跟随自己的兴趣和感觉 | 专访王虹校友

今年是北大数学110周年。110年来，北大数学培养出了一批又一批栋梁之才。最近十年，从北大数学走出去一大批优秀的青年数学家，他们活跃在国际数学最前沿，作出了令人瞩目的工作，也为北大数学谱写了新的华彩乐章。近期，两位优秀的青年女数学家校友姚珧和王虹接受数学中心官微专访。本期由王虹校友讲述她在数学探索道路上的故事与体悟。

王虹，2007年进入北京大学地球与空间物理系学习，后转系至数学科学学院，跟随王立中老师做本科生科研，并在刘张炬老师指导下完成毕业论文《经典Hodge理论和度量空间上的Hodge理论》，2011年获北京大学数学学士学位；2014年获巴黎综合理工学院工程师学位和巴黎第十一大学硕士学位，2019年获麻省理工学院博士学位。她于2021年6月完成在普林斯顿高等研究院的博士后研究工作，并于当年7月起任加州大学洛杉矶分校（UCLA）助理教授，2023年7月起任纽约大学库朗数学研究所副教授。王虹主要致力于傅里叶分析研究。2022年9月，她与其他两位年轻学者共同获得MaryamMirzakhani New Frontiers Prize,该奖项由突破奖基金会于2019年设立，以纪念2017年不幸去世的首位女性菲尔兹奖获得者——Maryam Mirzakhani。获奖人须为在过去两年之内（从奖项启动评选算起）获得博士学位的女性数学家。王虹因其在限制性猜想、局部光滑性猜想及相关问题上的研究进展而获奖。

采写：陶菲 王晨鉴 郑旭

Q1：您在校友论坛期间作的报告的主题是关于组合数学的，您是出于怎样的考虑做的这个选择呢？以及能不能举一些各方向相交叉的例子？

A1：感觉至少最近几年我做的东西很多是从组合这边的想法受到启发然后去做的。我的报告试图把最近几年做问题的一些比较关键的想法用比较简单的语言讲出来，好像也没有觉得它（和在调和分析研究中考虑的问题）有什么不一样。

关于各个方向交叉的问题，比如几何测度论中的Falconer distance problem，我之前和Guth，Iosevich，Ou（欧雨濛，北大07级校友）合作的文章，最后是用decoupling来做的，但在用decoupling的时候我们用到了一个叫做radial projection的几何测度论的结论，但它也有简单的组合的感觉。比如说我在talk中说到，组合里有一个定理叫Beck定理，说的是如果平面上有n个点，然后对于任何一条平面直线至多只有n/2个点在这条直线上，那就能找到其中一个点，从这个点出发跟其它的点连起来，能连出至少n/100条不同直线。我们用了这个定理的连续版本，然后加decoupling才能完成证明。我觉得这就是一个联系。

Q2：您的工作横跨了组合、分析、几何测度论的许多方面, 请问您是如何处理这种交叉方向的研究的呢？与合作者们一起做研究时的状态是怎样的呢？

A2：我好像没有想那么多，就是做研究时遇到什么问题就努力去学习这方面的内容，学不会就多学几遍。如果还是学不会的话那就换个方向（笑）。

至于合作时的状态，因为每个人想问题的思路和研究的路径不太一样，所以大家会有（各自）更熟悉的地方，然后我们合作的时候的确会有意识地让大家多想想自己熟悉的那方面，但每个人对合作里面出现的东西都有一个大概的想法，最后写细节的时候，让更熟悉的人去写那部分细节。如果在做研究时遇到了其他领域的问题，我会去看看那个领域的论文，看看哪些是自己需要的。但也不会看很多，一般是一边做，然后需要什么去查，查到后再应用进自己的研究工作中去看够不够，不够再继续查。我不会把涉及领域的文章整个看下来，而是主要关心与我工作相关的部分定理。当然，在不太熟悉的时候我也会先咨询一下这个领域的专家，哪些文章是比较重要的，以此确定读论文的方向。

