖授予匈牙利科学院数学研究所的数学家安德烈 塞迈雷迪,“以嘉奖其在离散数学和理论计算机科学方面的杰出贡献,以及对堆垒数论和遍历理论产生的深远影响。”
颁奖词说,塞迈雷迪为离散数学引进了独创性的计算技巧,解决了许多根本问题,使该领域实现了革命性变化。他还揭示了组合学与堆垒数论、遍历理论、理论计算机科学和关联几何学等诸多领域的深层联系,使组合学成为数学界的重要课题。
塞迈雷迪1940年8月21日出生于匈牙利布达佩斯,现任匈牙利科学院院士和美国科学院院士、匈牙利科学院Rényi数学研究所研究员,美国Rutgers大学计算机系教授。
塞迈雷迪亦曾在斯坦福大学(1974)、加拿大麦吉尔大学(1980)、南卡罗来纳大学(1981-1983)和芝加哥大学担任众多客座职位。他于1987-1988年获得加州理工学院谢尔曼·费尔柴尔德杰出学者称号。他还是蒙特利尔大学数学研究所Aisenstadt Chair的获得者。2008年,塞迈雷迪成为伯克利数学科学研究所艾森巴德教授。
2012年5月22在挪威奥斯陆举行阿贝尔颁奖仪式,挪威国王为塞迈雷迪颁奖。
对于他的获奖,塞迈雷迪称是对匈牙利离散数学研究领域的奖励,他还谦虚地表示,有许多其他数学家更应该获得阿贝尔奖,但他无权修改评奖委员会的决定。颁奖当日,四位顶尖数学家Endre Szemerédi,László Lovász(沃尔夫奖得主,下图左一),Timothy Gowers(菲尔兹奖得主,下图右一),Avi Wigderson(下图右二)给大家带来了精彩的阿贝尔报告。
阿贝尔是19世纪挪威的一位天才数学家,他在5次方程和椭圆函数研究方面取得了远超当时世界水平的成就。在2002年阿贝尔诞辰200周年之际,挪威政府设立了以他的名字命名的国际性数学大奖——阿贝尔奖。阿贝尔奖由挪威科学与文学院颁发,旨在表彰在数学领域做出具有非凡的深度和影响力的科学贡献。扩大数学的影响,吸引年轻人从事数学研究也是设立阿贝尔奖的主要目的。自2003年起每年颁发一次,奖金为600万挪威克朗(约合100万美元),阿贝尔奖有“数学界诺贝尔奖”之称。
曲折的数学路
塞迈雷迪是公认的具有非凡研究能力的数学家,他对当今的数学产生了无比深远的影响。但是,塞迈雷迪作为数学家的生涯很晚才开始。
塞迈雷迪的父亲希望他将来能成为一名医生,所以开始时他去一所医学院学习,但是很快他就意识到这并不适合他。因为自己不确定应该学什么,所以他学了很多自己不感兴趣的课程。在第一学期结束之前他毅然地选择了离开,而后在匈牙利的一个工厂里找到了一份工作。两年后,受到自己高中同学(后成为物理学家)的鼓励,他去了布达佩斯的罗兰大学,事实上他对他的学习并不是很感兴趣,直到入学的第二年,一个重要的人物出现了——图兰(Paul Turán)。这一年图兰讲了一年的数论课程,他精彩而全面的讲解深深地吸引了塞迈雷迪。
数学家图兰(Paul Turán,1910-1976),匈牙利科学院院士,主要研究数论与图论,是埃尔德什(Paul Erdös,1913-1996)的好朋友,与埃尔德什合作发表28篇论文。在数论方面他的大部分工作是研究黎曼假设,并于1934年给出了哈代和拉马努金(1917年)关于数论函数的一个新的简单的证明,被认为是概率数论研究的起始点之一;在图论方面,埃尔德什认为他开创了研究图论中极值问题这一领域,也就是现在的极值图论,著名的图兰定理是极值图论的一个重要而基本结果。1952年与Vera T. Sós(1930-,著名的数论学家、组合数学家、匈牙利科学院院士)结为夫妻。
不久以后,他又遇到了数学大师埃尔德什(Paul Erdös,图左)和Andras Hajnal(1931-,图右,匈牙利科学院院士)。Hajnal主要研究集合论与组合数学,与埃尔德什合作发表论文56篇。
塞迈雷迪自此开始了对数学,尤其是离散数学的研究,并于1965年获得罗兰大学科学硕士学位。
1967年开始,塞迈雷迪在莫斯科国立大学继续进修,并于1970年在盖尔范德(Israel M. Gelfand,1913-2009)的指导下获得博士学位。事实上,塞迈雷迪对盖尔范德的研究方向并不感兴趣,他还是希望能够继续学习图兰的理论,但是由于教育体制的原因他不能更换导师。幸好盖尔范德允许他做自己想做的方向,所以最后塞迈雷迪提交了关于离散数学方面的论文。
