学做家长｜以对几道题的鉴赏分析管窥小学数学习题之现状：优者不多，劣者不少，庸者众

原标题：学做家长｜以对几道题的鉴赏性分析管窥小学数学习题之现状：精良者不多，粗劣者不少，平庸者不可胜数。刷如此习题事倍功半，更是舍本逐末

导读：通过对几道数学习题的鉴赏性分析，发现题目立意过于偏向于“考核”而非本应的“帮助”，且考核的对象又过于偏向于对本来就比较容易的“数学知识”的掌握（标准是“熟知且会用”）情况，而忽视了对于“数学知识”背后的“数学理念”之领会的检验和实践/训练【“数学理念”指“‘（如何）创造/发明数学知识’的知识”、“数学抽象的思维及其能力”和“数学表述的严谨性”三个方面】；并且发现出题方式上也有走偏，通常并非“数学式”的，而是“世故式”的，考验的其实是“生活经验”——是否世事洞明，或者是“急智机巧”——是否“圆滑”甚至“奸猾”，比如：“离题（实考语文、经济学）”式的、“脑筋急转弯”式的、陷阱式的、甚至是恶意挖坑式的，其中很多“不靠谱”的题目连数学院士看了都摇头。由这几个案例见微知著，或许可以说，小学数学习题之实际现状是：精良者不多，粗劣者不少，平庸者不可胜数。习题贵精不贵多，平庸的习题做多了也多是无用功，粗劣的习题做了非但无益、反而有害——做一道则其害积一分。

01

引言

在本系列（计划为三篇小文）第一篇第03节的末尾，笔者提出了如下的一个问题：

孩子为什么会答错ta们已经掌握了其知识点的题目，或者即使答对了题目也其实是稀里糊涂地答对了而并非真懂（其表现是下次遇到类似的题目有可能就会答错）？

何宏胜鉴赏力修炼，公众号：煅履堂薪火学做家长｜小学数学教-学的重点应侧重更重要也相对更难的对“数学理念”的领会而非比较容易的对“数学知识”的掌握，以分数为例（上）

并且给出了一个回答：

主要就是因为孩子们在对“数学理念”的某些方面的领会上面还有所欠缺。而这种欠缺或者是老师的引导/启发没有做好，或者是孩子领会得还不够。

同上

这是局限于“数学知识”和“数学理念”二者比较的“问与答”，如果扩展到一般情况，“问题”及其“回答”要做一个扩充。

【补充说明1：笔者所说的“数学理念”指的是“‘（如何）创造/发明数学知识’的知识”、“数学抽象的思维及其能力”和“数学表述的严谨性”三个方面。】

新的问题如下：

孩子们为什么会答错题，并且有时还会答错ta们明明已经掌握了其知识点的题，还有有时同类型的题目这次答对了下次却答错了？

新的回答如下：

孩子答错题的原因笔者认为大致有如下几类：

第一，（原本会做，却）疏忽大意；

第二，知识点没掌握（理解了没记住或因没理解而记不住）；

第三，知识点掌握了但对（文字层面的）题意不解或错解；

第四，知识点掌握了、也对（文字层面的）题意理解了但对（数学层面的）题意不解或错解（可能上次同类题解对了而这次却解错了）。

对于第一类原因，笔者的看法是：首先，疏忽大意的错误是人都会犯——或多或少而已，因为人毕竟不是机器——就算是机器也有出纰漏的时候，所以，可以批评以警戒再犯，但大可不必求全责备；其次，疏忽大意主要是习性使然，而习性是在日常生活中耳濡目染的结果，并且病根或许出在家长身上，所以，如欲治此病，“功夫在诗外”。

【补充说明2：上述“其次”可能戳得有些家长有点痛。这里不想做理论上的论证，只提供一个笔者自己孩子在习性方面的实证。笔者和孩子妈在家庭内务方面，一个稍微讲究一些，一个比较随意一点，俗话说“跟什么人学什么艺”，还真是的，孩子在内务的有些方面比如鞋子摆放这一点上就精细一点（在幼儿园年龄期表现得尤其明显，有时甚至眼看要迟到了，孩子都得强迫症似的非要将换下的鞋子摆整齐），而在另一些方面比如进门换下的衣服及时上架这一点上就邋遢一些。于是在内务的习性方面，有点“分裂”的意味，既讲究（精细）又随意（邋遢）。】

