祛魅《几何原本》｜何以祛《几何原本》的演绎和公理化之魅？中国象棋+元素周期表

末那识

学以养识，以识统学。（心迷法华转，心悟转法华）2021-01-26 20:25

按：本文为从拙文祛魅《几何原本》｜《几何原本》的“演绎”和“公理化”之“魅”，何以祛之？中国象棋+元素周期表中节选出的What's new （你有什么新见解）的部分（按眉山剑客陈平老师的3W原则，另两个部分为What's the issue （你要讨论什么问题）、Why's it important （这个问题为什么重要））。恳请诸君批评指正。

What's new （有什么新见解）

以下将对《几何原本》的两大魅惑：

《几何原本》从少量的自明公理演绎推导出了四百余个命题；
《几何原本》是一个纯粹数学的公理化演绎体系。

分别进行祛魅。

一、祛魅“演绎”

《几何原本》中的命题是演绎推导出来的吗？

于不疑处有疑，方是进矣。（宋•张载《经学理窟•义理篇》）

我们首先从一个鲜有人想却可能“直击要害”的问题开始：

《几何原本》的书写结构为什么是“命题+证明（演绎+公理）=命题”式的而不是“公理+演绎=命题”式的呢？

也即：为什么并非从公理出发直接演绎推导出命题，而是先给出命题然后才用演绎推理去证明呢？

这是个“问题”吗？

似乎没有人认为这是个“问题”，因为似乎没有人从这个角度以这种方式去看待《几何原本》。

这样的“问题”似乎是愚蠢的，但哥廷恩大学玻恩研讨班的一句名言是：

愚蠢的问题不仅允许而且受欢迎。

因为有些貌似愚蠢的问题才是最基本的，而最基本的问题往往是新的认知突破的原发地。

那这个问题究竟是个什么问题？已经拍了大腿、有会于心的朋友且耐心点，容笔者给还未明白的朋友做一些解释。

1、“命题的‘确立’”中演绎之成色如何

对于一个命题的“确立”——所谓“确立”，即“获得”了命题并且其正确性是得到了保证的——有两种方式：

A、从公理出发，通过演绎逻辑，直接推导出命题。

此方式下，这个命题是直接演绎推导出来的，其正确性是依靠公理的正确性和演绎逻辑的保真性推理的特性来保证的。

B、先“获得”了命题，然后通过演绎逻辑将公理（及其推论）串起来形成一个对命题的“证明”。

此方式下，这个命题是已知的（前人或自己“发现”——“偶得”如毕达哥拉斯定理、“猜想”如哥德巴赫猜想——的），其正确性是通过证明来完成的，而证明的正确性是依靠公理的正确性和证明所用逻辑的正确性来保证的。

那么，你觉得《几何原本》中的命题（主要）是以A方式还是以B方式来“确立”的？

笔者的直觉是B方式，以下试证之。

先来看文本（事实）证据

得益于上述直觉认识，笔者发现了一些以前视而不见（小和尚念经有口无心）的“白纸黑字”的文本上的证据。

比如，同样在《决定经典丛书》之《欧几里得》中译本的《导读》里有这么几句：

他在这部书中，总结了前人的研究成果。
欧几里得创造性地总结了他以前的古希腊人的数学，将零散的、不连贯的数学知识整理起来，加上自己的大量创造，构建出彼此有内在联系的有机的宏伟大厦。
《几何原本》中涉及到诸多重要命题，比如命题I.47就是著名的“勾股定理”。传说这一定理最早是由毕达哥拉斯证明出的，但他的证明方法却没有流传下来。而《几何原本》中的证明，则可以算是现存西方最早证明勾股定理的记载。
毕达哥拉斯学派……发现勾股定理……还发现了不可公约量，以及五种正多面体的存在，并把算数和几何图形结合起来。这些都为欧几里得的《几何原本》奠定了坚实的基础。

