个人认为比较合理的中小学和学前阶段的数学学习方法

前面有人讨论发现式数学，这里说一下关于数学教育的个人看法。我会试着理想化一点，因为重点不是让中国人都立刻显著提高数学水平，而是希望50年后的人不要把自己不懂的部分全简单地解释成天赋问题，这样教育能有更多的进步机会。不一定都对，不一定完整，过于激进的应用和发现式数学一样有风险。

第一步，要重视数学知识的应用。当然生活应用也是一种应用，但我这里说的主要是对学习更高级的数学的应用。要提供充分高级的工具，包括知识工具和软件工具。自己能解决的部分自己完成，自己不能解决的部分靠外部工具或临时学习完成，这样能以最大效率检验和确认自己的每一部分知识的潜在应用价值。在这个过程中靠学习也好，发现也好，一定要尽快确认自己的某一知识是正确的、错误的，还是太难而暂时无法掌握的。然后不是说绝对不可以，但是在不必要的情况下，要尽可能减少习惯性地把结论不可靠的思路作为看问题的主要思路。一方面不懂就是不懂，不应该刺激人非要现在就以太模糊的方式随便凑合一个差不多的结论；一方面懂了就是懂了，自行推理出一些还算有点意义东西的时候就要给出充分的学习材料，补足该同时具备的配套知识，至少提供这个机会让人了解到自己的准确位置，让是否可靠的判断理论与实践一致，不要在已经成为思维习惯的一部分之后还告诉人现在还用不到这些知识所以就不用管。包括临时的学习材料，如果太超前可以不用掌握，但结论和相关性质等一定要明确，不要留给人自己推测有什么意义而长时间得不到确认。不然模糊的成分会逐渐发展成思维中的很大的干扰，如果推测应该是怎样，但是结果又很可能不行，就会经常出现反复。正确的结论不明知正确也可能会有潜意识里知道了结论但解释错，然后引出其它错误的情况。

第二步，建立自己的知识结构。意义是知识越丰富，就越容易通过比较形象的方式把核心定理压缩成最小的大脑容易处理的等价形式，并去掉无关部分分解到各种需要直接处理的问题类型中。核心定理越小就越容易在潜意识中同时去思考多个角度。但是形象的展示，一方面本身是占用思维资源比较多的，属于建立知识结构的方法而不能完全代替知识结构，能简单解决问题就不宜过多重复；一方面每一种知识结构是对一类问题也就是应用价值优化的，不能认为唯一，除了对于太难的问题（量子力学一类的）应该还是比较适合学生自己去建立。一种可以考虑的方法是把知识结构包装成类似于题目的形式，已经会了的人可以不需要多想，快速跳过，而不会的人可以顺着题目的思路引导去形象地看待，但最终需要回答的应该只是严格的结果。

按照我这样的观点，发现式数学教育的问题就在于，对于应当明确的逻辑知识不够明确，包装成问题的形式等着人自己去建立一个模糊的概念；而对于应当开放的知识结构不够开放，设一个标准让人一定要发现一个特定的结果。恐怕是有些数学家或数学好的人试图把自己的理解方式解释出来，但只关注了其中一个自己认为最重要的角度，而没有考虑其它影响，自己也没有经历过直觉很可能出错，面对的问题很可能太刻意的阶段，最终再经过一些教育人士的解读之后造成了这种结果。实际上超前的知识自然就是发现的动力，发现也自然会促进人对可靠知识的求知欲。太枯燥而让人看不到一些前瞻性的数学教育可能是在拖发现的后腿，而发现式教育在两方面都在拖后腿。