“破解”希尔伯特第六问题之后，他们说这是“无心之举”

宣布破解希尔伯特第六问题的三人组，其成员的合作充满了因缘际会，既有同门渊源，又有师生之谊，还有学术会议上的一拍即合，甚至某次吃炸鸡时的灵光乍现，也是研究突破的一个亮点时刻。

撰文 | 路飞

2025年3月，两位华人科学家邓煜和马骁联合中东数学家Zaher Hani在学术平台arXiv发布预印本论文，宣布攻克了希尔伯特第六问题的关键部分——从微观分子运动严格推导出宏观流体方程。消息甫一放出，就登上各大社交平台热搜，这为下一届菲尔兹奖得主花落谁家增添了一笔神秘色彩。

论文发表页面 | 图源：官网

为物理的想象寻找数学注解

1900年8月6日，国际数学家代表大会在巴黎召开。

38岁的德国数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert，1862-1943）走上讲台，第一句话就问到：“揭开隐藏在未来之中的面纱，探索未来世纪的发展前景，谁不高兴呢？”接着，他向与会者提出了23个数学问题，这就是著名的希尔伯特演说。这一演说，成为世界数学史上的重要里程碑，为20世纪的数学发展揭开了光辉的第一页。

百年来，人们把解决希尔伯特问题，哪怕是其中一部分，都看成至高无上的荣誉。而今，希尔伯特第六问题在沉寂了125年之后，实现新突破。

希尔伯特第六问题包括两个具体问题：第一，是概率论的公理化基础，此问题已在20世纪上半叶解决；第二，是玻尔兹曼关于力学原理的问题，即如何从数学上发展极限，从原子论的视角推导出连续介质的运动定律。

这一问题的核心诉求是将物理学公理化，把物理学的基本概念、定律和推导过程，变成一套逻辑严密、无可置疑的数学体系。在希尔伯特的计划中，首先涉及的是概率论和玻尔兹曼的气体动理论。

什么叫物理学的公理化？简而言之，就是用数学为物理找到解释的注脚。即物理学如何利用基本公理系统，从第一性原理出发来推导其他物理定律。在气体动力论这一具体问题上，公理化的要求对应于，在利用牛顿力学解释单个粒子运动规律的基础上，如何推导出含有大量粒子的气体系统和流体系统的规律。

牛顿时代的物理学主要是研究少量单体，如只研究一个或少量物体如何相互作用、如何运动、相互作用后又如何运动。随着时间推移，物理学百花齐放，发展出电学、光学、声学、气体动力学、流体力学，在气体动力学中有玻耳兹曼方程，而在流体力学领域有欧拉方程（可压缩）和纳维-斯托克斯方程（不可压缩）。

玻耳兹曼方程涉及到的粒子可以看作是大量遵守牛顿力学的粒子，它们在牛顿力学公理法则的支配下，与环境、容器、大量的其它粒子相互作用，进而呈现出由欧拉方程和纳维-斯托克斯方程描述的宏观规律。

作为原子论的坚定支持者，玻尔兹曼发展了统计力学方法，基于原子论假设给出了理想气体在非平衡状态下的运动方程，这即是玻尔兹曼方程。希尔伯特提出的研究计划，从原子尺度上的牛顿运动定律出发，以玻尔兹曼的动力学理论作为中间步骤，目标就是严格推导流体运动的定律。

但牛顿运动定律是可逆的，玻尔兹曼方程却是不可逆的。牛顿运动定律认为，单个粒子的碰撞、运动遵循一般动力学规律，这一过程是可逆的。而玻尔兹曼在麦克斯韦的分子混沌假设基础上推导出了热力学第二定律，即当温度不同的气体分子混合在一起，最终温度会变得均匀，显而易见，气体分子的运动状态是具有时间方向的确定性。

尽管玻尔兹曼的统计力学开始被人们接受，但如何从时间可逆的机械力学系统演化出时间不可逆的热力学系统，仍然困扰着一代又一代数学家。包括希尔伯特本人在内，科学家们一直在尝试通过将玻尔兹曼方程展开等方式来完成这一过程。