盖尔范德(Israel M. Gelfand),苏联数学家。1913年9月2日生于红奥克内,1930年中学未毕业时迁居莫斯科,以后自修数学。19岁时,进入莫斯科大学攻读研究生课程,于1935年获副博士学位,1940年获物理学数学科学博士学位。1943年起任莫斯科大学教授,后兼任该大学生物数学研究所所长,1953年当选为苏联科学院陆军通讯院士,1978年获得沃尔夫奖。2009年10月5日逝世。盖尔范德建立了赋范环论,即交换巴拿赫代数论。他运用代数方法,引进极大理想子环空间,给出元素在其上的表示(盖尔范德表示)的概念,将线性算子谱论等学科研究引向深入。他与M. A. 奈玛克合作,于1943年开创了C*代数的研究。此外,他在酉表示理论及广义函数论方面都有建树。
获奖与荣誉
2010年,正值塞迈雷迪70岁生日,匈牙利科学院数学所和János Bolyai数学学会在布达佩斯召开大会,庆祝他取得的杰出成就。在会议前出版的“ An Irregular Mind”一书中,曾有这样的描述,“塞迈雷迪具有不同寻常的脑袋,他的大脑构造与大部分数学家截然不同。我们都对他独特的思考方法和超乎寻常的远见敬佩不已。”
凭借其在数学和计算机科学方面的杰出贡献,塞迈雷迪已获得众多奖项与荣誉。2008年,凭借开创性的研究贡献,他被美国数学学会授予斯狄尔终身成就奖(Steel奖)。同年,塞迈雷迪获瑞典皇家科学院授予罗尔夫朔克数学奖。其他奖项包括:Grünwald奖(1967),Grünwald奖(1968),Rényi奖(1973),美国工业与应用数学协会(SIAM)的波利亚应用数学成就奖(1975),匈牙利科学院大奖(1979)。
数学家的另一面
塞迈雷迪如是说:“尽管我在Rutgers大学计算机系工作,但是我不会使用电脑。要说的是,我所有的电子邮件都是我妻子帮我回复的,我只是读邮件。所以有时我也称电脑为计算器。”他认为,网络比较容易理解,它就是一个图;但是在电脑方面,特别是程序语言以及如何去搜索信息方面,自己就比较笨。
有意思的是,他也不会使用相机,他从来没有去学习如何拍照;他自己不会开DVD,每次都是他的妻子帮他打开他要看的电影,再由他的孙子们帮他退出。在运动方面,他喜欢散步,每周都会去打网球,最近他又开始打乒乓球了。
辉煌的工作
正如阿贝尔奖的颁奖词所说,塞迈雷迪证明了众多具有深远影响的重要定理,他的许多成果已启迪了未来的研究,并为众多新的数学研究方面奠定了基础。塞迈雷迪已发表200多篇科学论文,其中29篇与埃尔德什合作发表。他最重要的成果之一是Szemerédi定理,该定理表明,对于任何具有正密度的整数集合,存在任意长的等差级数(算术级数)。让我们一起来看一下Szemerédi定理的起源和发展。
1927年,荷兰数学家范德瓦尔登(Vander Waerden,1903-1996)证明了下面的结论:对任意给定的正整数k和t,总存在一个正整数N,满足如下条件:我们将集合{1, 2, …, N}划分为k个子集,无论我们怎么划分,这k个子集中必定有一个子集包含t长的等差级数。 这就是著名的范德瓦尔登定理,满足条件的最小的N称为范德瓦尔登数W(k, t)。1936年埃尔德什和图兰提出了如下的猜想,作为对范德瓦尔登定理的推广:对任何具有正密度的整数集合,存在任意长的等差级数。这可以看作是勒贝格密度定理(勒贝格可测集的几乎每一个点的密度都是1)的一个离散近似。这个猜想很快成为Ramsey理论的一个重要的公开问题,被称为Erdös-Turán猜想。1953年,英国数学家Klaus Roth(1925-)用调和分析的方法证明了对长为3的等差级数是成立的,但是这个方法似乎不能推广到长为4的情况。1969年塞迈雷迪用非常复杂的组合方法证明了长为4的情况。最终,塞迈雷迪在他1975年的那篇划时代的论文中彻底解决了Erdös-Turán猜想。这个问题的解决是组合数学的一大杰作,它包含了很多新的想法和工具,这些想法和工具可以用来解决很多的问题,而不仅仅是某一个难题。
这些新的工具中,有一个现在已经成为现代组合数学和图论研究的基础,即著名的Szemerédi正则引理。它指出:任意充分大的稠密图都可以用几乎等部的子图(非常类似于正则二部图)的并集来近似,其中子图的数目是一个有界的数字。这是一个非常惊人的结果。随后,著名数学家Gowers以及陶哲轩等都给出了正则引理的其他形式。除了组合数学,正则引理也在数论和计算机科学,特别是复杂性理论等领域有着广泛的应用。
那么通俗意义上来讲,塞迈雷迪的正则引理到底说的是什么呢?又应该怎样去理解呢?下文中我们将看到菲尔兹奖得主Gowers对正则引理的讲解以及对塞迈雷迪工作的评价,该文是Gowers写给阿贝尔奖评奖委员会的推荐信。
作者简介
史永堂,博士,南开大学组合数学中心副教授,主要研究方向为图论与组合最优化。
本文经授权转载自微信公众号“数学文化”。
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