对于第二类中的“理解了没记住”导致对知识点的掌握不够的原因，没什么好解释的，加强对知识点的记忆就是。

对于第三类原因，也没什么好解释的，提升文字理解能力就是；但这里要强调一点，文字理解能力不仅仅依赖于语文（课）的学习，还在于“对世界的经验”包括对生活中各种事物的感知、经验和思考。

【补充说明3：人对世界的经验其实就是语言的经验。所以，笔者非常重视与孩子的对话（师法于苏格拉底、王阳明，对话经常进行于接送孩子上下学的路上），也引导和督促孩子多做课外阅读和看些文化类和科普类电视节目（比如：“中国成语大会”、“中国诗词大会”、“奇妙的汉字”、“典籍里的中国”、“动力澎湃”、“自然传奇”，等等），还经常让孩子视/听央视新闻（比如早上洗漱期间视/听央视二套的“第一时间”）。另则，语言的经验是人类的理解能力的基础，对此，相信诸君或多或少、或深或浅都有体会，笔者也有，而且是切身之体会。比如，参加工作初期，由于读了些《韩非子》，不仅影响了对工作上一些事务的理解，甚至影响到了语言风格；又由于读了些周国平的富有哲思的散文集，人生态度和价值观都得以升华。当时写下的两篇随感可为印证，见注释1。】

上述三点，都并非数学本身的问题，对其的改正、完善所要下的功夫均在诗外。

对于第二类原因中的“因没理解而记不住”，首先我们要搞明白，除去上课听讲和课后练习不认真的因素外，其实“没理解”对应着有两种情况，一种是“主观上没有积极去理解”——其潜台词是“非不能也，是不为也”，一种是“客观上理解能力不足”——意即“心有余而力不足”。依据第一篇的讨论，后一种可能性极小，前一种应该是症结所在。那孩子为什么“主观上没有积极去理解”——其实“理解了没记住”很可能也是因为“主观上没有积极去记忆”——呢？笔者认为，这个“主观上的不积极”是由于“不喜欢/没兴趣”甚至是“因为不知所云或不解由来而生的反感”——用心理学的话说可能是“出于对未知的恐惧”而不愿去“知”。那这个“不知所云或不解由来”或者说所恐惧的“未知”是什么呢？笔者认为，就是笔者所说的“数学理念”三项中的第一项“（如何）创造/发明数学知识‘的知识”。正式因为在“对知识点是如何被发明/创造出来的”这一问题上的领会还有所欠缺，所以不愿意积极去理解或记忆。

【补充说明4：在第一篇中我们已讨论过，小学数学就知识点本身来说很容易，绝大多数仅需单纯的记忆即可、连理解都用不着，仅有极少数除了需要记忆、还需要用到一点点理解——而且只涉及简单的理解、孩子们的智商完全拿得下来。所以，笔者认为并非“客观上理解能力不足”。】

【补充说明5：笔者对因纠结于或潜意识里困惑于“如何）创造/发明数学知识‘的知识”而对知识点的掌握不太稳固的孩子，实则是有点欣赏的，因为这或许表明孩子有一定程度的求真知的渴望和创造的意识。所以，希望家长朋友们多深入认真的判别一下自己的孩子答错属于那种情况，背后的原因又是什么，如果是这种，那请珍视并善加引导和启发。】

对于第四类原因，“对（数学层面的）题意不解或错解”，这本身就表明了其根源是对笔者所说的“数学理念”之三个方面的领会方面还有所欠缺。

以上两段讨论中提到的对“数学理念”的领会方面的欠缺，其根源，或者是老师的引导/启发没有做好，或者是孩子领会得还不够；对于前者，需要老师和/或家长参考第一篇的讨论去给孩子补上所缺；对于后者，这就涉及到习题没有很好起到助力“领会”的作用的问题——这也是下文将要重点讨论的问题。

02

数学习题作用的应然与实然

本文所称之“习题”，指所有非重大选拔性考试（如中考、高考）中的考卷题，包括但不限于教科书上的练习题、各种与教材配套的练习册中的题、学校教研组或其它层级的教育机构自己研发出的题（包括平时布置为课后作业的题和期中、期末考试的考卷题），等。

“习”者，雏鸟练飞之意也。

所以，数学“习题”的作用就是要让学生练出足以翱翔数学长空的本领。

应然

1、助力对“‘（如何）创造/发明数学知识’的知识”的领会

“自然数”。

匈牙利裔美国数学家保罗·哈尔莫斯 (Paul Halmos，1916-2006) 说：

“To learn mathematics is to do mathematics.”