1975年，美国数学家Oscar Lanford证明了在足够短的时间内玻尔兹曼方程的正确性，这一成果无疑成为解决希尔伯特第六问题的推进器，在数学界燃起了最终解决这一问题的光亮；此后近50年的时间里，相关研究陷入了瓶颈，但数学家们不断尝试新的方法和思路，从不同的角度对问题进行剖析。

论文正文 | 图源：官网

直到去年，邓煜等三人联手，用一篇164页的论文，从稀薄气体硬球系统在任意长时间下推导了玻尔兹曼动力学方程，使得希尔伯特第六问题的解决之路又向前迈进了一大步。

今年3月，他们的新论文终于给狭义希尔伯特第六问题画上了圆满的句号，并在此基础上推导出了可压缩流体的欧拉方程以及不可压缩条件下的纳维-斯托克斯方程。

铿锵三人行

这次取得重大突破的团队由三位杰出的数学家组成，分别是芝加哥大学副教授邓煜、密歇根大学研究助理教授马骁，以及密歇根大学教授Zaher Hani。

邓煜参与在线访谈 | 图源：会议截图

邓煜，1989年出生于中国深圳。2006年，年仅16岁的他在全国中学生数学冬令营中以满分成绩夺得冠军，次年入选国际数学奥林匹克竞赛（IMO）中国国家队并斩获金牌，顺利保送北京大学。在北大数院学习两年之后，他转学前往麻省理工学院深造，并于2015年在普林斯顿大学获得博士学位，此后前往纽约大学库朗研究所担任博士后。2018年，邓煜完成博士后研究之后前往美国南加州大学，2024年加入芝加哥大学至今。他的研究兴趣主要围绕色散和流体方程，以及概率和调和分析。

邓煜早年常驻贴吧、知乎，时常与“道友”分享学习生活所思所想，他总以温文尔雅兼幽默风趣示人，常被“道友“称为“灯神”。在接受《返朴》视频采访时，邓煜流露出一股天然的松弛感，不过他说话语速很快，旁人透过语言表达，可以轻易看出其思维泉涌。

马骁参与在线访谈 | 图源：会议截图

和邓煜数学竞赛出身不同，马骁属于半路出家，竞赛经验寥寥。马骁1998年出生于河南新乡，初中毕业于郑州市一中，高中通过数学竞赛考入郑州外国语中学。2014年，高二学生马骁通过自主招生，考入中国科学技术大学少年班学院。

在中国科大，无论最后个人自主选择什么专业，数学、物理等基础学科都是每个学生的必修课。大一伊始，马骁选择了“较为实用”的物理学，到大二时他才扭头选择了数学，并考入华罗庚英才班。

这里需要插一句题外话，大三时马骁曾前往号称“数学家摇篮”的巴黎高师学习了一段时间，后因法语“不过关”而另寻出路。马骁回忆起这段往事，尴尬地笑起来。2023年，他从美国普林斯顿大学博士毕业，目前是密歇根大学的研究助理教授。

相比于邓煜的侃侃而谈，马骁说话不疾不徐，力求严谨，流露出大男孩腼腆的微笑。在回答《返朴》的提问时，他会自然而然地列出“首先、其次、再次”，并且不时追加“不知道我有没有表述清楚”。

Zaher Hani丨图源：密歇根大学官网

另一位作者Zaher Hani未参与此次访谈，但从邓、马两位的介绍中，可以洞悉其在本项研究中承担着重要角色。Zaher是黎巴嫩人，本科毕业于贝鲁特大学，于加州大学洛杉矶分校获得博士学位，师从著名数学大师陶哲轩，目前是密歇根大学的教授，同时也是马骁的博士后合作老师。Hani最让马骁惊奇的是，“他是我见过的第一个会使用微信、支付宝、携程的外国人！”

无心之举

对于媒体的热切报道，马骁直言，“我们没有想到这一篇论文相比去年发布的论文，引起这么大的轰动，这是我们意料之外的。”用邓煜的话来说，“推导出玻尔兹曼方程是无心之举”。

