为什么是佩雷尔曼解决了庞加莱猜想？他少年时另一面天赋给出答案

2006年8月22日，3000多名数学家齐聚马德里，参加第25届国际数学家大会。所有数学界的人都迫切地想要见到那位俄罗斯数学天才佩雷尔曼，他证明了困扰数学界100年的庞加莱猜想。庞加莱猜想最早是由法国数学家庞加莱提出的，是克雷数学研究所悬赏的七大千禧年大奖难题之一。但佩雷尔曼并没有出现，然而片刻后会场仍爆出经久不衰的掌声，致予那位缺席的数学天才最崇高的敬意。

佩雷尔曼已经成为一个活着的传奇的存在。让我们回到最初，看看震惊世界之前的他。

撰文 | [日]春日真人

翻译 | 孙庆媛

01

天才少年的诞生

1966 年，就在斯梅尔博士在莫斯科获得菲尔兹奖的这一年，在如今的圣彼得堡市，一位名叫格里戈里·佩雷尔曼的男婴呱呱坠地，他的昵称叫作格里沙。

他的父母都是犹太移民，对教育十分重视。特别是作为数学教师的母亲，在格里沙小的时候就让他接受了数学方面的精英教育。除了上学以外，格里沙每周还要去两次数学学习小组，周六日必定要去参加地区举办的数学模拟考试。这些都让格里沙变得十分忙碌，以至于他几乎不太和附近的小朋友一起玩耍，连学校的活动也很少参加。

不久之后，少年佩雷尔曼就升入了圣彼得堡第 239 中学（高中），这是一所培养数学和物理人才的专门学校，而少年的才能也终于在这所学校爆发出耀眼的光芒。

在这所学校楼梯的梯台上，张贴着所有优秀毕业生的名字。在1982 年的字样下，刻着的正是格里戈里·佩雷尔曼的名字。这一年，少年佩雷尔曼在苏联国内的数学竞赛中胜出，获得了国际数学奥林匹克竞赛的参赛权，当时年仅 16 岁的他，是所有优胜者中年龄最小的。

但是，年龄最小的他当时却被任命为参加国际数学奥林匹克竞赛团队的队长。这除了他具有出类拔萃的才能以外，还因为他兼备热情爽朗的性格。

亚历山德拉·阿布拉莫夫先生是 1982 年在布达佩斯举行国际数学奥林匹克竞赛时的苏联参赛团队的团长。他告诉我们：“格里沙很爱笑，朋友们说一个很无聊的笑话，他也会笑得停不下来。相反，如果你开一个粗俗的玩笑，他就会涨红了脸生起气来。朋友有烦恼的话他会马上开解劝慰。他是一个很可靠的孩子。”

阿布拉莫夫先生当时还担任了竞赛前集中强化训练的指导老师。训练大概持续一个月左右，指导对象就是这些从各地选拔出的数学英才们。在当时，数学奥林匹克竞赛对苏联来说是“宣扬国威”的一个重要舞台。

“这就是 1982 年的名次表。你们可以看到，我们苏联代表队那一次面临的是十分强大的对手，我们经历了艰苦的对战。排名第一的西德代表队，满分 168 分中获得了 145 分，我们仅以一分之差屈居第二位。排在后面的是东德、美国以及分差不大的越南。前五名的队伍和后面的队伍之间分差很大。数学奥林匹克，就像是真正的体育竞赛一样，是真刀真枪的团队比拼。”

国际数学奥林匹克团体赛的竞赛规则是：每个国家派 4 名代表，每人均挑战总分 42 分的题目，最后以各队的累计总分来进行胜负判定。考虑到当时冷战正酣，排名前几位国家的代表，他们的表现就不禁令人觉得意味深长了。在这一年的竞赛中，少年佩雷尔曼全取满分 42 分，不仅获得了个人金牌，而且为团队的成就做出了巨大贡献。

他不仅比别人的解题速度快，而且解答也简短扼要得令人惊异。这使得少年佩雷尔曼在参加数学奥林匹克竞赛的孩子中非常引人注目。阿布拉莫夫先生为我们取出了佩雷尔曼手写的答题纸。

“请看一下格里沙的答案的草稿，别的学生回答同一道题，需要用好几张纸反复计算，而格里沙只用了三行就完成了整个证明。他用他丰富的想象力得出了这样简洁美丽的解法。”

数学的解答是越短越好吗？阿布拉莫夫先生给出了答案：“当然了！但是，最难的是导出既美丽又简洁的解法。当然这需要一定的才华，特别是在国际数学奥林匹克这样极度令人紧张的激烈赛事的舞台上，更是需要才华的激发。”

或许是过去的记忆逐渐复苏，阿布拉莫夫先生的眼睛亮了起来。他的脸上浮现出了微妙的笑容，他坐在了沙发上，边调整姿势边告诉我们：“在解答问题的时候，格里沙有一个很有趣的习惯。每当他读完一个问题的时候，就开始不自觉地用双手摩擦大腿部位的裤子，同时上半身开始前后摇晃。这个动作慢慢地会越来越快。他经常性的摩擦让裤子都有点褪色了。

