为什么说中国古代不可能发现无理数？

首先声明，这是我的一个猜想，如果能够被否定，我会非常感谢！

那么，为什么我认为中国古代不可能发现无理数呢？

现在我们先来看看，古希腊是怎样发现无理数的。

一

古希腊毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”。他们认为1是最神圣的数，1生2，2生诸数，数生点，点生线，线生面，面生体，体生万物。

我国古代也有“道生一、一生二，二生三，三生万物”的道家思想。这是一种朴素的“万物皆数”的思想，但没有毕达哥拉斯学派这么明确和系统。

毕达哥拉斯学派的万物皆数，就是万物都可以用自然数和分数来表示。自然数和分数合在一起，就是有理数。自然数都是整数。而分数则可以分为两种：能够化为有限小数的分数，如二分之一，可以化为0.5；能够化为无限循环小数的分数，如三分之一，可以化为0.333333······

那么，什么是无理数呢？

无理数，就是无限不循环小数。典型的无理数，也是我们最熟悉的，就是圆周率π。

无理数可以分为4类：

1.π，e(自然对数的底）等；

2.函数式，如lg2等；

3.开方开不尽的根式，如√ 2等；

4.其他无限不循环小数（---可以自己构造），比如，0.1010010001·······（两个1之间依次增加一个0）.

在2000年前，至少几个大文明，基本上都知道了有理数。

但是，发现了无理数的，只有古希腊文明一家！

这是为什么呢？

二

现在我们来看看，古希腊人是怎样发现了无理数的。

我们知道，在中国被称为“勾股定理”的表示直角三角形三边关系的等式---a²+b²=c²，在古希腊叫做“毕达哥拉斯定理”。

有一次，毕达哥拉斯的弟子希帕索斯研究了一个两条直角边长度都是1的三角形，那么，这个三角形的斜边应该是多少呢？

根据毕达哥拉斯“万物皆数”的思想，这条斜边当然是有理数！

那么，它到底是不是有理数呢？

好在，古希腊人最擅长的，就是几何学证明---为什么不证明一下呢？

根据毕达哥拉斯定理，1²+1²=2=（√ 2）²。那么，斜边的长度是√ 2.

希帕索斯想证明：√ 2是有理数。

那么，可以设√ 2=m/n，m/n是最简分数，m、n都是正整数。

两边平方，然后两边再同时乘n²,则有2n²=m²。

因为n²的尾数只能是0、1、4、5、6、9中的一个，所以2n²的尾数只能是0、2、8中的一个。

因为2n²=m²，而任何正整数的平方的尾数，都不是2、8，所以，m²的尾数只能是0.

而根据上面等式，2n²的尾数当然也是0.

这样的话，n²的尾数只能是0或者5.

因此，m、n有公因数5，与m/n是最简分数矛盾！

所以，结论只能是：√ 2不是有理数！

三

这里，希帕索斯用反证法证明了：√ 2不是有理数。

对于毕达哥拉斯学派而言，这样的发现，几乎是闯下了塌天大祸。

不是“万物皆数”吗？现在，这个直角三角形的斜边，居然不是数！

退一步说，即使它勉勉强强可以算作数，那也是非常“没有道理”的！所以就叫做“无理数”吧。

令人意想不到的是，无理数到底是不是数---这个问题，居然困扰了数学家2000年。

这是后话，暂且不提。而希帕索斯被溺死的结局，也暂且不提。

无理数的危机，加上芝诺悖论，被称为数学史（科学史）上的第一次危机。

而事实上，这是人类思维的一次巨大飞跃！也是人类科学史上的一个划时代成就！

为什么这么说？

因为，首先，它不是测量出来的；

其次，也不是观察发现的。

它，是通过反证法，纯粹通过人类的抽象思维能力发现的！

这，可以说是人类纯粹通过抽象思维、逻辑思维获得的第一个伟大科学成就！

它说明：严密而系统的抽象思维、逻辑思维能力，对于科学发现，具有多么了不起的伟大价值！

有许许多多自然的、科学的奥秘，比如无理数，无论你有多锐利的眼睛，都不可能观察出来。

无论你有多么强大的仪器，也不可能测量出来。

但是，意想不到的是，这样几乎令人束手无策的奥秘，居然仅仅通过抽象的逻辑思维，就能够迅速而准确无误地被发现！

至此，我们不能不为人类抽象、逻辑思维的伟大力量而惊叹、而欢呼！

四

最后来说说，我为什么认为，中国古代不可能发现无理数。

这是因为，无理数的发现，几乎只能依靠抽象的严密系统的逻辑思维！

而这样的逻辑思维能力，古希腊人通过对于几何学的痴迷钻研，已经修炼到了炉火纯青的地步，可以说绝对是全球一枝独秀。《几何原本》就是这种钻研的最大成果！

这一点，我们看看前面希帕索斯的反证过程，就可以充分体会到其逻辑思维是如何滴水不漏、无懈可击！

而同时代全球其他文明，对于抽象的逻辑思维，都没有充分重视。

中国古代，尤其是春秋战国时期，诸子百家中也有重视抽象、逻辑思维的，但是他们基本上是浅尝辄止，与古希腊人的深入系统钻研相比，他们只能称之为业余爱好者。

正如爱因斯坦所说，古希腊人的形式逻辑是现代科学的两足之一（另一足是实验）。而抽象、逻辑思维始终都是业余水平的古代中国，没有科学毫不意外（这个话题，可以参考我另外的帖子）。

说中国古代不可能发现无理数，还因为在2000年前，像直角三角形的斜边这样的无理数的例子，非常罕见，如果不是对于几何学有深入细致的钻研，根本就不可能想到会有无理数的问题！

通过这个帖子，我想强调一点：

古希腊文明，具有同时代所有文明都没有的独特的巨大优点----对于抽象、逻辑思维的极端重视与专注！！

正是这样的优点，让他们在2000年前，就发明出了古希腊理性科学！

而古希腊理性科学，是现代科学的父亲（母亲是基督教文明----参考我另外一个帖子）。

以上观点，欢迎网友讨论。

（本文内容部分引用了发表于《数学教育研究》2011年第27期朱淦的《无理数的秘密》，特此致谢）