笔者深以为然，极为欣赏！

这句话不太好翻译，一翻译就极可能丢了其中的一些重要内涵，但为了叙述的方便，还是得勉为其难。翻译如下：

“学数学就是做数学。”

这与在第一篇中提到的美国学者杰森·威尔克斯（Jason Wilkes）在其一本书名极具冲击力的著作《烧掉数学书：重新发明数学》（Burn math class）中的观点“英雄所见”、“异曲同工”。

这个“做”（do）当然就包括在习题上试练着“做”（do）。

所以，数学习题的首要作用，应当是对“数学知识”背后的“‘（如何）创造/发明数学知识’的知识”之领会的试金石和磨刀石。

2、助力对“数学抽象的思维及其能力”的领会及其训练

“数学抽象的思维及其能力”虽然是人类先天具有的，但其自然状态是无意识的、散漫的，只有经过良好的训练才能将其提升为有意识的、统合的。

所以，数学习题的第二作用，应当是助力对“数学抽象的思维及其能力”的领会及其训练。

3、助力对“数学表述的严谨性”的领会及其训练

“严谨性”是数学的生命，也是其科学性和精确性的基础。

但由于人类的日常语言习惯是比较随意的、模糊的，所以“严谨性”是需要艰苦而良好的训练的。

【补充说明6：姜树生先生在《现行统编中学数学教科书有多烂》中严厉批评了数学表述不够严谨的问题。中学教材如是，小学教材更差劲（因为这种启蒙性质的书更难写，需要极为“深入”才能做到“浅出”），习题就更别提了。】

而数学习题是感知进而领会和训练“数学表述的严谨性”的一个重要场域。

所以，数学习题的第三作用，应当是助力对“数学表述的严谨性”的领会及其训练。

4、助力检验和巩固对“数学知识”的掌握

通过习题检验是否理解并记住了数学知识，经过练习达到熟知且会用的标准。

所以，数学习题的第四作用，应当是助力检验和巩固对“数学知识”的掌握。

实然

习题的出题立意本该是“助力”，题目与习者应当是“良师益友”；却在“考试”的“考”字上走火入魔，出题立意畸变为“角力”，题目与习者反陷入“猫鼠大战”、甚至“互为仇雠”；感觉出题者非得将习者难到甚至考倒不可。

正是因为在出题之本意上欠缺一个“诚”字（即“诚意”不足。此处的“诚意”指的是《大学》篇首“八条目”中的“诚意”之意），所以，当前习题的“实然”与其“应然”就差距甚大。这种差距表现在如下三个方面：

第一，严重忽视对“数学理念”的关照；

第二，过分偏向对“数学知识”的考核；

第三，出题方式偏离“数学”堕入“世故”

前两个方面无需多做解释，其实已被在教学大纲/课标以及课堂的“教”的环节中重视“数学知识”而轻慢“数学理念”的前因所注定了。

第三个方面什么意思呢？就是出题方式走偏了，通常并非“数学式”的，而是“世故式”的，也即考验的其实是“生活经验”——是否世事洞明，或者是“急智机巧”——是否“圆滑”甚至“奸猾”，比如：“离题（实考语文、经济学等）”式的、“脑筋急转弯”式的、“陷阱”式的、甚至是“恶意挖坑”式的，其中很多“不靠谱”的题目连数学院士看了都摇头。

分类

笔者将小学数学的习题按其质素分为三类：

精良者，很好的关照到了“应然”的前三个方面或其中某一两个方面；

粗劣者，既欠缺对“应然”前三个方面的关照又在出题方式严重跑偏；

平庸者，介于精良者与粗劣者之间的。

精良的题目，既能帮助孩子对于具体某个/些“数学知识（点）”的学习、巩固，又能并且更能帮助孩子对于“数学理念”的感知、体察和领会。

粗劣的题目，则在“考”这个字上走偏甚至入邪了，为了“考倒”学生而刻意机关算尽甚至故意挖坑。这类粗劣题目，学生即使做错了，也只会觉得是自己不走运，在心里对于栽在这类题上是不服的；尤为严重的是，可能还会很反感，继而降低对于数学的兴趣甚至于厌弃。

