数学，发现还是发明｜《数学沉思录：古今数学思想的发展与演变》第一章“神秘的数学”

按：数学究竟是发明的还是发现的？这个问题前些天风闻曾有讨论，我当时给出的自己的一点不太成熟的认识是：“数是被发明的，数学是被发现的。犹如围棋，围棋的器具和规则是发明的，棋道是被发现的。”今天偶尔翻阅到自己曾保存了一篇讨论该问题的学术性的文章，而且是大数学家写的，甚是欢喜，同时也觉得值得与学友们分享，故特此转发。

《数学沉思录：古今数学思想的发展与演变》​

[美]Mario Livio著，黄征 译

第一章神秘的数学

几年前，我在康奈尔大学发表演讲时，我的幻灯片中有一个标题是：“上帝是数学家吗？”当这个标题刚投影出来时，我听到坐在前排的一个学生倒吸了一口凉气：“天啊，我可不希望这样。”

这个一语惊人的问题，并不代表我打算从哲学上来定义上帝，也不是用来恐吓那些讨厌数学的人们的。事实上，我只是提出了一个迷，这个谜曾令那些最富有创新精神的先贤们苦苦思索了几个世纪：数学无处不在、无所不能。这些正是会让人们联想到神的特性。正如英国物理学家詹姆斯·琼斯（James Jeans，1877-1946）曾指出的：“宇宙似乎是由一位理论数学家设计的。”数学似乎不仅是描述和解释整个宇宙最有效的工具，而且可以用来解释最复杂的人类活动。

今天，无论是物理学家试图创立一种关于宇宙的新理论，股票市场分析员苦苦思索以预测下一轮股市暴跌，神经生物学家构建大脑功能模型，还是军事情报专家优化各种军事资源配置，他们都要使用数学。而且，即使他们在形式上发展出了数学的不同分支，在基础研究中他们依然需要求助于通用、一致的数学基本理论。是什么赋予数学如此令人难以置信的力量？或者，正如爱因斯坦曾经惊叹的：“数学，这个独立于人类经验存在的人类思维产物，怎么会如此完美地与物理现实中的物质相一致？”

这种困惑并非一件新鲜事。一些古希腊哲学家，特别是毕达哥拉斯和柏拉图学派的，已经清晰认识到了数学在形成和支配宇宙方面所具有的能力，并对之怀有深深的敬畏之心。他们发现（数学的）这种能力似乎真实存在，而且超越了人类改变、引导和影响它的能力。英国政治哲学家托马斯·霍布斯（Thomas Hobbes，1588-1679）毫不掩饰他对此能力的崇敬之情。在他的《利维坦》（Leviathan）一书中，霍布斯关于社会和政府基础的阐述给人留下了深刻印象。他选择几何学作为理性论证的范例。

可以看到，真理存在于把各种名称正确排序后所组成的断言中，因此，追求严谨真理的人需要记住他所使用的每个名称的含义，并把它们正确的排列好，否则就会发现自己绕在了文字表述中，就好像一只陷在椴树树枝中的小鸟，挣扎得越厉害，就越不能自拔。为此，在几何学中（这是迄今为止唯一令上帝满意并恩赐给人类的学问），人们首先确定名称的含义（这种含义称为“定义”），并且把它们作为认知的起点。

上千年来给人以深刻印象的数学研究和广博的哲学思考，都没有真正解释清楚数学力量的奥秘，甚至可以说，在某种意义上，数学的这种神秘感又加剧了。比如，著名的牛津数学物理学家罗杰·彭罗斯（Rorer Penrose）意识到，人类周围并不是仅有1个世界，而应该有3个神秘世界。按彭罗斯的划分，这3个世界是：意识感知的世界、物理现实的世界和数学形式的柏拉图世界。第一个世界是我们所有精神影像的家园，包括我们看到自己孩子笑脸时的欢欣愉悦、欣赏落日余晖壮美景色时的心旷神怡，或者观察触目惊心的战争场面时的恐惧和憎恶。在这个世界中还包括爱、嫉妒、偏见、害怕，以及我们欣赏音乐、闻到美食时的感觉。第二个世界就是我们日常所提到的物理现实世界，包括鲜花、阿司匹林药片、白云、喷气式飞机，还有星系、行星、原子、狒狒的心脏、人类的大脑，这些真实存在的东西构成了这个世界。第三个世界是数学形式的柏拉图世界，这里是数学的家园，对彭罗斯而言，和精神世界和物理世界一样，这个世界也是真实存在的。这里有自然数1、2、3、4……，欧几里得几何学所有图形和定理、牛顿运动定律、弦论、突变论，以及研究股票市场行为的数学模型等。彭罗斯还观察到了这3个世界之间神秘相联的3种现象。首先，物理世界的运行似乎遵循着一定的法则，而这些法则真实存在于数学世界中。这也令爱因斯坦感到困惑。诺贝尔物理学奖得主尤金·维格纳（Eugene Wigner，1902-1995）也有同样的疑惑：

