弦理论唤醒一个沉寂半世纪的数学难题，引全球数学家关注

多年前，一位敢于冒险的菲尔兹奖得主马克西姆·孔采维奇提出了一个广泛的计划——同调镜像对称，他声称可以用来解决代数几何中的一个重大问题。但也有其他数学家持怀疑态度。现在，他说已得到一个证明。

撰文 | Joseph Howlett

翻译 | zzllrr小乐

图源：Kristina Armitage / Quanta Magazine

今年8月，一个数学家团队发表了一篇论文，声称用完全陌生的技术解决了代数几何中的一个重大问题。它立刻吸引了整个领域的注意，一些数学家对此颇为兴奋，但也有人持怀疑态度。

这项研究结果涉及多项式方程，即含有变量幂次组合的方程（如 y = x 或 x^² − 3xy = z^²）。这类方程是数学中最简单且最普遍的，至今仍是许多研究领域的基础。因此，数学家希望研究它们的解，而这些解可以用几何形状表示，比如曲线、曲面和被称为流形（manifold）的高维对象。

数学家想要驯服的多项式方程类型有无数种。但它们都可以归入两大类——一类的解可以通过简单公式直接计算，另一类则拥有更为丰富、复杂的结构。第二类正是数学精华所在——数学家希望集中注意力，以期取得重大进展。

然而，数学家们在将几种多项式分类到“简单”和“困难”之后，陷入了困境。在过去半个世纪里，即使是看起来相对简单的多项式也难以分类。

就在今年夏天，新的证明出现了[1]。它声称结束了僵局，提出了一个令人着迷的愿景，有望对大量此前看似完全无法触及的多项式进行分类。

问题在于，代数几何界没有人真正理解它。至少，现在还没有。该证明依赖于从弦理论世界引入的思想，其技术对致力于多项式分类的数学家来说完全陌生。

一些研究者信任论文作者之一、菲尔兹奖得主马克西姆·孔采维奇（Maxim Kontsevich，又译马克西姆·康采维奇）的声誉。但孔采维奇以大胆断言著称，这让另一些人感到犹豫。世界各地的数学系纷纷成立研读小组，解读这一开创性的成果，并缓解了紧张气氛。

这项评审可能需要数年时间。但这也为一个曾经停滞的研究领域重新燃起了希望。同时，这也标志着孔采维奇数十年来倡导的更宏大的数学项目取得了早期胜利——他希望该项目能搭建代数、几何与物理之间的桥梁。

米兰大学数学家保罗·斯特拉里（Paolo Stellari，他未参与该工作）表示：“普遍的看法是，我们可能正在研究未来的数学作品。”

有理化处理

分类所有多项式的努力涉及最古老的数学形式：求解方程。例如，要求解简单多项式 y = 2x，只需找到满足该方程的 x 和 y 的值。该方程有无限多解，例如 x = 1，y = 2。当你在坐标平面上绘制所有解时，会得到一条直线。

其他多项式更难直接求解，其解会在空间刻画出中更复杂、更高维的形状。

但对于其中一些方程，实际上存在一种非常简单的方法来找到所有可能的解。你不必分别给每个变量代入不同的数字，而是通过用新变量 t 来重写变量，一次性得到所有解。

考虑多项式 x^² + y^² = 1，它定义了一个圆。现在令 x = 2t/(1 + t^²)，y =(1 − t^²)/(1 + t^²)。当你把这些新公式代入原来的方程时，得到 1 = 1，无论 t 是多少，这一命题都始终成立。这意味着选择任意实数值，你就能立即得到原始多项式的解。例如，当 t = 1 时，得到 x = 2×1/(1 + 1^²） = 1，y = 0。 确实，x = 1， y = 0 是原始方程的解：1^² + 0^² = 1。

这种简单地框住所有解的方法称为有理参数化（rational parameterization）。它相当于将你原始多项式图上的每个点——在这里是圆——映射到直线上的唯一一点。