所以，笔者认为：

数学习题贵精不贵多，平庸的习题做多了也多是无用功，粗劣的习题做了非但无益、反而有害——做一道则其害积一分。

然而小学数学习题之实际现状却是非常令人失望的：

精良者不多，粗劣者不少，平庸者不可胜数。

接下来，我们通过对几道小学数学习题的鉴赏性分析为案例，来感受一下这个实际现状。

笔者同时也希望家长朋友们能在这些案例讨论中也能培养或提升一下自己的鉴赏力，以便能为孩子遮风挡雨（比如顶住学校的压力和周遭的裹挟，坚持不刷题、更不上与学校的教学同质化的辅导班）并更好的引导和启发孩子。

03

案例讨论：对几道小学数学习题的鉴赏性分析

案例一、一道殊为难得的精良习题

原题如下：

一个三角形有三条边，三个独立的三角形总共有几条边？

A、略                B、略                C、略

这是笔者孩子二年级下学期一次测验卷中的题（选项内容我记不清了）。

这道题孩子做错了（也是孩子在这份考卷中唯一做错的题，扣了2分）。

笔者问孩子为什么做错了。

孩子说：题目中的“独立”两个字把她搞糊涂了，搞不清楚啥意思，于是就乱选了一个选项，结果错了。

听完孩子的解释，笔者将孩子狠狠地表扬了一番，并说这个错犯得“精彩”，因为“明明白白地做错了比稀里糊涂地做对了更有价值”。

因为这道题中的“独立”两个字至关重要、不可或缺（少了这两个字题目的表述就不严谨了，就成了一个开放性问题了——显然不太适合二年级的孩子而且与选择题的题型也不匹配），而她注意到了这两个字。

注意到“独立”这两个字又意味着什么呢？

第一，证明读题认真；

第二，说明她的数学上的灵性和直觉仍然保持得很敏锐；

第三，提供了进一步讲“数学表述的严谨性”的契机。

这道题的出题方式也非常高明，是以选择题出现的，至关重要的也是体现“数学表述的严谨性”的“独立”这两个字是直接显化在题设表述中的。有心的习者如笔者的孩子能注意到则可以顺势给ta讲其中的道理，粗心略过的习者也能正确答题，不至于被坑。

所以，这道题出得很好，非常高明，是一个精良的题目。

案例二、一道极为典型的粗劣习题

原题如下图（红色字的订正的那道题）：

图片来源：拍照自一位朋友的女儿的作业本

这道题按题设本身来分析，出题者的目标是什么呢？

无非一个“零与任何数相乘的积还是零”的知识点！

这个知识点，我相信99.99%——哦，不，肯定是100%——的同学都能秒懂并秒记。如果出现“零与任何数相乘”的表述或算式，我相信没有任何一个学生会写出一个“非零”的得数。

如果出题本意是要考核是否掌握了（理解了并记住了）这个知识点，那这种考法也太坑了，而且是出题人主观刻意地挖坑！

如果出题本意是要考察对这个“例外”的记忆（要始终记得有这么一个“例外”，有点要体现“数学表述的严谨性”的意思），这题也出得太不入流，而且题设自身的表述也是有大漏洞的。笔者试做分析如下：

其一，“另一个乘数扩大到原来的3倍”，这个表述已经将“另一个乘数”锁定为“非零”的数了，因为如果这个数是"零"，你还怎么能“倍”之（无论是“扩大几倍”或“扩大到/为几倍”）呢？所以这个“另一个乘数”必然是“非零的数”。

其二，“一个乘数”与“另一个乘数”这种表述也是“模糊”的，到底哪个数是哪个数啊？当你说“有两个东西，一个如何好，另一个如何坏”的时候，听者可以将其中任何一个理解为“好”或者“坏”。同理，“其一”分析得到的“另一个乘数为“非零的数”的结论同样可以适用于“一个乘数”，即“一个乘数”也是“非零的数”。除非这两个乘数你用确切的名称表示，比如用A和B表示。

【补充说明7：其实，这个“其二”的分析是否站得住脚，尤其是“同理”的这个推论能否成立，笔者自己也不太确定，而且如此分析似乎有点“强词夺理”。就算这个分析尤其是“同理”不成立吧，但“一个”与“另一个”这个表述确实太过于模糊、太不“数学”，这却是真切的。】

其三，“一个乘数不变”这个表述只能对应两种情况，即要么这个乘数是“零”、要么这个乘数是“非零的数”，如果是“零”，那就是确定的数，当然没必要再说“保持不变”，既然说“保持不变”，那这个数就不是“零”。