清华大学人文学院科学史系教授张卜天的译本的《译后记》里也有类似的表述：

目前通行的《几何原本》包含13卷（另外两卷被认为是后人续写的）。
学者们认为，《几何原本》在很大程度上是根据一些早期希腊数学家的著作所作的命题汇编。

可见，《几何原本》中的很多命题是已知的（毕达哥拉斯定理即勾股定理是人所众知的一个确凿无疑的案例，其它的，专业学者应该有所考证，此处不赘），欧几里得只是对这些命题给予了证明。

我们现在不知道的是，假如这些命题并非已知，欧几里得能否从他的公理中通过演绎推导出这些命题？

我们现在不知道的还有，《几何原本》中的已知命题究竟有多少、欧几里得自创的命题又有多少？

我们现在不知道的更有，欧几里得自创的命题中，究竟有多少命题是通过A方式“确立”的、又有多少命题是通过B方式“确立”的呢？

然后我们再来论理。

论理其一：既然“演绎”，那么应该连绵不绝，却为何止于400余个命题？

我们可以学习欧几里得的“反证法”。

假定欧几里得《几何原本》中的命题是以A方式确立的，也就意味着：

给定已知（定义、公设、公理、定理，等），就能从已知出发通过演绎逻辑推导出所有命题（“已知”所内涵的全部结论）。

下面来反证。

如果此说为真。那么：

欧几里得将可以绵延不绝的推导下去，至死方休，那《几何原本》中的命题就不会只有区区400多个，而是至少成千上万了吧；

再加上他的弟子（如有）和后学者（肯定有）的接力（既然《几何原本》写的那么通俗易懂——号称笨蛋都能看懂，其秘诀——演绎推导——也人所共知，那总有几个欧几里得的弟子或后学能接着续写《几何原本》啊），《几何原本》应该是多少倍现在的体量了吧（而不是仅仅增加了两卷，见上述引用的张卜天译本的《译后记》）。

但这些都没有发生，由此可知，并非是给你一些已知（公理、定理等）然后用演绎逻辑就一定能推导出什么命题来的（严谨的说，应该是人力所及，能推导出一些能推导出的命题，但不能推导出未能推导出的命题，这看起来像废话，但仔细体会，实情确是如此）。

证毕。

再做点补充论述。

《几何原本》中的命题，我们（普通读者）唯一确定的并非是直接演绎出来的命题就是“毕达哥拉斯定理”，似乎也没有任何史料中记载毕达哥拉斯是通过演绎的方式得到这一定理的，那么，可以推定，“毕达哥拉斯定理”要么是从生产实践中总结出来的（如它的另一个名字“勾股定理”的来源一样）、要么是毕达哥拉斯在摆弄三角形的过程中“发现”的。

古人及其命题是怎么获得的，我们不好妄断，我们看看现代人是怎么干的。比如这位：

数学史上最强家庭主妇，只有高中学历却做出了4项重要发现。

是“发现”“发现”“发现”（重要事情说三遍）的哦，而不是“演绎”出来的。

故此，A方式或许并非是《几何原本》中命题的“确立”的（主要）方式。

（为什么加“或许”，因为：第一，这只是以虽然是既定的、全部的事实但依然是有限的事实所做的论据，并没有逻辑上的必然性，故其可靠性有限；第二，《几何原本》中的命题究竟是怎么来的，无从全部考证了嘛。）

论理其二：既然“演绎”，那在数学中又为何有那么多“猜想”？

笔者在看到“我国数学家成功证明微分几何学两大核心猜想，历时11年”这个报道后，感想如下：

历史上有诸多数学命题/定理的猜想，既然是猜想，那就不是经过推导出来的，而是真的“猜”出来的。
那么，我的问题是：
1、数学这种纯而又纯的所谓理性科学，所谓的演绎推理（以欧几里得《几何原本》为代表）究竟起了多少作用，换句话说，有多少数学成果是靠演绎推理推出来的，又有多少是靠猜出来的，而重大突破性的成果中又有多少是演绎推理推出来，有多少是先猜到后得证的——自己证明或者后人证明，自己证明的又有多少是抹去了先猜到的迹象而伪装成演绎推导出来的；
2、后人证明了某个猜想，是由于提出猜想的人比后来给其证明的人的演绎推理能力差吗？
搞清这两个问题对我们真正理解科学和创新至关重要。

