最抽象的数学能让世界变得更美好吗？

专栏作者Natalie Wolchover探讨应用范畴论能否成为“绿色”数学。

来源 | Quanta Magazine及网络公开信息

编译 | 數學家编译小组

校对 | 慧玲

2011年，John Baez在他的博客上写道：“我花了很长时间探索传统数学的水晶般纯净之美，但现在我渴望研究一些更接地气的东西。”这位在加州大学河滨分校和爱丁堡大学两地工作的有影响力的数学物理学家，对地球的状况日益担忧，并认为数学家们可以为此做些什么。

Baez呼吁发展新的数学——他称之为"绿色"数学——以更好地捕捉地球生物圈和气候的运作方式。就他本人而言，他试图应用范畴论（category theory）——一个他专精的高度抽象的数学分支——来为自然世界建模。

这听起来像是个白日梦。数学在描述简单、孤立的系统时表现出色，但当我们从原子到有机体再到生态系统时，简洁的数学模型通常效果递减。这些系统实在太过复杂。

在哲学中，“感质（qualia）”指的是我们经验的主观特性：比如爱丽丝看到蓝色时的感受，或鲍勃感到快乐时的体验。正如已故哲学家Daniel Dennett所言，感质是“事物在我们看来呈现的方式”。在这些随笔中，我们的专栏作者追随他们的好奇心，探索重要但不一定有确定答案的科学问题。

但在Baez发表那篇博文后的几年里，已有超过100位数学家加入他的行列，作为“应用范畴论者”试图以新方式为各种现实世界系统建模。应用范畴论现在拥有年度会议、学术期刊、研究所以及由英国政府资助的研究项目。

然而，怀疑论者也大有人在。应用范畴论者Matteo Capucci告诉我：“当我说我们是弱势群体，没人喜欢我们时，这不完全正确，但也有一点真实。”

我开始着手了解这个新兴研究领域究竟是怎么回事。一个看似最纯粹的纯数学分支之一，怎么可能帮助揭开像生物圈这样复杂的系统的神秘面纱？它是否是对其他建模方法的重大改进？数学真的能是绿色的吗？起初看来希望渺茫。

出乎意料的是，我了解到应用范畴论近来取得了一些成功。虽然应用尚未像Baez希望的那样绿色，但该方法在包括流行病学和人工智能安全在内的关键领域正展现出潜力。似乎最抽象的理想化概念，有可能帮助我们更好地理解最混乱的现实。

范畴论起源于1945年，旨在形式化数学对象之间的关系，并很快发展成为一个强大且富有成果的数学分支。

我们所说的数学对象是什么意思？数字、函数和集合都是例子。对范畴论者来说，定义一个对象的是它与其他对象的关系。国际象棋中的黑王是什么？爱丁堡大学的数学家Tom Leinster说：“你可以说它是一块木头，被雕刻成特定的形状并涂成黑色，但这并不重要；它也可以是一个盐瓶。”相反，黑王是由它在棋盘上的移动方式、如何捕获对方棋子或被对方将军来定义的。

一个范畴（category）就是一系列对象以及这些关系（即态射（morphism））的集合。让我们把国际象棋视为一个范畴。为此，你可以把它描绘成一个图表，其中每个对象（合法的棋局位置）用一个小方框表示，然后用箭头连接方框来表示态射，即可能的移动。范畴论学者研究如何映射、重叠或连接不同的范畴。

我们凭直觉都知道范畴的存在。例如，我们知道5英尺和5美元在数学上并不等同。你可以将5英尺乘以3英尺得到15平方英尺。但你不能将5美元和3美元相乘——没有"平方美元"这种东西。你可以将5美元和3美元相加，或者将5美元乘以3（这里的3是数字，不是美元）。但5美元乘以3美元是没有意义的。

对范畴论者来说，美元值是一个称为一维向量空间的范畴中的对象。想象一下数轴；一个美元金额就像一根从零点开始、沿着数轴延伸一定距离的箭头（或“向量”）。你可以通过将两个向量首尾相接来相加，但向量相乘在一维向量空间中不是一个有效的态射。 尽管对向量空间或态射一无所知，我们却总能在结账时避免犯尴尬的范畴错误。但当概念比距离和美元更多样、更复杂时，我们就会遇到问题。 Baez告诉我：“这在建模中经常出现，例如流行病学建模。如果你用传统软件编写模型，并在程序中输入‘35’，这并不能告诉你它是35美元、35个人还是35剂药物。所以你把这些都混同为数字，这就更容易出错。”

应用范畴论提供了一个框架，用对象和态射来对现实世界系统进行建模。位于伯克利的Topos研究所（致力于范畴论应用）的联合创始人兼首席执行官Brendan Fong说：“范畴是组织逻辑结构的方法。”

物理学家Bob Coecke在2000年代将其应用于量子力学，此后又被扩展到量子计算的推理。几年后，Baez开始思考生物圈的范畴化，而与Fong共同创立Topos研究所的数学家David Spivak则通过思考数据库独立开创了应用范畴论。Fong说：“David有一种强烈的愿望，想要将世界形式化并使其清晰可读。他在世界上最讨厌的事情就是沟通不畅。”

在我在线观看的一场2022年的讲座中，Spivak设想了应用范畴论在实践中的运作方式。一位会计向应用范畴论者讲述他们数据库中的对象，比如员工和美元金额。然后，范畴论者会为该开发一个形式化模型——一个具有严格逻辑结构的范畴——然后可以将其连接到其他范畴（对应其他数据库和电子表格），从而对整个公司进行建模。通过这种方式，应用范畴论成为了一种通用语言，用于描述某个庞大系统中的异质组成部分。

