不会微积分的文科学者变身职业数学家，自创玩具显现自然惊奇

我不认为自己的人生离经叛道。当然，如果你硬要把我套进社会上的某种标准生活方式，那我算得上特立独行。这只是一个坐标系的选取问题，如果你使用了错误的坐标轴，事情就会显得非常复杂。……我每天都按照自己的方式生活，从未尝试做任何出格的举动——一切就这么自然而然，水到渠成。

——时枝正

编译 | 小叶

幼年作画，少年孤身留学海外，一口气学至少四门外语，二十多岁放弃稳定工作，回到大学转行数学，如今已是美国斯坦福大学数学教授。被誉为“魔术”数学家的时枝正（Tadashi Tokieda），走出了一条魔术般的人生道路。他的教学方式也像魔术：罐子不会滚下斜坡，纸条可以“穿过”手指……课堂上简单的“玩具”，让抽象的数学、物理学原理变得生动有趣。

一波三折的职业道路

时枝正出生于60年代末的日本，从小就很有艺术天赋，5岁时在东京的一家大型画廊举办了个人画展。据说，一对来自夏威夷的夫妇看中了其中一幅静物画，愿意出高价购买，却被时枝正的母亲拒绝了。第一次办展就差点卖出了人生第一幅作品，所有人都认为他必将走上画家的道路。

然而，时枝正不愿安于循规蹈矩的生活，反而对异国的文化和氛围心生向往。于是，向来腼腆的他在十四岁时做了一个大胆决定——成功说服父母，同意让他独自去法国读高中，这个决定让他的人生发生了第一次转向。虽然日本学校教授外语，但对当时的时枝正来说，这只是一门课程，仅仅停留在一张张单词表和一条条语法规则，不仅方法死板，而且无法与丰富、热烈的生活联系起来。“在日本，我们学一门叫英语的东西，但它只是一门课程。你能真正用这种语言生活吗？你能用这种语言谈恋爱、养育子女、面对死亡吗？显然不能。”在法国，他沉浸在当地文化中，很快就学会了法语，也让原本内向的自己变得更开朗。除法语之外，他还自编了一套西班牙语教材，结合语法书，没多久就能用西班牙语与朋友流利交流。时枝正先后在法国和日本完成古典语言学学士与硕士学位，毕业后在东京担任语言学讲师的工作。

但是，语言学也不是时枝正的终极目标。在撰写论文时，他无意间读到一本人物传记，里面提出的一道微积分题目再次改变了他的职业道路。传记主人公正是家喻户晓的苏联传奇物理学家、诺贝尔奖得主列夫·达维多维奇·朗道（Lev Davidovich Landau）。让时枝正最感到惭愧的是，他自诩接受过良好高等教育，实际上却和大部分人一样，对数学一无所知，甚至不知道“科学是作为一项人类事业而存在”，“什么是数学家？什么是物理学家？”那仿佛只是遥远的概念，“并不存在于现实生活中。”

照片摄于1962年，瑞典驻前苏联大使Rolf Sulman（左）代表诺贝尔奖委员会在莫斯科授予朗道（右）诺贝尔物理学奖牌和证书，当年朗道因车祸受伤而无法亲赴斯德哥尔摩领取诺贝尔奖。来源：https://jewishjournal.com/

于是，为了证明自己也能学懂数学，时枝正决定效仿朗道在传记中传授的数学学习方法：找一本习题最多的数学书，仔细做一遍。他按图索骥，找到一本数学问题全集。书用俄语写成，时枝正不通俄语，但对语言学家来说，再掌握一门外语并非难事。他用了整个冬天的时间来做这件事，大约一个半月后，顺利解出了朗道的那道微积分题。从此时枝正一发不可收拾，他确信自己有天赋，擅长数学，于是毅然决定走上成为数学家的职业道路 。他离开教师岗位，远赴牛津大学，重入本科学习数学。在牛津，只要足够“卷”，就能在两年内读完本科，这是最适合时枝正的“捷径”。尽管以20出头的“高龄”开始学习，功夫不负有心人，他不仅顺利完成学业，还一路深造，最终在美国普林斯顿大学获得数学博士学位，成为了真真实实存在于现实生活的“数学研究者”。