数学语言适于表达物理法则，这种神奇是上天赐予我们的绝妙礼物。事实上我们并未真正理解这份礼物，同时也受之有愧。我们应当感谢这份礼物，希望在未来的研究中它仍然有效，而且继续扩展以拓展人类知识，无论这是好是坏，也无论这带给我们的是欢乐还是困惑。

其次，人类洞察性思维本身——我们主观认知能力的源泉——似乎来自于物理世界。思维究竟是如何从物质中产生的？我们是否能够将思维的工作机理上升为一种理论，如同今天的电磁场理论那样条理清晰、令人信服？最后，这3个世界神秘地联到一起，形成了一个闭合的圆。通过发现或创造抽象的数学公式和概念，并将它们清晰地表达出来，洞察性思维才得以奇迹般地进入数学王国之中。

彭罗斯并未给出任何关于这3个世界神秘现象的解释。实际上，他的结论非常简洁：“毫无疑问，并不真正存在3个世界，而是只有1个世界。并且直到目前为止，对于这个真实世界的本质，我们对它的认识甚至连肤浅也谈不上。”与戏剧《四十年来》（Forty Years On，由英国作家艾伦·贝内特创作）中的那位教师回答类似的问题相比，彭罗斯的回答可谓谦逊而坦白。下面即是那位教师的回答。

福斯特（Foster）：先生，我仍然对（圣父、圣灵、圣子）三位一体的说法有点困惑。

教师：三合为一，一分为三，非常直接，如果有任何疑问就去请教你的数学老师。

这个谜题甚至比我刚才提到的那个更错综复杂。利用数学成功解释我们周围的世界（维格纳称之为“数学无理由的有效性”），实际上可以从两个方面去认识，它们都同样令人惊奇。第一，是其“主动”的一面。当物理学家在自然的迷宫里迷失方向时，数学会为他们照亮前方的道路，他们使用和创造的工具、建立的模型，和他们所期望得到的解释，所有这些都离不开数学。显然，这本身就是一个奇迹。牛顿观察到落地的苹果、月亮、海滩上潮汐（我不是很确信他是否真正看见了），不过他所看到的可都不是数学方程式。但是牛顿却从这些自然现象中抽象、总结出了清晰、简洁和精准的数学规律。同样，苏格兰物理学家麦克斯韦（1831-1879）在19世纪60年代拓展了经典物理学范畴。他仅仅使用4个数学公式，就解释了所有已知的电磁学现象。可以想象，电磁学和光学实验通常充斥着大量细节性信息，数据量十分巨大，以前都需要用大量篇幅才能归纳和解释所有这些现象的结论，但现在只需要4个简洁的方程式！爱因斯坦的广义相对论更使人惊叹，它是极度精确与自相一致的数学理论中的一个完美范例，这个理论所揭示的正是如时空结构一类的基础事物。

