计数单位，一个胡编乱造出来的多余且荒谬的伪概念？兼谈数位与数级两个概念

【请教：想问下上世纪八九十年代上小学的朋友们，当时的数学中有”计数单位“这个么东西吗？】

导读

“数”有单位吗？没有！“量”才有单位。

汉字数字一、十、百、千、万、亿是单位吗？不是单位，而是表示数的数字和用该数字表示的对应的数（各个数字既可以单独表示对应的数又可以与其它数字组合表示其它/更多的数）。

类似100万这样的对1000000或者说一百万这个数的表述/书写方式，只是实际使用/书写过程中的一种约定俗成的便宜行事的简略写法而已，而并非因为数学中还真有什么“计数单位”这样的基本概念因而在数学上可以将1000000这样的数写成100万或1000千（所谓1000k）。类似的，英语中的one、ten、hundred、thousand、million、billion、trillion难道是计数单位吗？并非如此，它们也是表示数的数字或者说为了读其它符号（阿拉伯数字记数系统传入欧洲后欧洲就采用阿拉伯数字记数系统了）书写的数而发明的读法（对应的是数的读法中的数级），而10 billion这样的表述/书写方式，billion也并非单位，而只是一种因利乘便的简略书写方式而已。

我不知“计数单位”这个名词是数学中原本就有的基本概念，还是在实际教学中不知从何时起方才编造出来的一个“说法”。我只知道——经过了一番研究后才知道——“计数单位”直到2022年版新课标才被增加进入课标，也就是说，即使早前已经将“计数单位”作为基本概念编入教材，但课标中却没有。

此一事实，不是足堪玩味吗？

引言

直到在孩子的作业中发现有关于计数单位的习题，我才第一次知道还有“计数单位”这么个概念，敢情我当年上的是假小学？

习题

3703408的最高位是    百万位   ，最高位上的计数单位是   百万  。

以下是所谓的相关知识点：

计数单位：一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿。

数位：计数单位所占的位置。例：个位、十位、百位、千位，万位、十万位…… 

口决：有“位”是数位，没“位”是单位。

我的第一感觉是这可能又是教学过程中为了所谓的便于理解而引入/发明——其实是生造甚至是胡编乱造——的中介性的“说法”。但转念深入一想，似乎也不对啊，都出现了这样的习题，说明它已经不是一个辅助性的中介性的说法了，而是一个正经的数学基本概念了。查阅了教材发现，“计数单位”真的就进入教材了，而且是作为基本概念来表述的。

人教版教材（四上）

于是，我有点惴惴不安，同时也惭愧于自己的见识浅陋。

但是，我还是感觉“计数单位”这个所谓的“概念”不对劲，与我的直觉格格不入。

想起眉山剑客陈平老师的教导，“当你发现你的直觉和既有理论/认知相矛盾时，相信你的直觉，大不了实在错了再改，这样才能做出突破和创新。”

是故，我对此做了点小研究，研究结果一定程度上印证了我的直觉认知。

一、计数单位与数位究竟有何区别

教材中的表述：

一（个）、十、百、千、万……亿都是计数单位。

在用数字表示数的时候，这些计数单位要按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。

做一做：

读出下面各数，然后把它们改写成用“万”做单位的数。

那么所谓的计数单位与数位的区别就文字表述表面看，无非两点：

1、计数单位如十、百、千、万、亿后面不加一个“位”字；

2、打头的“一（个）”与“个（位）”之别。

那么问题来了：

1、书面上的严格区分——体现于还要将此作为知识点来出习题甚至考题——与实际读数习惯上有冲突。

我们都知道或者说习惯于，读一个数的时候，我们先要按从右至左的顺序去识别最高数位（挨次点遍各个数位，或者在学了数级后便捷识别），在识别/点读的时候，没有哪个傻瓜会带着一个“位”字——如个位、十位、百位、千位、万位、十万位、百万位、千万位、亿位——去点识的，而只会不带“位”这个字去点识如个、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿，但我们都清楚地知道我们点识的就是数位，同时也是我们将这个数读出来时将要用到的计数单位——姑且用一下计数单位这个说法。