溯源邓煜的文章可以发现，2024年8月之前没有任何一篇论文关于玻尔兹曼方程的证明。

2018年底，邓煜正在研究色散方程的随机初值理论，即随机Fourier级数。Hani在芝加哥大学的一次会议上向他抛出了一个问题，询问其对“Wave Kinetic Equation 的推导”有何看法。邓煜很快发现之前做随机初值问题发展的一套组合工具，恰好可以用来处理WKE的Feynman（费曼）图，于是大大改进了之前的结果，证明了所有称之为“次临界”的情况。

Hani并不满足于此，拉着邓煜继续深入研究，“要不我们试一试临界情形吧”。尽管邓煜内心一开始是拒绝的，但是在初试之后立马就尝到了甜头，俩人发现了一套新的组合结构和工具，这真叫“洞天石扉，訇然中开”！至此，2021年4月，俩人证明了“短时间”的临界情形。

对于“长时间”临界情形的证明，邓煜追忆到某次吃韩式炸鸡时的灵光乍现。“如果从短时间 τ 推到 2τ 会发生什么？我猛然发现这里存在着神奇的抵消性，再后来我才意识到这其实给出了WKE的时间箭头。和Hani讨论之后，我们发现这可以用来推导长时间的Wave Kinetic Equation。”

2022年12月，纽约召开Simons collaboration meeting，邓煜和此前素未谋面的同门师弟马骁相识——俩人在普林斯顿读博期间是同一个导师，时空差距在此次会议上得以弥合。更巧的是，马骁接着又做了Hani的博后，“再也没有比他更合适的人选了”。

2023年初，在邓煜着手做波湍流的第四年，他已经相当有把握，可以证明“长时间”的Wave Kinetic Equation，“以往学界往往用粒子系统来类比适用于波湍流的wave kinetic equation，我们为何不调换方向，用wave kinetic equation反向类比到粒子系统呢？”

这一想法，正是两篇证明玻尔兹曼方程论文的起源。其核心思想是传播一种长时间累积量（cumulant）假设，该假设能够保留相关粒子完整的碰撞历史研究的关键，在于证明这些累积量在L1范数下的微小性，而这一问题可以转化为研究费曼图（Feynman diagrams）对应的碰撞历史（CH）分子的组合性质。这就到了邓煜的研究舒适区。

团队选取稀薄气体硬球体系作为研究目标，运用累积量解析法来追溯粒子碰撞的完整过程。为调控分子的组合特性，确保复碰撞数量处于可控范围，从而消除引发发散的根源，团队精心构思了一种繁复的“切割算法”（cutting algorithm）。这一创新性算法成为整个研究的点睛之笔，经由对分子组合的精妙调控，成功证实了累积量的微小特性，进而从严谨的理论推导中，得出了玻尔兹曼方程的长期有效性。

在新近发表的论文中，团队成功地从微观牛顿力学出发，经由玻尔兹曼动力学理论，推导出了流体力学的欧拉方程与纳维-斯托克斯方程，证明了粒子系统的物理量的极限满足宏观流体力学方程。这一成果实现了从微观粒子系统的牛顿定律出发，通过玻尔兹曼动力学理论严格推导出宏观流体力学偏微分方程的目标，为狭义希尔伯特第六问题画上了圆满的句号。

当被问及在“破解”希尔伯特第六问题之后做了什么事情时，邓煜道，“没忍住狂喜，发了条朋友圈。”

马骁微微一笑，“还在钻研如何简化证明流程，评审专家目前觉得我们的证明较为艰涩难懂。”

需要补充说明的是，目前论文正在审稿中，不过学术界普遍持乐观态度。

玻尔兹曼逝世后，被埋葬在维也纳中央公墓，他的墓碑上镌刻着一个著名公式S=k·logW，其中S描述了一个热力学系统的熵，W代表该宏观状态中所包含的微观状态数量，k则是著名的玻尔兹曼常量。三月春风和煦，绿叶沙沙作响，这位统计力学先驱至死都在追寻微观和宏观的联系，而今终于能用数学证明：分子碰撞的喧嚣，终将汇成物理定律的永恒乐章。

参考资料

[1] https://arxiv.org/abs/2503.01800

[2] https://mp.weixin.qq.com/s/E-XAupyIm-Z_UlJOjag86g

[3] https://www.zhihu.com/people/ma-xiao-42-34

[4] https://www.zhihu.com/question/14073117334/answer/123281591095

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