数学王子高斯也曾感叹到：

给我一些结果吧，证明由我来给出。
感谢观察者网风闻社区ID名为Wanglaow见告，但笔者查不到原出处

可见，高斯对于命题的饥渴。

这也说明，数学家更头痛和更渴望的是“获得”命题，因为提出命题是更重要、更荣耀的事，也因为有了命题才有活儿——证明——可干。（即使高斯没说过这个话，也不影响笔者的论述，因为高斯的话只能算是锦上添花。）

论理其三：演绎应该是一门老而弥辣的功夫，但为什么年纪与建树成反比

演绎这门功夫，按其本性来说，应该越操练越纯熟，随年纪增长，功力也就会越深，也就越能演绎推理出一些新知——即作出创新。但为什么在数学创新领域，几乎全是年轻人包打天下，老爷子们不会成为遏制创新的阻力就已经阿弥陀佛了。

论理其四：既然演绎可得命题，又何来反证法

反证法的存在，至少能直接证明反证法所证明的这些命题并不是直接从公理演绎推导出来的。

论理其五：数学家惯于隐匿自己获得命题的方式和细节

上述笔者关于“猜想”的感想中有一句话很关键：

自己证明的又有多少是抹去了先猜到的迹象而伪装成演绎推导出来的。

“抹去了迹象”恐怕是欧几里得开了这个“坏”的先例，不知道数学家究竟有什么顾虑，非得将自己获得命题的的方式和细节隐匿，很可能是觉得只有演绎才高雅吧。

这可不是笔者的异想天开、欲加之罪，而是在学界有一定共识的：

J. L. Casti曾说：“在数学中，要讲述真理是极其困难的，数学理论的形式化的陈述并没有讲清全部的真理。数学理论的真理更象是当我们在听一些专家所做的漫不经心的随口评述时，我们去捕捉专家评述的动因后才会感触到的体味，当我们最终搞清楚典型的例子时，或是当我们发现了隐藏在表面化诸问题之后的实质问题时，我们才品尝到数学之真。哲学家和精神分析学要解释，为什么我们的数学家习惯于系统地擦去我们走过的足迹。科学家们总是不理解地看待数学家的这种怪异的习惯，而这种习惯自毕达哥拉斯以来直至今天几乎没有改变。”
陈跃，公众号：算法与数学之美从历史角度讲现代数学

以上从“文本证据”和“论理”两方面论证了如下判断：

在《几何原本》中，命题的“确立”的主要方式或许并非是A方式的（从公理出发，通过演绎逻辑，直接推导出命题）而是B方式的（先“获得”了命题，然后通过演绎逻辑将公理及其推论串起来形成一个对命题的“证明”）。

（笔者不知上述判断能否得到确切的论证，但至少笔者力有未逮；笔者只希望能启发读者对《几何原本》产生一些如上述判断的疑问）。

2、“命题的‘证明’”中演绎之成色如何

既然我们已经“证明”（假设上述论证有效）《几何原本》中的命题并非以A方式直接演绎推导而得来，而是以B方式“确立”即先有命题（命题的“获得”又究竟是怎么回事？待会在下文有讨论）而后给出证明的，那我们接着再来考察一下在命题的“证明”中，演绎之成色如何。

我们从几个疑惑开始讨论。

疑惑一：命题的“证明”为什么需要“巧妙”的方法？

当我们说某人证明某命题用了一个非常“巧妙”的“证明方法”时，这个“巧妙”二字实际上已经承认了这个“证明方法”的“获得”是非演绎的，只有用这个“证明方法”而展开的“证明过程”是演绎的。

