数学玩的就是抽象，数形结合有害于抽象思维的培养-例1

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数学的最大特点之一就是抽象，而且近现代发展起来的数学越来越抽象，这也是其越来越艰深的重要原因之一。而近现代数学是现代科学技术尤其是基础学科的基础理论以及高精尖技术的技术原理的基础，所以，学好数学尤其是近现代数学不仅是进行数学研究也是进行科学和技术研究的基础与关键。

而要学好数学尤其是近现代数学，高超的抽象思维能力是必须的，这就需要我们在学习数学的过程中逐渐有意识的培养。小学数学作为一个启蒙阶段的数学，其对抽象思维的培养具有奠基性和先导性作用，不可不慎、不可不察也。

但在现实的教学中，尤其是习题的教学中，我们却大肆滥用所谓的“‘数形结合’思维”，这会诱导学生下意识的倚赖于形象思维去解决问题，从而忽视了抽象思维的运用，久习之下，学生的抽象思维就会萎缩、退化，这对于以后的数学学习是极为不利的，甚至是极为有害的。

当然，“数形结合”不是不可以用，但不能滥用，滥用到“遇到问题想都不想就下意识地直接祭出‘数形结合’的大招”的地步。我们还是要尽量引导学生们运用抽象思维去思考问题，找到解题思路，除非是问题的情境过于复杂——复杂并不必然导致难——以至于必须借助作图来理清细节。

“数学玩的就是抽象，数形结合有害于抽象思维的培养”这个单元，就是要为在习题的教学中引导孩子们尽量运用抽象思维做出示范。

所述之“抽象思维”包括三个层面：

第一，与“数形结合”这一形象思维相对的抽象思维方式，是仅在脑子里进行的思维活动；

第二，将问题进行抽象使其等价于问题二进而等价于问题三进而……，直到能直接列出算式为止，或者说，不断转换问题的表述，最终根据某一表述就可直接列出算式（问题的表述方式也是科学家的拿手本领之一，其本质也就是“问问题的方式或者说角度”，一个好的问题或者一个问题的好的问法，对科学研究是至为关键的。这点拟将另辟一单元来举例说明）；

第三，从实际问题中抽象出数学，或者说将实际问题的陈述转换为数学表述（用数学语言所作的表达，其完善形式是数学模型即算式或等式）。

取法乎上，仅得其中。

——易经

例题1

小亮和他爸爸、妈妈今年的年龄分别是6岁、35岁和31岁。多少年后爸爸、妈妈的年龄之和是小亮年龄的5倍。

一、不再赘述的其中关键

为便于后文的表述，先将这道题的几个常规的关键点列在这里：

1、先求出爸爸、妈妈的年龄之和是小亮年龄的5倍时小亮的年龄，然后根据此时小亮的年龄即可算出小亮从6岁长到此时的年龄经过了多少年即题设所求之“多少年后”；

2、年龄差的“变与不变”，爸爸、妈妈二人各自相对小亮的年龄差是不变的，但是二者的年龄和与小亮的年龄差是有变化的（多出了一个各自增长的年龄，这也是本题与一般的仅限于两人且其年龄差不变的题目有所不同且稍微复杂一点的地方）。

不再赘述。

二、运用抽象思维思考并仅仅在脑子里想并想出解题思路

本题所用之抽象思维侧重于第一层次（见“按”语中所述）。

以下是具体的思考过程。

1、“多少年后爸爸、妈妈的年龄之和是小亮年龄的5倍”呢？

2、“多少年后”小亮与、爸爸、妈妈各自的年龄都增长了“多少年”，如果能求得“多少年后”小亮的年龄，那用这个年龄减去从小亮6岁时开始算的年龄就算得了这个“多少年（后）”。那问题就转换为求“（多少年后）爸爸、妈妈的年龄之和是小亮年龄的5倍”之时小亮的年龄的是多少。