稍微做一点概念区分也未尝不可，学生会读数了就行。非要将其作为一个知识点来考察，就有点过分了，反而让孩子们觉得无所适从，给弄晕了。

2、打头的计数单位的“一（个）”与数位的“个位”各自的“个”如何区别。

计数单位的“一（个）”这个表述究竟啥意思，“一”的后面跟着个“（个）”究竟是要表达啥意思？计数单位的这个“（个）”与数位的“个位”中的“个”有区别吗？如果有区别，又各自表达啥意思呢？

教材没有解释，我查阅了好多资料包括很多网上的好多老师发的教案，都对此讳莫如深。

我猜，计数单位的“一（个）”里的“个”是为了注释前面的“一”的，意思是“个位”上的不满“十”（注意，我这里没用“10”）的数（这里用“数”还是“数字”呢，又是个问题）。但是对计数单位的解释竟然用到了“数位”的概念，又有不妥，因为按教材的表述，计数单位的概念在先而数位的概念在后——教材表述“计数单位按一定顺序排列起来，其所占位置叫数位”。

那如果计数单位的“一（个）”中的“个”与“数位”中的“个（位）”没啥关系，那就只能算是一个普通的表示具体事物的量的量词咯。然而，这就更不靠谱了，一个表示抽象概念“数”的基本概念居然跟一个具体事物的量词给拉郎配到一起了，太别扭了，也太荒唐了。

如此看来，确实是不可说、不能说，因为说不清嘛。

那么，在老师也讲不明白（本质）的情况下，孩子们遇到关于计数单位和数位的题目，其结果必然是，被整懵了，严重一点的，就会觉得数学不友好，动不动就“设计陷害ta”。

当然，背背口诀，吃过几次亏，题目或许都能做对，但是孩子们学到了啥呢？一个鸡肋般的甚至是有害无益的“知识点”。

课标中的解释/表述也大有问题。

课标修订小组组长的PPT截图

先看这句：“数是对数量的抽象。”

数量是啥？用数结合物理的量的计量单位来表示的物理的量的多少。数量这个概念是以数的概念为基础的，也就是说先得有数，然后我们才能用数量去描述事物。

所以，说“数是对数量的抽象”是一句逻辑不通——即使在文理上也不通——的谬论。

再看这句：“增加计数单位的概念：个数和顺序的计量单位。”

“个数和顺序的计量单位”是个什么鬼表述？“‘个数’的计量单位是计数单位”？“顺序”还有计量单位——其计量单位还是什么计数单位？——吗？

这都什么跟什么嘛？！

善意的去猜或者说帮他完善一下“个数”的表述如下：

计数单位是某数位上的数字几所真实表示的几个以该数位为计量单位的几个计量单位中的计量单位。

我去~~~费劲！话怎么说都不通，说明过于反常。

反常即有妖！

以下是捉妖记。

二、“计数单位”的概念是荒谬的、进入教材是误人子弟的

1、“数”是没有单位的

“数”是什么？“数”是表示事物多少这一属性的抽象概念。

“单位”是什么？“单位”是表示事物的量的基本单元，这个基本单元对应着我们为度量事物的量而规定的量词。

将表示事物多少的“数”与表示事物的量结合起来，我们就可以表示事物的“数量”了。

比如说，一片树林中的树木的量，如果以棵为基本单元即度量的量词，我们就先以一整棵树为1进行数数，数出来的数，加上量词棵，比如100棵，就表示这片树林中树木的以棵为基本单元计量的数量是100棵。如果一个大的区域有好多片树林，我们计量这个区域的树林的多少，我们以片为基本单元计量即以片为计量单位，我们熟熟，比如数出来是18，我们就说这个区域有18片树林，其中，18是数，片是量且是该量的单位。