疑惑二：前人“猜想”、后人“证明”是因为“演绎”能力的差距吗？

数学史上有诸多伟大的或不那么伟大的“猜想”，而且提出者本人未能给予证明，而要等到后人去证明。是因为在演绎能力上提出猜想的前辈不如后世的证明者和后世证明者的同辈不如证明者吗？

从上述疑惑可知，对于“命题的‘证明’”，也并非直接就从公理开始演绎了，而是先要“获得”“证明方法”，然后才是按照这一“证明方法”开始的演绎过程，而“证明方法”的“获得”并非是演绎的。

类比的说，“命题的‘证明’”犹如以公理为起点经过某一线路到达终点，“证明方法”就是“路线图”，没有“路线图”就不知道从起点开始应该往哪走才能到达终点，而这个“路线图”并非是演绎得来的，所谓演绎仅仅在于按此路线图行进而已也即按图索骥，行进过程中经过的节点/站点就是公理或已知的定理等，是路线图串起了这些节点，而不是行进的动作串起了这些节点。

所以，“命题的‘证明’”也并非是直接演绎的，而是先要“获得”“证明方法”，然后才能依据这一“证明方法”的指引展开所谓演绎之过程。

综上1、2之所述，笔者的观点可总结为：

一个命题的确立大致分三步：

第一步，“获得”命题；

第二步，“获得”证明命题的方法；

第三步，展开证明。

类比地说，第一步犹如确定“目的地”，第二步犹如明晰“路线图”，第三步犹如“按图索骥”。

只有第三步才是逻辑呈现的场域，所谓“呈现”，是指其实逻辑的展开即演绎推导的过程已内涵于第二步，第三步只是让其用演绎逻辑的规范语言表述出来而已。故而笔者戏言，所谓演绎不过是个小三而已。

第一步和第二步都是“获得”，那这个“获得”是怎么回事呢？

“获得”无非两个途径，其一“实践”，其二“思维”。前者易于理解，不再赘述；后者并非理性逻辑的领域，而是非理性、非逻辑的，是感性的直觉、洞察力、想象力，庶几近于“妙手偶得”和“顿悟”。

3、直觉的首要地位

笛卡尔在他的《思维指导法则》中指出：

“对于我们要研究的对象来说，我们不仅不应该研究他人已经想出的，而且也不应研究我们自己臆测的东西，而应研究我们能清楚明了的看出或可靠地演绎出的东西，因为知识不可能用别的方法得到。”使头脑有能力直接获得清楚和明晰的基本原理，极其敏锐的直觉和对结果的演绎——这就是笛卡尔认识哲学的实质。笛尔卡认为思维只有两种方法，它们能使得我们不必担心陷入谬误而获得知识，这就是：直觉和演绎。在《法则》一书中，笛卡尔对直觉给予很高的评价：“直觉是纯粹的专注的思维的可靠概念，它仅由理性之光产生，而且比演绎更可信一些。”
转引自美国数学史大家、数学哲学家莫里斯·克莱因（Morris Kline，1908—1992）《数学简史：确定性的消失》

17 世纪伟大数学家之一帕斯卡在他的《思想录》里告诉我们：

关于空间，时间、运动和数的基本原理的知识如同我们通过推理获得的任何知识一样可信，事实上，由我们内心和直觉所提供的这种知识正是我们的推理赖以建立结论的基础。对推理来说，要求在接受来自内心的基本原理前就要求其证明是无意义的和荒谬的，就如同对内心来说，在接受由推理所论证的所有命题前就要求其有直观知识一样是无意义和荒谬的。
转引自美国数学史大家、数学哲学家莫里斯·克莱因（Morris Kline，1908—1992）《数学简史：确定性的消失》

以上引用可参看：数学：确定性的丧失

阿诺德在其论数学教育的文章中指出：

试图创造所谓的纯粹推导式的公理化数学的做法，使得我们不再运用物理学中的研究方法（观察-建模－模型的研究－得出结论－用更多的观察检验模型），取而代之的是这样的方法：定义－定理－证明。人们根本不可能理解一个毫无动机的定义，但我们却无法阻止这些有罪的“代数－公理学家”。