【补充说明8：第一个逗号之后、第二句即“一个乘数保持不变”的前面竟然没有贯以“如果”两字，似乎有点太low了，一点儿都不“数学。“扩大到”的这个“到”字也似乎不好，用“为”字似更好。此为一偏之见，供参考。】

所以，如果笔者上述“其一”和“其三”的分析成立，那么出题人要设计进去的“零与任何数相乘还是零”的这个“例外”就被出题人自己的题设表述所推论的确切含义（即这两个乘数均为“非零”的数）给排除了。

所以这个判断题的题设命题是“对”的。而实际上呢，（标准答案和老师的理解）却非要说这个题设命题是“错的”——因为有可能其中一个数是“零”。

这真是“以其昏昏、使人昭昭”啊！

学生做错了这道题，也只会觉得是自己不走运，在心里对于栽在这类题上是不服的甚至是很反感的，继而降低对于数学的兴趣甚至于厌弃。

学生做对了这道题，恐怕也只是因为老师强调过这个知识点有这种题型、碰到了一定要留神，或者自己做过这种题型并在上面栽过从而有了教训，无论哪种，都只是出于做题家的套路熟而已，于“数学知识”的理解并未增加分毫，于“数学理念”的领会也几无益处。

那么，关于这个知识点，怎样出题才能喜闻乐见，并让学生们深刻领会数学的理念及其美呢？这就考验出题人的审美了！

如果是笔者来出，笔者会将核心放在“数学表述的严谨性”的学习和领会上。

若出题目标是简单点，那就将这个“例外”——也就是体现“数学表述的严谨性”的表述方式——作为前提正面说出来：

判断题题型：

两个均为非零的乘数相乘，一个乘数不变，另一个乘数扩大到原来的3倍，积也扩大为原来的3倍。（√）

填空题题型：

两个均为非零的乘数相乘，一个乘数不变，另一个乘数扩大到原来的3倍，则积扩大为原来的   3    倍。

若出题目标是要有点难度的，那就对“有一个‘例外’”做出提醒：

填空题题型：

两个乘数相乘，一个乘数不变，另一个乘数扩大到原来的3倍，积也扩大为原来的3倍。此说成立的前提是   两个乘数均为非零的数     。

选择题题型：

两个乘数相乘，一个乘数不变，另一个乘数扩大到原来的3倍，积也扩大为原来的3倍。此说成立有无前提？若有，是什么？请选择：

A、不需要前提    B、两个乘数均不为零    C、其中一个乘数不为零

【补充说明9：上文“其二”提到的“一个乘数”和“另一个乘数”的模糊表述最好能以确切的名称比如字母A和B表示，依然适用，最好当然是要这样确定性的表述。但考虑到用A和B这样的表达，似乎有点“代数”的意思了，这又好像“超纲”了。所以还是在“彰其意”与“谨其言”二者不能兼得的情况下，选择“彰其意”吧。】

这样出题，是否更高明些呢？

案例三、非“数学式”而是“世故式”的难以评价的习题

言其“难以评价”是说这类题目合适不合适通常是“见仁见智”，大家视角和关注点不一样，则结论各异，甚至截然相反。

笔者的评价其实已在“非数学式”和“世故式”这两个给其定性的表述中表明了，不欣赏，也不全然否定。

笔者在上文中提到自己对“世故式”习题的描述是：

“世故式”的，也即考验的其实是“生活经验”——是否世事洞明，或者是“急智机巧”——是否“圆滑”甚至“奸猾”，比如：“离题（实考语文、经济学等）”式的、“脑筋急转弯”式的、“陷阱”式的、甚至是“恶意挖坑”式的，其中很多“不靠谱”的题目连数学院士看了都摇头。

下面我们来看两道题目。

其一，如下图：

这道题诚然考了除法的知识点，但是要做对，却不取决于数学能力，而是取决于“世故”中的“生活经验”，与“经济学”相关，有点“离题”——偏离了数学的主题。

这道题，做对了，不表示数学学得差，做错了，也不表示数学学得好。因为它根本就是“非数学”式的。

其二，如下图：

一年级数学，关于加减法的（涉及到“连加连减”了）。

这道题吧，一言以蔽之，出题人“其意不诚”：

如果你是考“连减”，直接问“还剩几斤”就完了，孩子列式很完美，计算结果也对，该考的知识点也考了，孩子也掌握了，各得其所，皆大欢喜；

如果你是考“抽象”能力，也即从场景描述中抽象出数学（表达）——实际上就是考察生活语言中的“少”即代表数学语言中的“减（-）”，那你前面就不要出现“13”斤嘛，直接说“有一瓶酒”，那这样考核的目标也达到了，孩子们也不至于会错意而答错的，这样也是各得其所，皆大欢喜；