时枝正说，数学有两大魅力，吸引他走上这条道路。还在东京的时候，时枝正有时候会去大学听数学讲座，他在那里经历了前所未有的学术文化冲击：一位学生站起来打断讲解，指出教授可能讲错了，教授看了看板书，沉思片刻，说：“啊，是的。我错了，你是对的”。时枝正回忆：“听到一位体面的成年人这样说，众人却一切如常，这太令人惊讶了！”这样的情况在人文学科领域相当罕见，以时枝正的语言学学术经历来说，学术内容肯定有对错，但即便出错，出于各种原因，学者也很少承认是自己错了，学生需要采用更巧妙的说法委婉指出。而数学从不“文过饰非”，时枝正对此大为欣赏。他深知，犯错也是一种特权，每一次犯错或证伪，都会成为学习和发现的契机。

另外，虽然数学很难，但学起来并非全然无径可循。恰恰相反，这门学科从未刻意为难学习者。两千多年以来，历史上无数聪明绝顶的数学家刻苦钻研，建立起数学体系和严密的数学逻辑，经过一代又一代的数学家不断重新组织和构建，时至今日，整个数学学科脉络清晰明朗。这一切都让数学更加易于理解和掌握。时枝正的个人数学实践也证明了，如果能够掌握正确的数学学习方法，有条理、有逻辑地学习，坚持不懈，再加上那么点运气，终会有所成就。

从纯数学家到“魔术”科学家

无论从事艺术、语言学还是科学，三者之间有着相似之处：艺术家也好，学者也好，都喜欢谈论自己的工作，内容并不是什么具体的数学公式，而是关于自己解决特定问题的动机和方式。为此，在一开始的时候，时枝正遭遇了不少困扰。

在数学研究生涯之初，时枝正研究的课题属于非常纯粹的数学领域：辛拓扑（symplectic topology），该领域属于微分几何的一个分支，源于经典力学的哈密顿表述，其研究对象为辛流形，亦即带有闭非退化2-形式的微分流形。

对于非数学领域的人来说，上面这段话与天书无异。这也让时枝正相当烦恼，他无法与领域外的朋友或家人分享自己的工作成果，也无法让他们体会科学发现的惊喜之情。他承认，数学并不是第一眼就能看懂，而是需要第二眼，甚至第三眼。时枝正非常理解听不懂的痛苦。所以，他想着如果能够以轻松、幽默，甚至有些“傻瓜”的方法讲解入门原理，就能够引导学生进入数学的世界。

2023年，应法国巴黎高等师范学院和巴黎文理研究大学（École normale supérieure - PSL）之邀，时枝正开设了一场别开生面的讲座，在这场拓扑学科普讲座上，没有布满公式的黑板，只有一台摄像机和一张小书桌。时枝正拿出准备好的长纸条开始演示，他把纸条两头连接，接连创造出普通纸环以及莫比乌斯环，随后两两相扣，并沿中心线剪开，之后神奇的事情发生了，有些双连环剪开后变成了正方形，而有些则变成了“心连心”。在演示纸环魔法的同时，时枝正讲述了其背后的拓扑学性质，听众们看得目不转睛，抽象深奥的概念在眼前变得具体又生动。

在博士后期间，时枝正又开始自学物理。与数学的高度抽象不同，物理相对更加具体可感，特别是日常生活中的一些物理现象，让他深深为之着迷。因此时枝正决定，每当自己写成一篇论文或弄明白一个现象，都要利用手头的一些简单物件设计出相关的桌面实验，随时随地向人们展示，分享自己在科学发现过程中获得的乐趣。由此也形成了他日后与众不同的教学风格，他经常放弃常用的幻灯片、大面积的板书，转而用摄像机加“玩具”，编织出一个个有趣又有意义的故事，将复杂的科学理论娓娓道来，引人入胜。

是的，时枝正看重的“玩具”并非那种陈列在玩具店内、复杂精致的商品，他认为那只会让人变成玩具的奴隶，只能遵照玩具开发者设定的规则玩耍。与此相反，时枝正收集的“玩具”看似很普通：白纸、杯子、汤匙、电动牙刷、螺栓……但若遵循大自然的规则来摆弄这些简单物体，它们会表现出令人惊讶的复杂行为，呈现出“魔术般”的效果。