那么，“数”有单位吗？没有的！

2、“计数”抑或“记数”？将“记数”混淆为“计数”是一个本质性的错误

将一个数表示出来叫“记数”。

“记数”的方法——某种数字以及以这种数字按一定的规则进行组合以表示事物多少（后来从中抽象出“数”的概念）的方法——即“记数法”。世界上各个民族的初民们发明了各种各样的记数法，当前世界通用、我们学的这种记数法是以阿拉伯数字（1、2、3……9，其实是古印度数字，甚至有可能是古中国用过的数字或者可能是古印度在古中国某种数字上经过改进而来的数字）按一定规则（“十进制”和“数位制/位值制”）进行组合表示数的方法。

对多少用数这个概念去描述并计量——对应着各种计（量）数的方法即计数法（比如，生物学中的平板菌落计数法）——叫“计数”也即计算（量）数量。

计数总是对应着具体事物的量，撇开量而单独提计数是没有意义的。

教材中学习“大数”的这一部分内容，本质上应该是大数的表示方法——数的书写法和数的读法，也即“记数法”。

故而说，将“记数”混淆为“计数”是一个本质性的错误。

所以，“计数单位”的概念是荒谬的，进入教材是在教错误的数学或者说错误地教数学，是误人子弟的。

三、“计数单位”谬误是如何产生的呢？

“计数单位”这个荒谬的概念究竟是如何产生的呢？以下我作些猜想。

既然是猜想，那就不是演绎推导出来的结论，而只是在有限事实/现象基础上“（本质）直观”（胡塞尔意义上的）到的“本质”。那就直接先端出我的猜想，然后对其作一番解释说明。

我的猜想是：

“计数单位”这个称谓/名词是【（企图兼顾阿拉伯数字记数法与中国汉字数字记数法）并/或（囿于且惑于现代惯常性地出于因利乘便的缘故而将阿拉伯数字与汉字数字非法组合）来书写数的方式而生造出来的（一个四不像的且因此不能达到预期的二者兼顾之目的）的】伪概念。（抱歉，这句话比较长——有点康德内味，“【】”与“（）”是为了提示断句/便于理解而加的记号）

以下对其作些解释说明。

（1）企图兼顾到阿拉伯数字及其记数法与中国汉字数字及其记数法的知识但对两套记数法的本质及其不和调和处认知不足从而生造了一个“计数单位”的概念以期给其一个圆满自洽的解释

阿拉伯数字及其记数法

阿拉伯数字：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9

记数法核心：数位制/位值制，十进位制

数位制/位值制的意思即将数字放在不同的位置从而表示相应的数，从而将数字所在的位置叫数位，以将数字置于不同数位以表示数的记数规则就叫数位制/位值制。

比如35这个数，由于3在十位这个数位上故其实际表示/对应的数是30、5在个位这个数位上故其实际对应的数就是5，用我们的母语汉语来读这个数就是“三十五”，用英语来读这个数就是“thirty five”。至于发明这套数字及其记数法的古印度人/阿拉伯人是如何用他们的母语来读这个数的我就不知道了，但肯定也是类似于汉语和英语这个读法。我要说的其实是，阿拉伯数字及其记数法表示的数，其书写方法与读法是分离的/不一致的。

汉字数字及其记数法

汉字数字：一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万、亿

记数法：半数位制/半位值制，十进位制

比如“九千八百七十六”这个数，千、百、十是指明数位以界定其前面那个数字实际表示/对应的数（如“千”前面“九”的写法，“千”是用来指明“九”是9000——不得已借用阿拉伯记数系统示意一下——的，没有这个“千”那“九”就不能确定其表示/对应的数了，由于数位是要靠写出“千、百、十”这些指明数位的数字，故而说其是“半数位制”——不完全/不彻底的数位制）——故而其绝不是所谓的“计数单位”，用我们的母语汉语读这个数就是“九千八百七十六”，我们发现，汉字数字及其记数法表示的数，其书写方法与读法是一致的。

现代英语中用的是阿拉伯数字记数系统，其对数的读法也依赖于其母语英语中原本有的表示数的数字如one、two、three、four、five、six、seven、eight、nine、ten、eleven……hundred、thousand、million、billion、trillion等等。但，其一，由于英语是拼音/注音文字，所以这些单词可能并非数字而只是为了读数而发明出来的为不同的数进行注音的单词；其二，诸如hundred、thousand、million、billion、trillion这些数字——姑且认为是数字——也并非所谓的计数单位或者说被当作计数单位来用。