非要写明“13斤”，然后问的又与这个“13斤”毫不相干，这是要干什么，这是要“增加干扰项”啊，但有这个必要吗，加这个考什么呢，这不考“急智”或者“脑筋急转弯”吗，与数学本身何干呢。

就这还美其名曰“拓展思维”，这“拓展”的是什么“思维”，是“数学思维”吗，说不上吧，这甚至是要潜移默化地向孩子“度过去”一个信息，即“世道险恶，陷阱多多，要注意避免被坑”，这是教孩子“奸猾”啊！

或许如此评价有点上纲上线了，但笔者相信其对孩子的影响是真切的。

另外，这道题的题设表述过于“简化”，每句都没有主语，没有主语其实意味着理解上的模糊性，比如最后问的“一共少了几斤”，忒么“谁”“少了几斤”呢？能直接将这个“谁”与“13斤酒”对应起来的靠的是对于语境的理解，而对语境的理解是与语言的经验密切相关的，孩子们的语言的经验足以应对这道题吗？如果是，笔者只能说这样的孩子要么是真的有“真才实学”，要么就是“过于早熟（世故）”了。并且，但凡孩子的思维敏锐性还保持得很好，对这个“谁”究竟是“谁”的理解就可以是多样的；而直接就“能”将“谁”与“13斤酒”对应上，不过是过早地进入了思维定势罢了。

案例四、一道既有高明之处、又有诸多败笔的好坏参半的平庸习题

原题如下：

这是一道三年级上学期的题，笔者与孩子一起亲身经历了攻克这道题的艰难险阻，详情参见《学做家长｜记孩子的一次“1.5小时熬战一道数学题”的经历及其收获，兼论家长提升自我修养的必/重要性，附对该题的批判性分析》，所有详尽分析（如标题所示）在该文中均有，以下仅结合本文主题择其要者。

先说一下笔者认为的高明之处。

首先，这道题非常好地关照到了笔者所阐述的数学习题之“应然”四个方面中的两个方面，即：

“数学抽象的思维及其能力”，体现在将对生活场景的描述抽象为数学表达式即将篱笆长度抽象为菜园的周长，尤其是通过“（同一批）篱笆（的长度）”这个中介将不同的两个菜园的周长“间接等同”起来，这就不仅要抽象，还要一定的思维能力（即“推导”，通过“甲=乙”和“乙=丙”推论出“甲=丙”）；

知识点掌握情况的检验和巩固，体现在既正向考核了正方形和长方形周长的概念及其计算，又逆向考核了通过已知周长和其中一对边长度求零一对边长度的计算。

尤其是前一点，非常好，尤其是其中的“间接等同”的涉及到的逻辑推导，孩子不一定知道这个逻辑推导是什么东西，但这是人的思维中本来就潜在的，需要通过这种练习将其显化和强化，从无意识的转化为有意识的，从散漫的转化为统合的。