除了“主动”的一面外，数学神秘的效应中还包括“被动”的一面，它甚至令前者黯然失色，这可能让你十分惊讶。数学家研究探索数学概念以及各种概念之间的关系时，有时仅仅是出于理论研究的目的，绝对没有考虑过理论的实用性问题。但是在几十年后（有时甚至是几百年后）人们突然发现，他们的理论出人意料地为物理现实问题提供了解决方案。你可能要问这怎么可能呢？那位行为古怪的英国数学家戈弗雷·哈罗德·哈代（Godfrey Harold Hardy，1877-1947）的例子就十分有趣。哈代为他的纯理论数学研究感到非常自豪，他曾断然宣称：“我的发现没有一项已经或者将要给世界带来丝毫影响，无论这种影响是直接的还是间接的，有益的抑或是有害的。”猜猜结果如何？他错了！他的一项研究成果被命名为哈代-温伯格定律，这是以哈代和德国物理学家威廉温·伯格的名字命名的，该定律是遗传学家研究人口进化的基础。简单地说，哈代-温伯格定律认为：如果一个基数很大的人口群体随机婚配（没有人口迁移、基因突变和选择性婚配），基因构成将保持恒定，而且不因世代变化而变化。表面上，哈代研究的是抽象的数论——一门研究自然数的学科，却出乎意料地被发现能解决现实问题。1973年，英国数学家克利福德柯克斯利用数论在密码学领域取得了突破性进展。柯克斯的研究成果再次证明了哈代言论的过时。哈代在他1940年出版的那本著名的著作《一个数学家的自白》（A Mathematician’s Apology）中声称：“任何人都不可能把数论用于战争。”很明显，他又错了！密码学在现代军事信息传递中绝对不可或缺。因此，即使哈代这位最有名的实用数学批判论者也被“拽入”研究具有实用价值的数学理论（如果他还在世的话，一定会对此高声抱怨）。

这还只是冰山一角。开普勒和牛顿发现了太阳系行星运行轨道是椭圆形的，而古希腊数学家门奈赫莫斯两千年前就已经研究过这个曲线了。乔治·弗里德里希·伯恩哈特·黎曼（1826-1866）在1854年的一次经典演讲中概括了几门新兴几何学的主要内容，它们恰好是爱因斯坦解释宇宙结构时所必需的工具。还有一门叫群论（group theory）的数学“语言”，它是由年轻的数学天才伽瓦罗（1811-1832）所创建的。起初仅仅用来判别代数方程式的可解性，但今天它已经被物理学家、工程师、语言学家甚至人类生态学家们广泛使用，以研究几乎所有的对称性问题。此外，数学上对称的概念在某种程度上还颠覆了整个科学研究过程。几个世纪以来，科学家认识宇宙的第一步，都是在反复试验和观察后，收集汇总数据和结果，再从中归纳出通用的自然规律。这种梳理过程从局部观察开始，之后像拼拼图一样一块块地拼起来。进入20世纪后，人们认识到条理清晰的数学设计描述了亚原子世界的基础结构，当代物理学家们开始反其道而行之。他们把数学对称性置于第一位，坚持认为自然法则和构成事物的基本要素应当遵循某种特定模式，于是根据这种要求，他们推演出通用规律。自然界又是如何知道应当遵循数学上的对称原理呢？

在1975牛的某天，年轻的数学物理学家米奇·费根鲍姆在洛斯阿拉莫斯国家实验室利用他的HP-65便携式计算器演算一个简单的方程式。他渐渐注意到计算器上的数越来越接近一个特定的数字：4.669……。他惊奇地发现，在他演算其它方程式时，这个神奇的数字再次出现了。虽然费根鲍姆还不能解释其原因，但他很快就得出结论，他所发现的这个数字似乎标志着从有序到混沌过渡时的某种普遍性规律。对此，你大可不必惊讶，物理学家们在刚开始时都是怀疑论者。究竟什么原因导致那些看起来差异极大的系统行为背后却有相同的数学特征呢？经过半年的专家评审，费根鲍姆就此专题撰写的第一篇论文被退稿了。不久之后，实验证明当液态氦从下面开始加热时，其变化过程同费根鲍姆通用解决方案预测的结果恰恰一样。人们发现不仅这一种体系会如此表现。费根鲍姆发现的这个令人惊讶的数字，不但出现在液体从有序流向紊乱的转换过程中，也会出现在水龙头滴水的过程中。

这种首先在数学上“预言”规律存在的必要性，尔后才被后人证实其的确存在的例子还有很多，并且仍然在上演。数学世界和真实（物理）世界之间那种神秘的、意想不到的相互影响，在纽结理论（这是一门研究绳结的学科）中得到了生动体现。数学上的“纽结”与现实中绳索上的结十分类似，只不过这根绳索的头与尾必须拼接在一起。也就是说，数学上的纽结是在一条闭合的、没有自由活动绳端的曲线之上。说来奇怪，创建纽结理论的主要起因是19世纪发展起来的一种错误的原子结构模型。这个模型在提出20年后就被证明是错误的了，但是纽结理论作为一门相对难以理解的理论数学分支，却在不断发展演化。出人意料的是，数学家在纽结理论领域所做的那些抽象的探索，突然间在现代科学研究中有了十分广泛的应用。其应用范围涵盖DNA分子结构、弦论，等等（弦论试图将亚原子世界和重力世界统一起来）。我们将在第8章详细讨论这个不同寻常的故事，因为这段循环的历史也许是一个最好的例证，它充分说明了数学各分支是如何在人类试图解释物理现象的过程中产生的，以及随后如何进入数学的抽象王国，并在其中发展，最终又如何出人意料地回到了起点。