王虹在今年暑期的北大数学校友论坛期间作报告

Q3：能评价一下您的研究方向吗？以及为什么选择去学调和分析呢？

A3：调和分析近些年有了比较大的发展，比如Bourgain-Demeter decoupling。它和几何测度论、关联几何也有密切的联系。

可能还是看兴趣吧，有兴趣就读，没兴趣也没必要读……这个没必要读是不是不应该说出来（笑）。但兴趣是一方面，还要看做研究能不能做得动，因为如果一个东西总是做不出来可能也会慢慢失去兴趣。不过，如果一个问题很吸引我的话，那它可能也具有吸引其他人的能力，所以不必担心做出一个“只有自己关心”的结果。

Q4：关于如何找问题您有什么可分享的经验吗？

A4：这个其实我自己一直也比较困惑。但是最近几年我是这么做的：可能看到一些领域里面比较核心的问题，会想一想能够对它问什么比较简单的问题，看能不能自己想办法回答出来。有可能能答出来有可能答不出来。如果答不出来就想办法把它弄得更简单一点。就是不断地提问然后试图回答，以此增进对这个问题的了解。了解更多之后可能发现某一个角度能够找到一个不是那么容易回答但又觉得挺有意思的问题，然后就去做它。我也会关注一些可能大家没有那么关注，但它和一些我觉得比较核心的问题有共同难点的问题，这类问题也比较重要。

Q5：在做研究时您是怎样分辨问题当中的主要部分和次要部分的呢？

A5：在想一些相关问题的时候会发现某一种规律会总是出现。比如我的博士导师Larry Guth，他发现很多问题里都需要研究这样一种情况：如果有很多tubes，这些tubes指向不同的方向并且每个方向上都有许多平行的tubes，这些平行的tubes之间有一些间距。这种tube incidence问题感觉在做很多不同的问题的时候都会遇到，比如在做small cap decoupling的时候，还有当时他在想local smoothing的时候都遇到了类似的问题。所以这就是一个需要集中注意力去想的问题，然后在想这个的时候他想出了high-low frequency的方法。

Q6：例子对于做研究很重要，您对此有什么感悟或者想分享的经验吗？

A6：我觉得拿到前人的例子后首先要理解它的特点，然后在遇到新的问题的时候，先看一下在这些例子身上会发生什么。比如在调和分析的论文里有很多不等式，就可以用这些例子去测试不等式是不是最优的。如果排除掉这些例子这些不等式可能会有怎样的改进。这种慢慢积累多了以后，遇到新的问题可能就可以把一些前人的例子组合起来调一调，看看会不会有新的事情发生。拿到别人的例子之后一个基本的训练就是想改一改会发生什么事情。有可能什么都不会发生（笑）。但至少自己算过，哪怕什么也不会发生，也是好事情。

但是调和分析里面很多例子其实是不太好算的，在一个比较小的点上花很长时间这种事情也会经常发生，比如我在学decoupling的时候算一个例子算了两个礼拜。

王虹在校友论坛期间参加师生交流会

Q7：能总结一下您个人的研究风格以及接下来的研究计划吗？

A7：我做博士后的时候可能需要自己去找合作者，也不知道什么样的合作能够顺利，所以就找了很多合作者。然后合作者写文章比较厉害（笑）。相互之间的交流是非常非常重要的，对我影响和帮助都很大。至于你们提到的我的研究方向很宽泛，我觉得虽然它们看上去是很多不同的方向，但其实它们研究的问题是很接近的。比如之前提到的incidence问题，它在很多不同的方向都会出现，其实是差不多的。

关于研究方向，我可能还是会多想一想几何测度论，别的我暂时也没有一个很明确的计划。因为我觉得找问题是一件很困难的事情。目前来讲我觉得几何测度论里面研究projection theory还是有很多问题可以做，但是以后也许也会做一些别的。