这是这道题的的高明之处。

下面再说一下这道题的美中不足的诸多败笔。

这道题考验的是对题意的理解以及数学抽象的思维及其能力，后者相对简单，但却受到前者的影响。而对题意的理解又与题设的表述紧密相关。

这道题的表述存在两大败笔，第一个是隐性的、不易找到根据和证据，而第二个是能够从题目表述的词句中直接分析出来的。以下试述之。

败笔之一，对生活场景的表述不够贴合实际。

“正方形菜园和长方形菜地两者的周长相等”，这是这道题的最关键之处，因此其设定如何表述才显得现实可行就非常重要。

如原题那种表述，根本没有一个现实且合理的说法来表述二者的相等，那么，孩子就会“很现实的”“胡思乱想”（因细节不足而想要“脑补”之，补不好则生疑虑困惑）：

比如，王大爷买的篱笆到底是多长呢，不会那么巧围起正方形菜园刚刚好不短也不长吧；

再比如，王大爷是怎么知道（以哪种方式或通过哪种途径发现）围起正方形菜园的篱笆也能正好围起长方形菜园的呢；

还比如，计划围正方形菜园的篱笆怎么就突然没来由地跟长方形菜地扯上关系了呢——这到底是什么不正常的关系；

等等。

或许有人会认为，“傻”/“笨”孩子才会想这么些“不相干的”，“聪明”孩子绝不会想这么些“没用的”。

不好意思，笔者的孩子虽不够“聪明”，却也不傻、不笨，但就是“胡思乱想”了，下图（孩子做这道题的草稿的照片）为证。

出题者、老师、家长这些成人以及那些“聪明”（实则不较真的“圆滑”）的孩子可以根据经验和套路而不去“胡思乱想”，但挡不住有些敏锐的孩子ta就是会“胡思乱想”。

所以，题设表述要尽可能地去避免孩子在对题目所描述的场景的疑虑中瞎耽误功夫和被误导。

进一步说，难道这些“胡思乱想”真的是“不相干”、“没用的”吗？这就要与该题的第二大败笔之处联系起来看了。

败笔之二，表述不严谨、不精准（词句有歧义或其意思指向不确切）。

再看这道题的题设：

王大爷买了一些篱笆，计划把边长为32米的正方形菜园围起来。如果这些篱笆也正好能把一个长40米的长方形菜地围起来，这个长方形菜地的宽是多少米？

以下试分析其表述中的不严谨、不精准之处。

1、从第一句话中，是不能确定买了的这“一些篱笆”究竟是多长的——虽然后面说了“把边长为32米的正方形菜园围起来”。因为：这句话用的用于关联的词是“计划”，而“计划”在执行/落实后的结果有可能达成预期、也有可能达不成预期；也就是说，有可能所买的这“一些篱笆”的总长度不足以将正方形菜园围起来、也有可能围起来还有富余。如果从这第一句话就理解出所买的这“一些篱笆”的总长度等于正方形周长，那恐怕是因为“自行脑补”或“自作多情”（因为是“计划”而不是“刚好”）。

2、从第二句话中，我们可以确定“这些篱笆”的长度与长方形菜地的周长是相等的吗？恐怕不行。“能”只是一种“定性”表述而不是一种“定量”表述，代表的意思是“这些篱笆”的长度“不小于”长方形菜地的周长，而“不小于”包括了“等于”和“大于”（“大于”即代表“这些篱笆”围起长方形菜地后还有富余）。那么在“能”前面所加的“正好”两个字是否就能将这个“能”所指代的意思严格确定为“等于”呢？这一点笔者也不太确定，只是直觉上感觉“未必”。从语义上来说，“正好”既可以理解为数量上的关联，也可以理解为事务上的关联——即这些用来围正方形的篱笆“也可用于”围长方形。当然，有人或许会认为，语义要在语境中确定，这是数学题，当然要以数学题的语境将这个“正好”理解为数量上的关联了，这样这个“正好”就表示“这些篱笆”的长度与长方形菜地的周长“正好”相等了。对于这个争辩，我要说，请注意，这个题目的表述完全是生活场景化的，刻意回避了数学化的表述，数学的内容是要从这个生活场景化的表述中抽象出来的，你之所以能轻松做到将出题人意欲考察的数学内容从中提取出来，那多半不是基于缜密的语义分析和数学抽象，而仅仅是基于惯性思维或者积累的做题经验/套路（做题家、手孰而已）。而数学，其表述要“无懈可击”——无论谁读之、无论在何种语境下其意思都是唯一的且明确的。

3、现在将两句话连起来看。首先可以确定的是，第二句中的“这些篱笆”与第一句话中的“一些篱笆”是“等同”的（其实以集合论的观点来看，也未必，但纠结这一点，显得有点无事生非了，权且不论）。“也”字在这里起什么作用呢？从语文的角度看，去掉这个“也”字，句子的意思是一样的，因为“这些篱笆”与“一些篱笆”足以表达其意，加个“也”字属于重复性表达（同义反复）；即使这个分析是错的，但至少是个真实的感觉，孩子们也会有这样的直觉的，这就足以误导孩子出现理解偏差；但这个问题不是数学问题，而是一个语文问题，而且是这个年龄段的孩子还不具备应对能力的语文问题，所以要尽量避免或有意或无意的埋下这个与数学无关的“雷”。但这个“也”字在出题人的本意中应该是联结前后两句话中相关数量关系的不可或缺的关键词，那么我们再来看看即使按出题人的本意，其表述能否精确表达其本意。在句子中，“也”是与“正好”、“能”连在一起的，那么我们看看“也正好能”这个表述。“也正好能”至少可以有三个理解：“正好也能”，“也正好”“能”，“也能正好”。前两个理解的表述其实属于一种，因为其其重心都在“能”，“正好也”和“也正好”是修饰语，这种表述所能表达的意思在第2点中我们已经分析过，是不确定的——表达的意思不唯一且数量关系不确定。只有第三个表述“也能正好”表达的意思是唯一的、数量关系确定的，能精准表达出题人的本意。所以，“也正好能”这个表述是不能得到“这些篱笆的长度既等于长方形菜地的周长、又等于正方形菜园的周长”的唯一且确定的意思的。