善意地揣测，课标制定者以及教材编写者可能怀着将两种记数系统的知识都兼顾到并且将汉语语境中实际应用中的数的表示法（写法和读法）吸纳到教材中的良好愿望，但两种记数系统之间又有龃龉处需要调和——一个圆满自洽的解释，从而慌不择路地或者未经深思地生造出了一个“计数单位”的伪概念。

（2）囿于且惑于现代惯常性地出于因利乘便的缘故而将阿拉伯数字与汉字数字非法组合的“混合记数法”并自以为得计地生造出“计数单位”的伪概念且以为可以将这种非法组合合法化

在现代汉语语境的用法下，如600000这个的数确实惯常性地被写成60万这样的形式。

但根据上文（1）中的分析，我们可以知道/判断：

将600000或六十万这个数，将两种记数法结合来写成60万是非法的，因为这根本是两套数字的记数系统。即使是“对读法的书写”（注意这个表述）也得写成全汉字数字即“六十万”才是合法的。

那60万的实际用法又是因何缘故而被发明并被广为接受的呢？我的猜想就四个字：因利乘便。激发这个念想的可能是“六十万”这样的汉语对数的读法。

既然诸如60万这种表示法是非法组合，那如何给其一个解释以使得这种组合在一般看来是合法的呢？就是生造“计数单位”这个伪概念了，将60万中的“万”解释为“计数单位”。殊不知，数是没有单位的（详见前文第二节）。引入所谓的“计数单位”，反而将本来用“数位制”这个概念就能澄清并明晰表达对于大数的记数（书写方法和读法）的知识给搅和得混乱不堪了。

所以，“计数单位”是一个蹩脚的、捣乱的、荒谬的伪概念。

四、数位与数级的区别与联系

数位指的是记数法（侧重于书面地表示即书写一个数的方法）中的一个记数规则。

数级指的是读数法中的一个读数规则。

数位侧重于书写/文字，数级侧重于口读/语言。

数位是记数法中规定的不变的规则，数级是虽有约定俗成的规则可从但又并非一定之规而是可因利乘便而变的。数级要借用数位来界定。比如我们在母语汉语环境下常用的四个数位一个数级的万级、亿级，亿级以上的数级——如果还说或者还用数级来界定的话——就没有什么一定之规了，比如万亿，如果按四个数位一个数级的话那万亿就该换名了——这意味着汉字数字中要增加或者说再发明一个表示万亿这个数的独立的数字（诸如“兆”、“京”之类的），而描述超级计算机运算速度每秒浮点运算多少次的亿、亿亿、亿亿亿就更没什么数级之规了。

不同语言环境——比如汉语和英语——下，对同一套记数系统比如阿拉伯数字记数系统来说，数位对于二者都是一样的、不变的、均须遵从的，但数级却是可以——实际上也确实是——不同的。汉语中的万、亿是常用数（以古人的生产生活中能涉及到的最大的数的界限来说）之读法的数级——以四个数位为一个数级。英语中的thousand、million、billion、trillion是其常用数之读法的数级——以三个数位为一个数级。

（多说一点，在英语文献中看到的大数总是带着小蝌蚪——从低数位到高数位每三位加一个小逗号，如此标记只是便于其用其三个数位一个数级的读数法进行读数，而在中文文献中出现的大数如果带这个三个数位一个的小蝌蚪，就有点不伦不类了——因为我们的读数法是四个数位为一个数级的故而用不到这个小蝌蚪。）

关于数级，再极而言之地举个例子或者说来个暴论：

123456789这个数，抛开数级，用汉语直接读成“一亿二千万三百万四十万五万六千七百八十九”或者间隔用“又”或“有”（这是中国古人就用的方式）作一番修饰而成“一亿又二千万又三百万又四十万又五万又六千七百八十九”，在本质上来说，也未尝不可。