发现还是发明

到目前为止，所有这些简短的叙述都充分证明，我们所处的世界受数学支配，至少其认识分析过程深受数学影响。正如本书将要提出的，大多数（也许是全部）人类活动似乎都源自于数学，对此，人类自己甚至根本都没有意识到。让我们再用一个金融领域的例子来证明——布莱克-斯科尔斯期权定价模型。布莱克-斯科尔斯期权定价模型为其发现者赢得了诺贝尔经济学奖。该模型中的关键平衡等式能帮助我们理解如何确定股票期权价格（期权是一种金融工具，投资者以此共同商定未来某个特定日期股票的价格，并以此价格买入或卖出股票）。令人难以置信的是，该模型的核心问题，布朗运动已经被物理学家研究了几十年了。布朗运动描述了微粒的不规则、无休止的运动状态，它可以通过水中悬浮的花粉粒子和空气中烟尘粒子的运动观察到。同样的方程式也可以在星团里无数个星体运动中观察到。这是不是有点像《爱丽丝梦游仙境》中所说的“神奇啊，太神奇了”？不管宇宙如何运行，毕竟商业和经济显然是人类思维所主导创造的世界。

让我们再来看一个在电路板制造和计算机设计中常见的问题。这些领域里，都可能要利用激光在平板上钻出数以万计的小孔。为了节约成本，设计人员不希望钻孔行为是一种随机行为，就像“随意游客”。他们希望在钻孔前找出最短的“路径”，每个孔都将被“光顾”到，且只“光顾”一次。其实，从上个世纪20年代起，数学家们就开始研究这个“旅行商问题”了。简单地说，所谓“旅行商问题”，就是假设有一位商人，或者是一位参加竞选的参选人，想要以一种最经济的方式访问给定数量的所有城市，其中任意两座城市之间旅行的花费是已知的。他的问题就是找出一条能将所有城市都访问完、并且最后要回到原始出发点的、最便宜的那条路线。1954年，美国人给出了49个城市的“旅行商问题”解决方案，2004年瑞典人给出了24978个城市的解决方案。今天，电子工业、物流公司发送包裹，甚至日本弹珠盘游戏机（与弹珠类似，需要击打数千次手指）制造都可以最终简化为这个数学问题，并且其效率提高都依赖于这个问题的答案。

数学还进入了一些传统上与之联系并不十分紧密的学科领域。例如，有本期刊叫《数理社会学杂志》（2006年出版了第30卷）。其所谓的数理社会学，是通过数学工具来研究和分析复杂的社会结构、组织和非正式群体。该杂志所发表的文章主题涵盖很广，包括预测公众观点的数学模型、预测社会群体中某些交互行为的数学模型，等等。

让我们换个方向，把目光从数学转向人文学科，来看看计算语言学。这门学科起初只涉及计算机科学家，但今天它已经发展为一门跨学科的研究领域，它把语言学家、认知心理学家、逻辑学家以及人工智能专家集中在一起，共同研究自然进化语言的复杂性。

这难道是捉弄我们的恶作剧吗？人类所有试图领会和理解世界奥秘的努力，最终却带领我们发现了越来越精细复杂的数学领域，而这些领域正是宇宙，甚至人类所有行为的基础。难道数学就是教育工作者所谓的秘籍吗？（为了防止“教会徒弟，饿死师傅”，老师通常会把书上的知识藏起来一部分不教给学生，这样老师就总显得比学生高明。）或者，借用圣经上的一个隐喻：数学是智慧之树结出的最终果实吗？