但如果方程的次数是3或更多，则不一定能被参数化。这取决于方程中有多少变量。

以典型的三次多项式为例：椭圆曲线，例如y^²=x^³+1，只有两个变量。“椭圆曲线很美妙，很精彩，但你根本无法参数化它们，”布朗大学的布伦丹·哈塞特（Brendan Hassett）说。没有简单的公式能给出椭圆曲线的所有解，所以无法将曲线映射到直线。“如果可以的话，它们就没那么有趣了，”哈塞特说。

与之前的例子不同，虚线有时会将椭圆曲线上的两个不同点（蓝色）映射到下面黄色线上的同一点。你找不到能避免这种情况的映射，这意味着椭圆曲线的解集比圆或球面更复杂。

取而代之的是，椭圆曲线的解拥有更丰富的结构——这个结构几个世纪以来都在数论中起到重要作用，密码学家也利用它来编码秘密信息。

那么，含有更多变量的三次方程呢？它们是否可以参数化，还是说它们的解结构更有趣，就像椭圆曲线那样？

1866年，德国数学家阿尔弗雷德·克莱布施（Alfred Clebsch）证明了三变量的三次方程——其解形成二维曲面——通常是可参数化的。

一个多世纪后，赫伯特·克莱门斯（Herbert Clemens）和菲利普·格里菲斯（Phillip Griffiths）发表了一项里程碑式的证明，证明大多数四变量的三次方程情况相反——通常无法参数化。这些方程构成了所谓的三维流形（3-folds）[2]：它们的解无法映射到简单的三维空间。

许多数学家因此猜测，下一个要分类的多项式——五变量的三次方程【形成所谓四维流形】——通常也不会是可参数化的。事实上，他们认为多项式在某个点之后就不应该是可参数化的。但克莱门斯和格里菲斯的技术并不适合四维流形。

因此，几十年来，分类工作陷入沉寂。

皈依先知

2019年夏天，在莫斯科的一次会议上，当马克西姆·孔采维奇发表关于4-流形分类的演讲时，许多数学家都感到惊讶。

首先，孔采维奇以采用高层次数学方法著称，喜欢提出雄心勃勃的猜想、勾勒宏大的研究纲领，而将更细微的细节和严格的证明写作留给他人。他在最近的一个项目中，形容自己是介于先知和白日梦者之间的角色。

马克西姆·孔采维奇更喜欢思考宏观的数学视野而非个别问题。丨图源：IHES / Flann Mérer

在过去三十年里，他专注于发展一种名为同调镜像对称（homological mirror symmetry）的项目，其思想根源来自弦理论。在1980年代，弦理论学者希望通过计算高维流形上的曲线数量，以解答宇宙基本结构如何运作的问题。

为了针对给定流形上的曲线计数，他们考虑了其“镜像”——另一个流形，虽然与原始流形非常不同，但性质上具有密切相关性。特别是，他们发现与镜像相关联的代数对象，称为霍奇结构（Hodge structure），可以揭示原始流形上的曲线数量。反过来也成立：如果你数镜像上的曲线，你会得到原始流形霍奇结构的信息。

1994年，孔采维奇提出了一个计划，试图解释这种对应的根本原因。他的方案还预测，这种对应关系可以扩展到弦理论之外所有类型的流形。

迄今为止，没有人知道如何证明孔采维奇的镜像对称性计划。“这将是下世纪的数学，”他说。但多年来，他一直在向前迈进，同时也在探索该项目可能带来的后果。

2002年，孔采维奇的一个朋友，迈阿密大学的卢德米尔·卡察尔科夫（Ludmil Katzarkov）提出了一个可能的结果：该计划可能与多项式方程的分类相关。

卡察尔科夫十分熟悉克莱门斯和格里菲斯1972年对3-流形不可参数化的证明。在这项工作中，两人直接研究了一个给定的3-流形的霍奇结构。然后他们用它证明了这个3-流形无法映射到简单的三维空间。但与4-流形相关的霍奇结构过于复杂，无法用相同的工具进行分析。