这也为他带来了“魔术”科学家的名声，他本人最喜欢的“魔术”演示之一是2014年在美国普林斯顿高等研究学院（Institute for Advanced Study）的《玩具模型》（Toy Models）讲座，他展示了好几个自研的“小玩具”，其中一个用到了家中常见的汤碗和小木球。

在讲座录像中，时枝正将一颗小木球放进空汤碗，随后沿顺时针方向晃转汤碗，此时，小木球受碗壁撞击，开始同样沿顺时针方向贴着碗壁滚动。接下来加入第二、第三、第四颗小木球，这些小木球彼此独立，也会一起沿着顺时针方向滚动。然而，当木球增加到第五、第六颗时，它们似乎开始相互“打架”，运动轨迹变得混乱起来。当加入第七颗球时，奇怪的现象出现了，木球运动不再混乱，它们开始沿着与之前相反的方向滚动。这正是时枝正建立的“相变玩具模型”（Toy model of phase transition）：随着木球越来越拥挤，碗壁碰撞导致的木球平动（线性动量）越来越多地被木球间碰撞耗散，碗壁摩擦导致的木球转动（角动量）逐渐取而代之，占据主导地位。这其实有点类似于蒸汽凝结成液态水的相变过程：水分子越来越拥挤，相互作用越来越强，结果引起整体状态和行为的显著改变。你还可以看到，如果继续加入小木球，所有木球最终会挤在一起，像“结冰”一样静止不动。

迄今为止，时枝正收集、发明了数百个“玩具” ：从旋转的塑料管到小陀螺，从展示拉力和重力的彩虹圈（Slinky）到用杯子和勺子敲击发声的“乐器”，再到装米的玻璃罐随米量不同，沿斜坡以不同速度滚动等等，各种有趣的展示引导着人们进入科学神奇却不神秘的世界。

有时，人们会把时枝正的“玩具”和拼图、魔方之类的东西混为一谈，他对此不以为然：“我对人为设定规则的游戏不感兴趣，我关心的是大自然法则下的鬼斧神工。”拼图、魔方之类的“人造”谜题越复杂，难度越高越好，目的是让他人难以破解；但时枝正向往简单朴素的自然，希望能从中发现真正美好和令人惊奇的事物——没有人为门槛，孩子和科学家可以分享同样的惊喜。

时枝正常说，要用孩子的眼睛看世界。他发现，成年人有时会有一种令人遗憾的倾向：他们只对大众热衷的事物感兴趣，而天真的孩童则不一样，他们对一切都抱有新鲜感和好奇心，无论其他人是否重视，是否觉得有趣，孩子总能找到让自己惊喜的事物。时枝正正是如此，他自己在洗手的时候注意到，如果水龙头流出稳定的细长水流，当手指沿水流慢慢靠近出水口的时候，水流就会呈现出像水珠一样的波纹，这一现象可以通过表面张力的原理来解释，但大部分成年人往往忽略了这一常见而又“不普通”的自然现象。

讲座尾声，一个非常常见的观众问题是：“你演示的这些有什么实际用途？” 时枝正反问对方，所谓的“实际用途”具体是什么？他收集到的答案，归纳起来不外乎两种：要么能一夜暴富，要么能掌握生杀予夺的权柄。“事实上，很多人都被自己的答案吓了一跳。”

时枝正本人的回答不在此列，他告诉观众，科学不仅仅是一帮穿着白大褂的专家封闭在冷冰冰的实验室中进行的事情，相反，它生动好玩，且无处不在。“我不知道其他人怎么想，但我的玩具确有其用：当我向孩子们展示我的玩具时，他们看起来兴高采烈。如果这都不是实际用途，那什么才是呢?”

参考资料

[1] https://www.quantamagazine.org/tadashi-tokieda-collects-math-and-physics-surprises-20181127

[2] https://www.youtube.com/watch?v=qrJCm10ajJw

[3] https://news.stanford.edu/stories/2018/05/mathematical-surprises-phenomena-daily-life

[4] https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%BE%9B%E5%87%A0%E4%BD%95

[5] https://www.youtube.com/watch?v=RC6ONqKOZmU

[6] https://www.youtube.com/watch?v=2v3ANzWkPVI

[7] https://news.harvard.edu/gazette/story/2013/10/as-complex-as-a-toy/

[8] https://www.youtube.com/watch?v=E0_tsHj-JlQ

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