正如我在本章开始部分所介绍的，数学无理由的有效性产生了许多有趣的问题：数学是一种完全独立于人类思维的存在吗？换句话说，就像天文学家们发现先前未被人类所观察到的星系那样，我们是否只是发现了本已存在的数学真理？若不是，难道数学只是人类的发明？如果数学真实存在于某个抽象的世界中，那么这个神秘的世界与物理现实世界之间是什么关系呢？只拥有有限知识的人类如何才能超越时空限制进入这个永恒不变的神秘殿堂？另一方面，假如数学仅仅是人类的发明，并且只存在于人类意识中，那么我们又如何解释，发明出来的这么多数学真理怎么会如神迹般地准确预言了几十年后，甚至几百年之后才出现的宇宙和人类生活中的某些问题呢？这些问题并不像表面上看到的那么简单。正如我在书中反复讲到的，即使在今天，数学家、认知学家、哲学家们对此还存在分歧。1989年，法国数学家阿兰·孔涅（Alain Connes，他赢得了数学界最有名望的两项荣誉：1982年的菲尔兹将和2001年的克拉夫奖）曾很清晰地表达了他的观点：

根据我的观察，质数（仅能被1和自己整除的数）组成的世界，远比我们周围的物质世界稳定。数学家的工作可以与探险家发现世界相媲美。他们都是从经历中发现基本事实。举例来说，通过简单的计算，我们发现质数的序列似乎永无穷尽。那么，数学家的任务就是证明存在无穷多的质数，当然这是欧几里得提出的一个古老结论。这个论证中最有趣的一个推论就是，如果某一天有人宣称他发现了最大的质数，很容易就能证明他是错误的对任何其他论证来说同样如此。由此可见，我们面对的数学如物理现实一样无可争议。

著名的多产数学科普作家马丁·加德纳支持“数学是一种发现”的观点。对他来说，无论人类认识与否，数字及数学都是独立于人类认知存在的，这一点毫无疑问。他曾风趣地评论：“如果森林中有两只恐龙与另外两只恐龙相遇，不管周围是否有人类在观察，那儿都会有4只恐龙。但是愚蠢的熊却不会知道。”正如孔涅强调的，“数学是一种发现”的观点（这也是柏拉图的看法）的支持者认为，一旦人们理解了某个数学概念，如自然数1,2,3,4,……，那么就会面临一些无可争议的事实，如32+42=52，这与人们如何看待它们之间的联系无关。这至少给我们留下一种印象，我们接触的是已经存在的真实世界。

当然，不是所有人都这么认为。在为孔涅的一本书（在该书中，孔涅表达了他的上述观点）撰写评论文章时，英国数学家迈克尔·阿蒂亚爵士（他在1966年获得了菲尔兹奖，2004年获得阿贝尔奖）写道：

每一位数学家都会支持孔涅。我们都感到整数、圆在某种抽象意义上是真实存在的，并且柏拉图的观点（我在本书第2章会详细讨论）十分有吸引力。但是我们真的能支持它吗？假如宇宙是一维空间的话，或者甚至是离散的，很难想象几何学在这个一维空间中如何孕育发展的。对人类来说，我们对整数似乎更在行，并且计数是真正原始的概念。但是想象一下，如果文明不是出现在人类中，而是出现在太平洋深处，出现在独居并与世隔绝的水母中，情况又会如何？水母不会有个体的体验，只会感觉到周围的水。运动、温度和压力将给它提供基本感知经验。在这样的环境中不会出现离散的概念，也不需要计数。

由于阿蒂亚确信：“通过理想化和抽象物理世界中的那些基本要素，人类创造了数学。”语言学家乔治·莱考夫（George Lakoff）和物理学家拉斐尔·努涅斯也持同样的观点。在他们合著的《数学从哪里来》（Where Mathematics Comes From）一书中，他们总结道：“数学是人类天性的一部分，它源于我们的身体、大脑以及我们在这个世界中每天的经历。”

阿蒂亚、莱考夫和努涅斯的观点又引出了另一个有趣的问题：如果数学完全是人类发明的话，它真的具有普遍性吗？想象一下，如果外星文明真的存在的话，它们是否也会发明出与我们相同的数学呢？卡尔·萨根（Carl Sagan，1934-1996）过去认为答案是肯定的。在他的《宇宙》（Cosmos）一书中，当探讨智能文明会将哪种讯息传播到外空间时，他提出：“任何自然的物理进程都不可能在传播无线信息时只包括质数。假设接收到这样的信息，我们就能推断出那里存在至少喜欢质数的文明。”但这如何确定呢？在新书《一门新科学》（A New Kind of Science）中，数学物理学家史蒂芬·沃尔夫拉姆（Stephen Wolfram）认为这种称为“人类的数学”的智慧，也许仅代表从数学之树上开放的、众多不同的“花朵”中的一朵。例如，如果不使用基于数学公式的法则来描述自然的话，人类也可以使用其他不同类型的法则（比如，在简单的计算程序中所体现的法则）。另外，一些宇宙学家们最近已经开始讨论我们身处的宇宙可能是多元宇宙（众多宇宙的集合体）的一个组成部分。如果这种多元宇宙真实存在的话，其他宇宙空间中所发展出的数学与我们的数学一致吗？