气候建模——Baez最初提出的绿色数学候选之一——试图模拟典型的庞大系统：地球本身。地球系统不同领域的专家必须以逻辑方式整合他们的知识和数据流，才能理解整体。但Baez和其他人告诉我，应用范畴论者在气候科学中尚未取得任何立足点，部分原因是气候模型已经足够复杂，能够运作，尽管它们拼接在一起的方式缺乏数学严谨性。数学家们认为，这种严谨性可以使模型更强大、更灵活，并且更能整合新信息，但推倒重来既需要说服力也需要付出努力。

爱沙尼亚塔林理工大学的Amar Hadzihasanovic说：“这是我们在应用范畴论中始终面临的挑战之一。我们可以去找人们，告诉他们，‘如果你能根据这些首要原则来构建你的模型，它会更好。’他们则会告诉你，‘好吧，那需要多长时间？’在你能够获益之前，需要巨大的投入。”

数学对解决气候危机中政治应对不足的问题几乎无能为力，但应用范畴论在公众关注的其他领域则走得更远。

例如，Baez一直在与Topos研究所和加拿大计算机科学家Nate Osgood合作，后者专攻疾病爆发的流行病学建模。在萨斯喀彻温大学从事加拿大疫情应对工作时，Osgood对现有建模软件不允许专家整合不同领域的知识感到沮丧。

为了预测疫情爆发将如何发展，流行病学家经常使用存量-流量图：图中包括人群存量（易感者、感染者、康复者、死亡者）和箭头，箭头根据暴露或毒力等因素显示人群之间的流动。存量和流量就是一个范畴中的对象和态射。图中方框和箭头的排列可以转化为描述系统演化的方程。

在过去几年里，Osgood、Baez和他们的团队开发了一个名为StockFlow的软件包，将这类建模形式化。专家们可以对疫情爆发的不同方面进行建模，例如健康差异如何影响易感人群的感染率，而这些范畴可以组合成更大的范畴。Baez说：“范畴论能够处理那些更复杂的组合形式。”

StockFlow尚未在流行病学家中普及，但Osgood将其教授给他的学生，希望能影响下一代建模者。Leinster说：“这是真正可以应用的东西，是正经的东西。”

与此同时，Hadzihasanovic和Capucci都是“Safeguarded AI”项目的成员，该项目由英国政府资助的先进研究与发明局（ARIA）资助，旨在将范畴论应用于人工智能安全问题。该项目的核心问题是：如何让不可预测且容易出错的人工智能系统值得信赖，去操作核电站或电网等关键现实系统？

我能看到这里的必要性，而团队的答案很巧妙：为人工智能构建用于练习的复杂系统形式化模型。这些模型必须具有与现实系统相同的逻辑结构，正确表示许多不同类型对象之间的态射。

Capucci说：“范畴论提供了一种模块化和组合化的方法来实现这一点。我们正在开发可以在众多情况下部署的基础技术。”

应用范畴论者中有一种共识：随着系统变得越来越复杂和互联，随着人工智能的介入越来越深，他们的方法终将获得回报。凭经验行事是行不通的。Hadzihasanovic说：“这最终将是一项非常重要的工作。”

许多从业者进入这个领域是因为他们认同Baez的环境保护理念，并希望最终能处理更绿色的课题。Baez仍然抱有很高的期望。作为民谣歌手及活动家Joan Baez的表亲，他深受其叔叔（Joan的父亲）——一位同时也是积极参与社会活动的贵格会信徒的物理学家——的影响。他说，帮助这个世界而"不只是让自己开心"是"融入我骨子里"的东西。

我问他，他认为范畴论能帮助我们理解生物圈的哪些方面。

在他看来，我们对生物系统的范畴划分是不恰当的。我们误以为它们是机器，是通过摄入物质和能量，产生期望产出和废物的、执行特定任务的对象。Baez说：“我们只关注我们在乎的部分，而忽视了废物和能量的来源。我们整个技术，乃至整个数学，都建立在这种态度之上。”

然而，生命系统是另一类范畴。它们并非为执行任务而构建。他说，进化使生命变得“极其微妙和复杂，其方式我们无法完全理解”。例如，基因并非机器中各有其特定目的的独立部件；它们都有多种作用和影响。在生态系统中，没有废物；一个生物的排泄物是另一个生物的美餐。

“我认为我们还没有能够理解这类系统的数学，”Baez说，他认为对这些系统建模将涉及具有前所未研究的逻辑结构的新范畴。“这正是我想要发展的那种数学，因为我抱有一个希望：如果我们能更好地理解世界，不再将自然界视为我们机器随意取用、以实现我们目标的原材料，那么这将有助于我们更友善地对待这个世界。我们现在抱有的那种态度正在碰壁。那种态度最终会毁灭整个星球。”

的确，如果我们能将自己和其他生物、生态系统以及气候视为共同范畴中的对象，我们或许会更加珍视它们。

像这些数学家一样，我也渴望在做我所热爱的事情的同时，让世界变得更美好。（我们不都是吗？）从哲学角度看，我看到了应用范畴论的潜力。这种方法是否真能帮助人类或地球，时间会给出答案。但对于那些感到有召唤要去行善、也要去做数学的人来说，值得一试。

本文经授权转载自微信公众号“數學家”责编：。

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