“如果问题比预想的要难得多，他就会开始小声地哼唱一段旋律，这些旋律百分之百都是古典音乐。我记忆中从没听他哼唱过古典音乐以外的旋律。然后，他才会拿起笔，写下极其简短的答案。答完一道题以后，他会掰下一块巧克力吃掉，再过一会儿就继续研究下一道题。他的答题过程就是这样不断重复的。

“在我们数学奥林匹克的代表队里，把一些很难的问题戏称为‘死亡问题’，因为这些问题非常难于解答，碰到了就让人恐惧。但是，对格里沙来说，不管‘死亡问题’有几个，他也会全部解出来。没有他解答不了的问题。这是一个多么令人自豪的学生啊，在这 25年间，我从来都没忘记过他。”

对少年佩雷尔曼来说，解答数学问题就是家常便饭。即使是在数学奥林匹克竞赛中，面对那些最高难度的问题，他也只需使用很小的一部分精力就能够解答。也许在那个时候，少年佩雷尔曼就已经立下了自己的梦想：总有一天，要去试着解出一个世人谁都无法解答的难题。

02

天才数学家的“素颜”

佩雷尔曼，这位解决了世界难题的数学家，是如何打下数学的基础的？为了获得有用的线索，我们还采访了佩雷尔曼博士学生时代的朋友。

40 岁的亚历山德拉·戈尔布诺夫先生是佩雷尔曼博士的一位朋友，从小学直到高中一直陪伴在他身边，共同成长。戈尔布诺夫先生现在就职于圣彼得堡的教育委员会，工作中也包括高中生的数学指导。他的家本身就是一个不大的公寓，类似于佩雷尔曼博士的住所，再加上屋子里摆放着摇篮还有小孩子的玩具等，就更显得拥挤不堪。我们拜访时，他的妻子正怀着孕，他们的第二个孩子马上就要降生了。

“虽然赢不了格里沙，但是我那个时候也不比其他的学生差。”过去，戈尔布诺夫先生也曾和佩雷尔曼博士一样，是一个以数学奥林匹克竞赛为目标的“神童”。在他的高中相册里，还贴着一张小学时候的照片，在这张照片上，我们终于看到了佩雷尔曼博士天真无邪的少年时代。

“我们那时是在同一个数学俱乐部，每周有二次。放学之后，我们都会一起从学校走很远才到俱乐部。经常走到半路就会肚子饿，两个人就会买很多东西吃。喀琅施塔得路上的那家非常好吃的俄式烤包子店，我们就经常去，那条马路边上的小吃店，我们两个人几乎都光顾过。

“格里沙经常会买的，是一种很便宜的加了葡萄干和核桃的面包卷。但是他很讨厌核桃，所以每次吃之前都会把核桃彻彻底底地抠掉。我有时候会在他旁边使坏，把葡萄干挖掉。要是被他发现了，他就会毫不犹豫地打我一巴掌。”

戈尔布诺夫先生一直保持微笑接受我们的采访。据他说，佩雷尔曼小时候很不擅长运动，但是却很喜欢散步。在那时的圣彼得堡的数学俱乐部里，为了“提高学习的效率”，学员们被要求必须在学习间隙中进行长距离的散步。佩雷尔曼本身就已经和戈尔布诺夫先生一起每次都要走长长的路去俱乐部，但他还是很乐意在俱乐部学习的间隙时再出去散步。

高中时代的少年佩雷尔曼，应该对庞加莱猜想，甚至于对拓扑学都没有任何兴趣。但是，戈尔布诺夫先生告诉了我们一个谁都没有料想到的、佩雷尔曼博士的另一面。原来，除了数学以外，佩雷尔曼博士在物理学上也展现出了出众的才华。

“也许格里沙的才华是神赐予的吧。他的物理也非常好。如果他参加的是国际物理奥林匹克竞赛的话，相信也一定能拿到满分。只不过当时他的数学老师给其他科目的老师施压，强力主张他应当参加数学奥林匹克竞赛。”

在参加数学奥林匹克竞赛前夕举行的集训时，少年佩雷尔曼就经常和队里的朋友们一起到森林里散步。而物理学是解析自然法则的学科，也许就是在和美丽的大自然的接触中，他才逐渐产生了对物理学的兴趣吧。

而这份对物理学的兴趣，也成为日后解开世纪难题——庞加莱猜想的关键所在。

而关于他解决庞加莱猜想的过程，可以阅读这篇文章【顶尖俄罗斯数学天才格里戈里·佩雷尔曼到底可以“恐怖”到什么程度？】

03

为什么是佩雷尔曼？

不论宇宙是什么形状，都必定是由最多 8 种的标准几何结构所构成——这是瑟斯顿的几何化猜想。如果环绕宇宙一圈的绳子能够全部收回来，就可以说宇宙是球形的——这是庞加莱的猜想。而佩雷尔曼的研究，在证明了几何化猜想的同时，也自然成为对庞加莱猜想（几何化猜想的特例）的证明。