精简便捷——或者干脆说偷懒——的念想是古今之人同一的，引入数级的概念及其规则，让读数变得更方便也更易于理解了。

所以啊，偷懒是人类进步的源动力——至少是之一；关键是，偷懒也得讲究基本法——科学。

五、破而后立，谈谈如何更好地编写及讲解“认识大数”

严格说来，识数这一部分内容应该作为一个整体——将十以内的数、十到一百的数以及所谓大数连贯在一起——在一年级上学期就完整，而不应该根据所谓的儿童的理解能力将本来应为一体的内容切割成一段一段的分散到各个年级去教学。

举例说，现行教材直到四上的认识大数这部分内容才正式讲“数位”的概念，而前面讲的10及以上、100以内的数难道不是因为有了数位才有这样的数（的书写形式）吗？

所以，识数这个作为整体部分的内容应该以自然数的发现/发明——涉及到数字的创造、记数法（其中就包括数位制和十进位制）的创造——为线索，将各个数段的数包括大数自然而然地带出来并认识，因为所谓的大数并非因为其大而不容易理解，而是大数是记数法确立后，大数——实际上是无论多大的数——就根据记数法而表示/创造出来了。发明记数系统的古人在实际应用中可能永远接触不到如万亿这样的大数，但并妨碍他们在记数法的基础上认识到有这样的大数存在，也就是说，数作为一个抽象概念被建立起来了，并对自然数作为一个有无数个数的集合这样的一个整体有了认识。

关于这一点，请参阅我对自然数如何被发明的猜想的文章；

小学数学教-学探索｜作为概念的（自然）数是如何被认识到——发明和/或发现——的？一个猜想｜以重新发明数学的方式学习数学

但要对现行教材进行如此大刀阔斧的重编显然是不可能的，那么就只能在现有架构下作些修订和打补丁的功夫了。

以下是我的建议：

1、补充讲解完整的汉字数字及其记数法和阿拉伯数字及其记数法，其中尤其要讲清楚记数法中的“数位制”和“十进位制”。

2、讲清楚基于不同的数字及其记数法对数进行的书写方法和读法的不同，汉字数字及其记数法下其数的书写方式与读数方式是一致的，而阿拉伯数字及其记数法下其数的书写方式与读数方式是不一致的——其读数方式根据不同的语言而有不同的读法。

3、讲清楚在不同语言下，读数方法中的数级的分法是不一样的，比如汉语对阿拉伯数字表示的数的读法是四个数位一个数级而英语是三个数位一个数级；并且让学生了解到，数级只是对常用数的读法采取的一种因利乘便的、约定俗成的规则，对于很大的数，高数位的部分的读法就根据各个语言中所发明的表示更大数的数字（比如汉字中的兆、京，等）来灵活地去读了。

以下是对上述各条建议的补充说明：

第1条是重点，真正讲清楚“数位制”后，“计数单位”的伪概念就可以清除掉了。

第2条的基础上，就可以对实际使用中的诸如“60万”/“600 thousand”这样的表述形式作符合情理——但不合记数法的法理却又因拗不过因利乘便的使用惯性而不得不妥协从而允许其正常使用——的解释了，这种表述形式只是书写方式上的便利形式，且其不影响我们读取这个数的时候将其还原为正规的记数形式即“600000”。

第3条是为了让学生了解为什么要设立数级，设立数级便利了我们对于数的读法，而且了解到了英语环境下数里面每三个数位加个“,”是个什么意思、有什么作用，也就明白了汉语环境下在数里面每四个数位加个“|”是什么意思、有什么作用，“,”与“|”都是有了数级概念后为了读数的方便而加的标记。

六、结语

数学，数学，先有数然后才有关于数的学问即数学（算术、代数、数论等，即使是几何这门讨论图形的学问，也多必须依赖于数）。

数的诞生即自然数的发明——人类认识到的第一类数就是自然数——是数学之开端。搞清楚——哪怕是猜想——自然数是如何被古人创生（发明或发现）出来的，或者从发明自然数的层次和视角方面去组织人类积累的关于自然数的知识，这才是真正的数学第一课——识数。

入门须正，境界要高。

数学第一课对于学好数学尤其是小学数学至关重要。

跋

略（参见原文）