卡察尔科夫的想法是，通过计算某一类型曲线在其镜像上存在多少条曲线，间接地研究4-流形的霍奇结构。通常，研究4-流形霍奇结构的数学家不会像这样思考曲线计数，因为它们只会出现在看似无关的数学领域，比如弦理论。但如果镜像对称性计划成立，那么镜像上的曲线数量应当能揭示原始4-流形霍奇结构的特征。

卢德米尔·卡察尔科夫几十年来一直主张，镜像对称这一受物理学启发的雄心勃勃的数学计划，是解决代数几何中一个重大未解问题的关键。丨图源：Natalia Leal

具体而言，卡察尔科夫希望将镜像的曲线计数拆解成多个部分，然后借助镜像对称计划，证明四折体的霍奇结构也存在一种相应的分解方式。这样一来，他就可以研究这些“局部”的霍奇结构成分，而非整个结构，从而证明4-流形结构无法参数化。只要其中任何一部门无法映射到简单的四维空间，他就会得到证明。

但这种推理依赖于孔采维奇镜像对称计划在4-流形成立的假设。卡察尔科夫说：“很明显这应该是真的，但我没有技术能力去看清如何实现。”

不过他认识一个确实有这种能力的人——孔采维奇本人。

然而他的朋友并不感兴趣。

挖掘

多年来，卡察尔科夫试图说服孔采维奇将他的镜像对称性研究应用于多项式分类，但未能成功。孔采维奇想关注整个项目，而非这个具体的问题。直到 2018年，这对组合与宾夕法尼亚大学的托尼·潘德夫（Tony Pantev）一起，研究了另一个问题，涉及将霍奇结构和曲线计数拆解成多个部分。这让孔采维奇愿意倾听卡察尔科夫的设想。

卡察尔科夫再次向他讲述了自己的想法。孔采维奇立刻发现了卡察尔科夫长期寻求却未找到的另一条道路：一种从镜像对称中汲取灵感的方法，而不必真正依赖它。“你花了多年时间思考这个问题，答案却在几秒钟内出现，”卡察尔科夫说。“那真是个壮观的时刻。”

托尼·潘德夫通过将流形置于“数学镜子”前来研究它们的结构。丨图源：Felice Macera

孔采维奇认为，应该可以用4-流形自身的曲线计数，而不是其镜像的计数来拆解霍奇结构。关键在于找出一种方式，将这两者联系起来，从而得到所需的分解成分。这样他们就能分别关注霍奇结构的每一部分（或他们所称之的“原子”）。

这正是孔采维奇在2019年莫斯科会议上向听众展示的计划。对一些数学家来说，这听起来仿佛严谨的证明就在眼前。数学家是一群保守派，通常等待绝对确定性后才提出新观点。但孔采维奇一直更大胆一些。“他对自己的观点非常开放，非常具有前瞻性，”马萨诸塞大学波士顿分校的数学家丹尼尔·波梅雷亚诺（ Daniel Pomerleano）说，他研究镜像对称性。

但孔采维奇也明确指出，有一个重要因素他们至今仍不知道如何解决：一个公式，用来说明当数学家们试图将4-流形映射到新空间时，每个原子将如何变化。只有掌握这样的公式，他们才能证明某个原子永远不会达到对应于一个恰当“简化”的4-流形。这意味着4-流形不可参数化，其解丰富且复杂。“但不知为何，人们觉得他好像已经宣布问题解决了，”波梅雷亚诺说，因此人们期待很快有一个完整证明。

当预期中的证明迟迟没有出现时，一些数学家开始怀疑他是否真的掌握了解决方案。与此同时，当时在法国国家科学研究中心的余越（Tony Yue Yu）加入了团队。孔采维奇表示，余越的新见解和严谨的证明风格对该项目至关重要。