有一些分子生物学家和认知学家基于大脑功能的研究提出了另外一种观点，数学同语言区别不大。换句话说，基于这种“认知”，人类在注意自己的双手、双眼、两胸无数世代后，数字“2”的抽象定义慢慢形成。同样，“鸟”这个字的概念也是这样形成的——人们逐渐认识到这个字代表有两只翅膀、并且能够飞起来的动物。正如法国神经系统学家让皮埃尔·尚热（Jean-Pierre Changeux）所说的：“对我而言，公理法（例如欧几里得几何学就是建立在几条公理之上的）就是与使用大脑相关联的理性能力的表现。”但是，如果数学算另外一种语言的话，我们又如何解释孩子们在学习语言时会相对比较轻松，但其中相当一部分在学习数学时却倍感吃力呢？苏格兰天才儿童马乔里·弗莱明（Marjory Fleming，1803-1811）就用一种极为无奈的语气描述了她在面对数学时的那种痛苦。弗莱明不到9岁就夭折了，在她的日记中留下9000多字的散文和500多行的诗歌。在一篇日记中她曾抱怨道：“我要告诉你的是乘法表带给了我无尽痛苦和烦恼，你可能难以想象。最难对付的就是8乘8和7乘7，这真是让人无法忍受。”

这个问题很难回答。如果考虑其他一些因素的话，它可能就会转变成另一个问题：与其他表现人类思维的方式（如美术和音乐）相比，数学和它们有什么本质不同？如果没有什么本质不同的话，那么，为什么数学会表现出一种不可思议的逻辑性和自相一致性，而这些特征是其他任何一种人类创造都不具备的？以欧几里得几何学为例，虽然它是在公元前300年创立的，但直到目前，它依然是正确的（当然要看它的应用领域），它表达的某些“真理”现在仍然被遵守。相比之下，今天我们既无法强迫现代人喜欢古希腊人所听的音乐，也无法再继续坚持亚里士多德幼稚的宇宙模型。

一方面，在科学研究的各领域中，很少会出现继续沿用300年前的思想和概念的情形；另一方面，最新的数学研究可能会参考去年甚至上周才发表的数学定理，但是也有可能引用公元前250年阿基米德所证明的球表面积公式。19世纪的原子结构模型的理论仅仅存在了20年就被抛弃了，那是因为有新的发现证明该理论基本原理有错误，这也是大多数科学研究发展的一般过程。因为站在了巨人的肩膀上，所以才能看得更远，所以牛顿对那些巨人不吝溢美之词（也许没有，参见第4章）。但同时，牛顿也许还应该向那些巨人们道歉，因为他的工作使很多他脚下巨人的理论过时了。

但这不是数学理论发展的路线图，尽管用来证明某些结论的形式已经改变了，但是数学结论本身却始终没有什么差别。事实上，正如数学家及作家伊恩·斯图尔特（Ian Stewart）曾经指出的：“在数学领域里，谬误一词表示先前以为是正确的、而后来却发现有错误并被纠正的结论。”并且它们之所以被证明是谬误的结论，也不是因为在其他学科领域有了新的发现，而是通过更仔细、更严格地参考那些同样古老的数学真理才被证实的。难道数学真的是上帝的语言吗？

如果你认为对数学究竟是一种“发现”或是一种“发明”的理解无关紧要，请想想这两个词之间的差异在下面这个问题里的深长意味：“上帝是一种发现还是一种发明？”或者另一个更刺激的问题：“上帝是按自己的模样创造了人，还是人类以自己的形象创造了上帝？”

在本书中我将和大家一直探寻这些以及其他问题的答案。我们将回顾那些历史上和当今最伟大的数学家、物理学家、哲学家、认知学家和语言学家们在各自领域所作出的卓越贡献，以及在其研究过程中体现出的远见卓识。书中还要回顾一些近代思想家们的观点、警言和他们对这些问题所持有的保留意见。让我们先以早期哲学家们的某些开创性观点为起点，开始这段激动人心的旅程吧。