Q8：在做研究时有遇到什么瓶颈吗？或者有什么经历想与我们分享的？

A8：我觉得我一直挺迷茫的（笑），然后以前也真的放弃过。就是我在法国的时候有半年没有做数学就去学建筑了，然后发现建筑也挺难的，后来又回来做数学。我也不太清楚支持我继续回来数学的原因是什么，就可能那个时候意识到对我来说数学好像还没有建筑那么难学。因为那个时候意识到自己在数学上接受的训练还是挺多的，尤其是在北大接受很多训练，但北大厉害的同学太多了让我忘记了这一点（笑）。所以后来就觉得如果学建筑的话可能不太清楚应该怎么学，但是学数学的话至少还大概知道该怎么学。

Q9：您与其他两位年轻学者共同获得2022年Maryam Mirzakhani New Frontiers Prize，这个奖项主要表彰在学术生涯早期取得成就的女性数学家。请问您觉得这个奖项对您的意义是什么？

A9：感觉是一个鼓励吧，然后可能也因此得到了一些关注。

Q10：您是怎样安排生活的呢？

A10：我觉得累了就休息，不累就学一些（笑）。然后我可能以前在北大压力比较大的时候曾经出去刷夜。但最后都变成跟别人聊天了。所以刷夜对我来说没有什么特别大的作用（笑），还是要注意休息。但是我比较喜欢运动，哪怕比较累的时候我也坚持每周有几个小时运动。我自己的经验是有的时候虽然学习已经很累了，运动可能会让人更累，但两个结合在一起还是对学习有帮助的。一般身边有什么样的条件就参加什么运动，我不是全能型选手，但是都热爱。以前在北大的时候打乒乓球，后来去了法国，学校里没有乒乓球于是就击剑，然后疫情期间没有乒乓球又没有击剑，我就上跆拳道网课。

我说不好会在数学上花多少时间，但兴趣爱好上我可以说（笑）。如果有规律地运动的话，我的理想状态大概是每周可能四五个小时吧。然后数学花的时间很难去衡量，因为有时候可能走在路上就会发发呆想想数学，但也有时候累了就休息做做别的。

我也会做一些计划，但是也不一定都能够达成。顺其自然就好。虽然也会有拖延症，我以前也想过这个问题，解决的办法可能就是提早开始吧，就算拖延也还能按时完成。

王虹与采访人博士后陶菲、研究生王晨鉴和郑旭在一起

Q11：关于数学有什么想说的呢？

A11：因为也会有不想学数学的时候，所以我学到了一点就是不能太逼自己。不想学就休息够了再学。而且我觉得数学不是一个逼得时间长了就能学会的学科。我以前念本科的时候以为逼一逼自己就好，但后来发现其实也没有什么用。可能也不能太不开心的去学，就总要休息够了，然后再去学；然后也不能说依赖于灵感，感觉基本的学习时间还是要保障的。

我可能一开始的成绩并不是特别好，但后期还是努力把成绩搞好的。如果说做研究与考试有什么不同的地方的话，可能考试的时候，比如说遇到问题，考试时间有限制，然后可能会把课本上或者老师教过的方法给试一遍，但自己做研究的时候，因为没有时间限制，可以花很长时间去想一个问题，就可能把自己脑袋里乱七八糟的想法都试一遍。

还有我最一开始没能学数学，当时在（北大）地球与空间科学。后来即使到了数学系也没有仔细比较过接触数学前后数学给我的感觉。我觉得可能是因为我没有接受过像竞赛这样的训练，所以我以前对数学的想象是自己看书，看课外书，想一想上面的问题，然后感觉本科很多时候，还有后面的很多时候也是差不多这样，自己在图书馆看看书想想问题。所以对数学的感觉我不太好说，我没有一个特别大的冲突，或者是感觉shock的地方，但感觉一直在挣扎，所以就没想那么多，能生存下来就不错了（笑）。

Q12：关于招学生，您对您学生有什么要求吗？

A12：我想想……我希望心理素质好一点。可能还是会希望有一个数学上的好的训练，但是我也不太清楚应该怎么衡量好的训练。所以说我希望心理素质好一点，因为我觉得做科研的时候很多时候都觉得自己快做不下去了，心理素质好一点可能就能坚持得更久一点，不放弃。