聊聊费马猜想那点事儿

首发于公众号“贼叉”

盛极必衰的道理哪儿都适用,古希腊数学在丢番图的《算术》出来以后到达了顶峰,然后开始走下坡路。从公元3世纪一直到14世纪,由于欧洲处于教会的黑暗统治之下,数学发展就停滞了。在长达一千多年的时间里,欧洲的数学完全没有任何可以提的东西。直到15,6世纪的文艺复兴时代,欧洲的数学才重启了。在这个时期也出现一系列的重大成果,比如一元三次、四次方程求根公式等等——要知道这个距离一元二次方程求根公式被发现已经间隔了一千多年。但是数论这块的重启要晚一些,一直到了17,8世纪才开始。

这个时期涌现出来的大数论学家几乎都是法国人,比如拉普拉斯、勒让德、拉格朗日、费马等等,除了欧拉是瑞士人。

是的,你看到的拉普拉斯变换,勒让德多项式、拉格朗日中值定理中的这些人都是数论的大拿。。。而在这些人中,费马是唯一的一个业余数学家。

皮埃尔·德·费马(Pierre de Fermat,1601年8月17日~1665年1月12日),法国律师和业余数学家。是的,他的主业是律师。和另一位全才莱布尼兹(本人的祖师爷,微积分的发明人之一)的职业一样。

因为费马实在是太牛了,成就超过了很多职业数学家,所以在数学史上有且仅有这一位业余数学家,这是数学界公认的。数学家这个事情呢都是同行认同,从来没有自封的,如果你看到有人自称数学家那肯定就是个骗子。

费马因为在数论中的贡献实在太大,以至于掩盖了他在微积分中的贡献。学过微积分的都知道有个费马引理,函数f(x)在x=a处可导,如果对于任意的x∈U(a),都有f(x)≤f(a) (或f(x)≥f(a) ),那么f '(a)=0。

换句话说,费马早就发现了函数的极值和导数之间的关系,要知道那可是17世纪啊!崇祯寻死觅活,李自成揭竿而起的时候,费马就在捣鼓这玩意。。。

而且这么牛叉的结论对于费马来说,只是很不起眼的工作。费马在数论上的成就实在是太多了。比如他指出形如4n+3的质数不能表示成两个数的平方和;形如4n+1的质数可以表示成两个数的平方和,本质上只有一种方式。

所谓质数是指除了1和本身,这个数不能被其他正整数除尽,像2,3,5,7这些都是质数,而且2是唯一的偶质数。

那个时代的数学家还喜欢互相写信交流心得,这和14,5世纪的数学家的作风完全不同。他们把数学技能视为自己的私有财产,绝不肯传授给其他人。像前面提到那个发明一元三次方程求根公式的哥们是个意大利数学家,叫塔塔格里亚,他对自己独创的一元三次方程的解法严格保密,后来是被一个赌徒骗走的。。。所以后来这种互通研究内容的风气使得数论这个分支蓬勃发展了起来。

费马在信中提到的成果也是颇为丰硕的,比如费马小定理就是其中一个。若p为质数,则对每个整数a,a^p-a可被p整除;还有知名的费马质数问题。

费马质数是指形如2^(2^n)+1的整数都是质数。事实上当n=0,1,2,3,4的时候都是对的,但是当n=5的时候就不对了。

2^2^5+1=4294967297= 641 × 6700417,这是由神一样的欧拉找到的第一个反例。后来人们发现,当n≥5的时候,目前为止2^2^n+1都不是质数,换句话说,现在变成了要证明n≥5的时候, 2^2^n+1都不是质数,现在还没有能找到一个反例说明这个结论是错的,或者证明它是对的。

费马出手真的是非同凡响,就连错都错的那么有个性,错也错出个大问题,像我们要是错了那就是个笑话。。。

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