我国数学家、数学教育家姜树生指出：

那么不能先讲方程再用来做这类应用题吗？其实现在有些人就是这样主张的。有了一般方法就可以应用于解决很多特殊问题，这样效率不就高了吗？类似的主张在中学数学教育中更多。
小平邦彦对此坚决反对，认为“数学教育应按数学发展史顺序进行，而不是按逻辑基础来进行”（参看 [1]）。笔者很赞同他的观点。
在逻辑上，固然是由一般可以推导出特殊，因此掌握了一般原理就可以用于解决很多具体问题。但人的学习规律，是从特殊到一般，从具体到抽象，从简单到复杂，从容易到难，从低到高。不掌握足够的特例，是不能深刻理解一般规律的。在这方面教育不能偷工减料，老师省事了学生就苦了。
姜树生，公众号：返朴小学数学应该学什么？

4、以中国象棋做类比说明

以中国象棋做类比，各个棋子的行棋规则（比如马走斜日、车走直线）就相当于公理，所有的象棋的战略战术以及象棋的对弈史都可以说是这些规则/公理所预先内涵的，具体的对弈实战只是将这些内涵的东西发掘出来。

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各种将死对方的招数就相当于一个个命题，这些命题虽然是预先内涵于象棋规则中的，也即是说理论上可以从规则中演绎得出，但人力所限，我们得到这些招数是在具体的实战中发现的。

而这些招数的演示，就相当于命题的证明。我们对于一般一眼就能看穿的招数是不展开演示的，只有对于复杂的招数，我们才会演示。

还有一些行棋过程中的战法或者叫套路，也可以视为命题。比如清代棋谱《梅花谱》中记载的“屏风马破当头炮第一局：破当头炮巡河车去卒局”：

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其演示即证明过程如下：

1. 炮二平五马8进7、2. 马二进三卒3进1、3. 车一平二车9平8

4. 车二进四马2进3、5. 兵七进一卒3进1、6. 车二平七卒7进1

7. 炮八平七马3进2、8. 车七进一炮8进2、9. 车七平三马2进4

10. 车三进二象3进5、11. 车三退三马4进2、12. 马八进九马2进4

13. 帅五进一炮8平4、14. 帅五平四炮2进6、15. 车九平八车1进1

16. 车三平四车8进8、17. 帅四进一马4进5、18. 炮五退一车8平6

19. 帅四平五车6退3（黑得车胜）

由此我们发现，可以以中国象棋来度量《几何原本》中演绎的成色。

二、祛魅“公理化体系”

“公理化体系”究竟是获得新知的方法还是仅仅是整理已知的写作方式/行文架构？

主流认知中，《几何原本》中的命题是以一些公理、公设、定义为起点通过演绎逻辑推导出来的（已经推导出的命题又可加入起点之列，用以推导出新的命题），这些命题以承前启后的结构化方式被编织成为一个命题体系（知识体系），此之谓“公理化体系”。

“公理化体系”之“魅惑”其实是在“演绎逻辑”之“魅惑”的加持下形成的。在本文第一部分中，笔者已对“演绎”进行了祛魅，所以“公理化体系”之“魅惑”应该也消解得差不多了。

以下仿照第一部分的架构，继续讨论。

我们先来看文本证据。

《决定经典丛书》之《欧几里得》中译本的《导读》中指出：

《原本》作为文化丰碑还在于，它为人类知识的整理、系统阐述提供了一种模式。从此，人类的知识建构找到了一个有效的方法。整理为从基本概念、公理或定律出发的严密的演绎体系成为人类的梦想。斯宾诺莎的伦理学就是按这种模式阐述的，牛顿的《自然哲学的数学原理》同样如此。
......
欧几里得创造性地总结了他以前的古希腊人的数学，将零散的、不连贯的数学知识整理起来，加上自己的大量创造，构建出彼此有内在联系的有机的宏伟大厦。

张卜天译文的《译后记》中指出：