分析完毕（有不尽之处请参考下文我对这道题的表述的几个修改方案）。

这些表述上的不严谨的问题与前述几个“比如”（胡思乱想）纠结在一起，怎能不引发孩子——思维钝化、固化和/或不求甚解的孩子除外——的思维错乱呢（比如我的孩子就在这道题上接连做出了两个匪夷所思、出奇离谱的错误作答，见上文孩子做这道题的草稿的照片）。

那么，更好的表述应该是怎样的呢？以下是笔者的尝试。

如果要让表述最符合实际场景，那就要在表述结构上做大的修改。

比如：

王大爷买了一些篱笆，把边长为32米的正方形菜园围了起来，后来又将它们拆下来围一个长方形的菜地，也能正好围起来。如果这个长方形菜地的长是40米，那么它的宽是多少米？

或者：

王大爷买了一些篱笆先后用来围过两块菜园，发现围起一块正方形菜园的篱笆也能正好将一块长方形菜园围起来。已知正方形菜园的边长为32米，长方形菜园的长为40米。问：这个长方形菜园的宽是多少米？

如果保持原题的表述结构，那只要稍微调整即可。

比如：

王大爷买了一些篱笆，计划把边长为32米的正方形菜园围起来。如果围起正方形菜园的这些篱笆也能正好把一个长40米的长方形菜地围起来，这个长方形菜地的宽是多少米？

或者：

王大爷买了一些篱笆，刚好能把边长为32米的正方形菜园围起来。如果这些篱笆也刚好能把一个长40米的长方形菜地围起来，这个长方形菜地的宽是多少米？

或者

王大爷用篱笆把边长为32米的正方形菜园围了起来，如果这些篱笆也能刚好把一个长40米的长方形菜地围起来，这个长方形菜地的宽是多少米？

余不尽述。

这些表述是否感觉更精准（无歧义）和/或更贴合现实了呢？

04

结语：入门须正，境界要高

如案例四的习题，实际上，像笔者的孩子这样，由于原题表述的不贴合实际（可供下判断的信息不足）、不严谨而陷入迷乱导致做错的情况应该是罕见的，绝大部分孩子都能“迅速”并“准确”地“理解”“题意”，并顺利按正确的计算步骤分别列出每一步的计算式，而这不过是做题经验和老师教过的解题套路以及惯常思维使然。

而这恰恰是最大的隐患之所在。

这说明我们的孩子已经被当前教育中太多的烂题浸染得“百毒不侵”了。

这也恰恰是当前教育的最大悲哀！

所以，笔者认为：

要做习题就要尽量做一些精良的习题，只要精良，少量题目即可；粗劣的习题尽量不要做，至少，孩子做错了，不仅不要责怪孩子，你还得庆幸，庆幸免遭毒害一次；平庸的习题做太多是舍本逐末而且事倍功半——甚至大多还是无用功。在习题质素“精良者不多、粗劣者不少、平庸者不可胜数”的现状下，少做题是个不得已而为之的次优方案。在小学数学就其“数学知识”而言相当容易的前提下，为了呵护孩子的“数学灵性”和“思维敏锐性”，习题嘛，宁缺毋滥。

最后，跟大家分享笔者非常欣赏一个论断，即：

入门须正，境界要高。

学做家长，我们一起努力！

（全文完）

本文转自微信公众号“煅履堂薪火”

原文链接：学做家长｜以对几道题的鉴赏性分析管窥小学数学习题之现状：精良者不多，粗劣者不少，平庸者不可胜数。刷如此习题事倍功半，更是舍本逐末

注释：

1、参加工作初期的两篇随感。