被誉为“20 世纪智慧巨人”的庞加莱在 1904 年提出了这个猜想，之后就像他预言的那样，在过去 100 年间引领无数的数学家们进入了一个难以想象的未知世界。庞加莱的猜想颠覆了许多人的人生，也令人们对数学这门学科的高深程度更加印象深刻。

而对这个世纪难题的证明，就这样以一种谁也没有料到的方式揭开了它的面纱。也许有人的第一反应会是，为什么是佩雷尔曼？为什么不是别人，而是佩雷尔曼成为了这个世纪难题的终结者呢？其中的奥秘到底是什么？

斯坦福大学的雅科夫·艾利夏伯格博士曾经邀请佩雷尔曼到该校担任教授，但是被他拒绝了。艾利夏伯格博士认为，佩雷尔曼所有的选择都不是无的放矢的。他当时婉拒了斯坦福大学的教授席位肯定是有自己的理由的。再往前追溯，1992 年他决定来美国留学的动机，也肯定不单单是为了到异地游学转换一下研究环境这么简单。

“我认为，佩雷尔曼拒绝所有的邀请执意回到俄罗斯，是因为他想要集中精力进行纯粹的学术研究。如果担任大学教授，就无法把时间都用在数学研究上了。除了指导学生，还会有很多繁杂的事务性工作，作为一个教授，数学研究之外还有其他工作堆积如山。如果他不愿意做这些数学以外的事情的话，就没必要留在大学里了。

“当时格罗莫夫博士、齐格博士以及汉密尔顿博士都在纽约大学任职。也许是因为认定了这些优秀的数学家们都是解决这个难题的关键人物，佩雷尔曼最初才决定来到美国的吧。

“而且他来到美国三年以后，就已经存够了将来在俄罗斯生活所需的存款。美国的湾区，特别是伯克利周边物价水平很高，以拿奖学金的学生们的收入水平来说，基本上不会有什么存款。但是，佩雷尔曼的生活方式是非常朴素的，不仅能有一部分存款，而且他还给俄罗斯的家里也寄过钱。这样他来美国的两个目的都已经达成了。”

布鲁斯·克莱纳博士认为，这个难题能够得以解决，有一个重要的背景就是“终于产生了一种能够适用于庞加莱猜想的数学技术”。同时他也承认，佩雷尔曼能够掌握数学多个分支领域的知识，成为一个极为少见的“万能型选手”，也是原因之一。

“在数学领域中，很少有人能在两个以上的不同领域中都做出重要贡献。这不仅是因为需要耗费较长时间，更是因为要想学习第二个、第三个……分支领域的知识，就必须不断地从零开始重新建立起适用于该领域的思维方式。

“如果放在体育运动中，佩雷尔曼就是一个在撑杆跳、百米赛跑、跳远以及铅球这些项目中都有能力拿到金牌的田径选手。但是这些竞技项目需要不同的肌肉力量、精神状态和训练方式。举重运动员为了能够举起杠铃必须锻炼肌肉力量，但这和马拉松运动员对肌肉的要求是不同的。所以同样，在数学的学术世界里，像佩雷尔曼这样同时掌握多个相差悬殊的学术领域的知识，而且运用能力还非常强的数学家，是极其少见的。”

法国高等科学研究所的米哈伊尔·格罗莫夫博士认为，过去可参考的数据太少，因此很难合理地解释为什么在这 100 年间，唯有佩雷尔曼这一次证明了这个世界难题。“要说明这个百年一遇的奇迹是很困难的。我认为取得成功的原因可能是佩雷尔曼耐得住寂寞吧。数学研究是孤独的，在现实世界中生活的同时，数学家们全身心地投入到了令人炫目的数学世界中。在他们的身体里，人性不得不被撕裂成两半，这是一种非常残酷的斗争。而佩雷尔曼忍受到了最后，才取得了成功。”

在格罗莫夫博士眼中，证明世界难题和拒领菲尔兹奖这两件事，其实是同一个原因产生的、正反两面不同的效果而已。“佩雷尔曼彻底地远离了所有不必要的事情，从社会中抹去自己的身影，只把精力集中在研究问题上。这种纯洁的心使他得以度过 7 年漫长的研究岁月，也令他拒绝了菲尔兹奖。当我们评价某个人所取得的成就时，纯洁的心是很重要的。因为在数学、艺术、科学等所有的领域，一旦产生堕落的念头，那你就已经走在了失败的道路上。我们所处的现代社会也是同样的，如果没有一定程度上的道德纯洁，那么这个社会也就会陷入崩溃。不管你有没有意识到，从事数学这个学科也是极度依赖一颗纯洁的心的。如果你自己的内心就已经崩坏，那么注定是无法取得数学上的成功的。”

本文经授权转载自微信公众号“图灵编辑部”，来源：《庞加莱猜想：追寻宇宙的形状》。

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