3、“（多少年后）爸爸、妈妈的年龄之和是小亮年龄的5倍”，根据这句话是列不出算式的，因为“爸爸、妈妈的年龄之和”与“小亮的年龄”均是未知的/待定的。

4、将这句话根据其内涵的意思转换一下，也就是换句话说将其表述为：（多少年后）“‘爸爸、妈妈的年龄之和’与‘小亮的年龄’之差”是“小亮的年龄”的4倍（若甲数是乙数的5倍，则甲数与乙数之差是乙数的4倍：甲=5乙，甲-乙=5乙-乙=4乙）。那么根据这个表述能列出算式吗？仍然不能，因为“（多少年后）爸爸、妈妈的年龄之和与小亮的年龄之差”与“（多少年后）小亮的年龄”也均是未知的/待定的。

5、那什么是确定的呢？只有爸爸、妈妈各自的年龄与小亮的年龄之差是确定的即“35-6=29”与“31-6=25”，则其和也不变即“29+25=54”。但这似乎没什么用啊。看来还得从第4步中的“不确定”中寻找“确定”（从“变”中发现其“不变”）。

6、“多少年后”，爸爸、妈妈的年龄之和与小亮的年龄之差是“‘35+31-6=60’再加上1倍的/个‘多少年’”（爸爸妈妈的年龄之和增长了2倍的/个“多少年”——爸爸、妈妈各自增长了1倍的/个“多少年”，而小亮的年龄增长了1倍的/个“多少年”，其间相差了1倍的/个“多少年”），而此时小亮的年龄为“6再加上1倍的/个‘多少年’”。

7、与第3到第4步同理（若甲数与乙数之差是乙数的4倍，则甲数与与乙数之差与乙数之差是乙数的3倍：甲-乙=4乙，甲-乙-乙=4乙-乙=3乙），再转换一下将其表述为：（多少年后）“‘爸爸、妈妈的年龄之和’与‘小亮的年龄’之差”与“小亮的年龄”之差是“小亮的年龄”的3倍。“‘爸爸、妈妈的年龄之和’与‘小亮的年龄’之差”与“小亮的年龄”之差是“60-6=54”（“与”的前后二者中均有的“1倍的/个‘多少年’”在二者相减中被消去了），此“差（值）”即“54”即为“小亮的年龄”的3倍。

8、根据“‘54’为‘小亮的年龄’的3倍”这句话/这一表述，即可列出算式算出“（多少年后）小亮的年龄”：54÷3=18。

9、所求之“多少年（后）”即为：18-6=12（年）。

10、验算：12年后，原来6岁的小亮长大为18岁，原来35岁、31岁的爸爸、妈妈长到47岁、43岁，47+43=90，90÷18=5。得证。

以上表述中有不少用“多重定语”描述的对象，以下引入代数做一下整个思路的解释：

设N年后满足题设之情景，

即[（35+N）+（31+N）]÷（6+N）=5

则[（35+N）+（31+N）-（6+N）]÷（6+N）=4

则{[（35+N）+（31+N）-（6+N）]-（6+N）}÷（6+N）=3

则54÷（6+N）=3

则（6+N）=54÷3=18

则N=18-6=12

其中反复用到的一个“公式”是：

若A÷B=M，则（A-B）÷B=M-1

如8÷2=4，则（8-2）÷2=4-1，即6÷2=3，继而（6-2）÷2=3-1

这个“公式”其实是除法之本质的自然推论：

A÷B=M的意思可以理解为将A个东西按每份B个恰好能分为M份（当然，其理解有多种，道理则殊途同归），则A-B相当于从A个东西即M份B个中拿走了一份B个，则A-B中还余下M-1份B个，即A-B是B的M-1倍。

用孩子能听懂的话说，可以表述为：

甲数是乙数的几倍，则甲数与乙数之差是乙数的几减一倍，如20是4的5倍，则20与4的差即16是4的5-1即4倍。

三、澄清说明

第一，这是我的真实思考过程，绝非事后诸葛亮：

虽然其中难免也会受到诸如“（8-◯）/（12+◯）=1/3”这样的题的数形结合解法的干扰（没办法，谁叫我之前经验过了呢），但我还是努力排除其影响，真正地以算术思维（我认为“数形结合”其实是代数思维，假装其为算术思维是“掩耳盗铃”）来思考；

在终于发现（你见或者不见，她就在那里，笑引有缘）“若A÷B=M，则（A-B）÷B=M-1”这一基于除法本质的推论后，随即以此推论攻破了本题难关，并进而洞悉了解题思路。