据他的同事们说，余越对细节的严谨关注以及他提出的新颖见解，在解决有关多项式方程的一个重要问题方面发挥了至关重要的作用。丨图源：Julia

新冠疫情期间，余越拜访了法国附近高等科学研究所的孔采维奇。余越回忆，他们享受着荒废学院的宁静，常常在讲堂里待上几个小时，那里的黑板更多。

他们定期通过Zoom与潘德夫和卡察尔科夫会面，迅速完成了证明的第一部分，精确地弄明白如何利用给定4-流形上的曲线数量将其霍奇结构分解为原子。但他们很难找到一个公式来描述原子如何变换。

他们不知道的是，一位曾在莫斯科听过孔采维奇讲座的数学家——京都大学的入谷宽（Hiroshi Iritani）——也开始追求这样的公式。“他被我的猜测深深吸引，”孔采维奇说。“我当时并不知道，但他开始着手工作了。”

2023年7月，入谷宽证明了一个公式，即“原子”在4-流形映射到新空间时的变化[3]。该公式所提供的信息尚不足以直接满足孔采维奇及其合作者的需求，但在接下来的两年里，他们找到了如何完善这些信息的方法。最终，他们用新公式证明，4-流形总会至少有一个“原子”无法变换到简单的四维空间。4-流形无法参数化。

仍在进行中

当团队在今年8月发布证明时，许多数学家都感到兴奋。这是分类项目数十年来最大的进展，也暗示了一种超越4-流形的多项式方程分类的新方法。

但其他数学家并不那么确定。自莫斯科那场讲座已经过去六年。孔采维奇这一次是否终于兑现了当年的承诺？抑或仍有关键细节尚待补全？

当证明的技术如此陌生——是弦理论的领域，而非多项式分类时，他们又如何能消除疑虑？“他们说，'这是黑魔法，这里的机制究竟是什么？'”孔采维奇这样说道。

“他们突然带来了全新的方法，使用了之前被广泛认为与该主题无关的工具，”麻省理工学院的白少云说，“真正了解这个问题的人，并不了解这些工具。”

白少云是目前几位试图弥合这一理解鸿沟的数学家之一。过去几个月，他共同组织了一场由研究生、博士后研究员和教授组成的“阅读研讨会”，希望能理解这篇新论文。每周，一位不同的数学家会深入探讨证明的某个方面，并向整个小组进行讲解。

但即使到了现在，经过11次90分钟的会议，参与者在证明的关键细节上仍然感到迷茫。白少云说：“这篇论文包含了精彩的原创思想，需要大量时间来消化。”

类似的研读小组也在巴黎、北京、韩国等地聚集。“全世界的人们现在都在研究同一篇论文，”斯特拉里说。“这本身就是一件很特别的事情。”

哈塞特将其比作格里高利·佩雷尔曼（Grigori Perelman）2003年对庞加莱猜想的证明，后者同样采用了全新的技术来解决一个著名问题。直到其他数学家用更传统的工具复现佩雷尔曼的证明后，数学界才真正接受了它。

“会有阻力，”卡察尔科夫说，“但我们做了工作，我相信这是正确的。”他和孔采维奇也认为这是镜像对称性计划的一大胜利：尽管距离真正证明该计划仍有相当距离，但这一结果为其正确性提供了新的、有力的证据。

“我年纪大了，也很累，”卡察尔科夫说。“但只要我还活着，我就愿意发展这个理论。”

参考资料

[1] https://arxiv.org/abs/2508.05105

[2] https://www.jstor.org/stable/1970801

[3] https://arxiv.org/abs/2307.13555

本文经授权转载自微信公众号“zzllrr小乐”，原标题“弦理论激发了一个精彩且令人费解的新数学证明（同调镜像对称）——量子杂志”有修订。原文译自：https://www.quantamagazine.org/string-theory-inspires-a-brilliant-baffling-new-math-proof-20251212/

特 别 提 示

1. 进入『返朴』微信公众号底部菜单“精品专栏“，可查阅不同主题系列科普文章。

2. 『返朴』提供按月检索文章功能。关注公众号，回复四位数组成的年份+月份，如“1903”，可获取2019年3月的文章索引，以此类推。