第二，已然解题之后再去思考的发现：

其实确定不变的那个“爸爸、妈妈各自的年龄与小亮的年龄之差的和即‘（35-6）+（31-6）=29+25=54’”其实就是破解这道题的关键，因为这就已经得到了一个确定的数值了，余下的问题就是思考如何将这一确定的数值与所求之对象关联起来，那可能也会自然想到，这个“54”还可以通过其它什么方式得到，而且这个方式必须是与所求对象相关的，如此，则会想到这一方式，即“{[（35+N）+（31+N）-（6+N）]-（6+N）}÷（6+N）=3”；

这是一种“构造”性的思路，先根据目标【这里是“54”】构造一个算式【这里是“{[（35+N）+（31+N）-（6+N）]-（6+N）}”】，然后再去赋予这个算式以意义或者说是解释【这里是“÷（6+N）=3”】，最终与解题思路契合；

这种“构造”的思维（意识及能力）也是很多科学家的拿手好戏，需要多在习题的思考中去实践和体会。

四、建议

所谓“取法乎上，得乎其中”是也。

第一，即使无法引导孩子再现上述运用抽象思维的思考过程，那就算直接教授这一思考过程也比教授“数形结合”解法要好，因为毕竟是在引导孩子进行抽象思维并使其得到一定的锻炼。

第二，初练时，可尝试将运用抽象思维进行思考的过程详细记录下来——如上文所述之我的思考过程之实录，这既方便于随时对照检查和最后查验思考过程中的错误和偏差，还其实是一种“真正的思考”——“思考自己的思考”也即“对自己的思考再进行思考”（我们在学习思考的过程中，很少有机会——也没人告诉我们要这么做——去对自己的思考再做一番思考。“思考思考”值得另辟单元去阐释和示范。）。

（黑格尔为阐释“精神”打了一个比方，说手电筒可以发出光芒照见一切它所照的对象但唯独不能照见手电筒自己，精神就是不但要照见外物还要能照见自己，就像要将手电筒的光芒倒转过来对准自己一样——这在物理世界是不可能的但在精神世界却是必须的。）

（黑格尔在其《历史哲学讲演录》中说：“精神”的这种依靠自己的存在，就是自我意识——意识到自己的存在。意识中有两件事必须分别清楚：第一，我知道；第二，我知道什么。在自我意识里，这两者混合为一；因为“精神”知道它自己。它是自己的本性的判断，同时它又是一种自己回到自己、自己实现自己、自己造成自己、在本身潜伏的东西的一种活动。）

— 完 —

附：“‘数形结合’解法”及其批判

该题的“‘数形结合’解法”如下：

这位老师似乎还算比较厚道，常规视角看，他的习题讲解也相当精到

对其批判性分析如下：

1、这种“数形结合”思维（这是思维吗？可能更近于工具、技巧吧）其实已经不自觉地运用了代数思维，或者说，以代数思维为基础才能构造出这一“数形结合”的工具、技巧。具体说就是，将多少年后小亮的年龄用一节线段表示即相当于设代数X，然后将爸爸、妈妈的年龄用该节线段与具体数值联合表示相当于用代数X与具体数值进行运算的代数式表示爸爸、妈妈的年龄，其后的线段之间的比较及运算相当于解方程中的移项和合并同类项得到代数X与一具体数值之间的关系并求得X。

2、线段图的这种画法其实是以对解题思路尤其是其中的关节处的了然于胸为前提的。如果事先不知解题思路尤其是其中的关节处，去画线段图时极有可能不会是如此形式，而是在一番番试错之后逐渐醒悟到应该如此画才能清晰地呈现出解题思路以及其中的关节处。这个试错的过程需要孩子们的心理预期、细致耐心和坚韧不拔，但我们一般都不告诉孩子这些，而是直接就上最终的、正确的图解形式，这导致大多数孩子往往连第一步都迈不出去（针对这一点，我曾有一个建议——如果非要教数形结合的话，参见“导论：教者应当认识到对其所教的内容该比学生更没有把握”的“首先-第二”条目下的以小字呈现的“举例说明”）。【原文参见：数学玩的就是抽象，数形结合有害于抽象思维的培养-例1丨小学数学“教-学”探索・题海拾贝篇：以求学问之心讲有学问之题论讲题之学问】