气球和小黄鸭带来灵感，数学家得到当今湍流数学最具影响力的成果

作者按

诺贝尔物理学奖获得者理查德·费曼（Richard Feynman）曾经说过：“湍流是经典物理学中最后一个尚未解决的重要问题。”自奥斯本·雷诺（Osborne Reynolds）于1883年在曼彻斯特进行圆管流动实验以来，湍流现象已被广泛研究近140年，其物理表象背后的数学机理至今仍未明朗。传闻量子力学奠基人之一，以不确定性原理名留科学史的海森堡（Werner Heisenberg），在人生的最后阶段曾感慨道：“当我见到上帝后，我一定要问他两个问题——什么是相对论，什么是湍流。我相信他对第一个问题应该有答案。”海森堡以玩笑似的口吻暗示上帝都不一定理解湍流的数学本质，可见，这个难题是如何复杂与艰巨，令人望而生畏。

如今，三位数学家敲开了关于湍流问题的一个小口。

编译 | 嘉伟

三维不可压缩纳维-斯托克斯（Navier-Stokes）方程组的整体光滑解是否存在，是克雷数学研究所公布的七大百万美元“千禧问题”之一。这是一组描述流体运动的偏微分方程，用于刻画水之类的流体的动力学行为。本质上，不可压缩流体还是相对简单的研究对象，应对可压缩纳维-斯托克斯方程的非线性问题更加棘手。

如果有一场“人类vs.大自然”的求解纳维-斯托克斯方程数学竞赛，那到目前为止，人类可以说是处于完全的下风。别说求解，我们就连证明有（光滑）解都做不到——它当然有解，每次拧开水龙头，大自然都相当于求解了一遍纳维-斯托克斯方程。由于必要的理论工具的缺席，现在流体力学的研究应用是高度依赖实验的。

阻碍理论进步最大的关隘就是流体中的湍流现象——现代科学中最大的谜题之一。方程在流体流动顺畅时运行良好，而一旦流动变得湍急，流体就会分裂成多个漩涡，这些漩涡进一步分裂成更小的涡流。这种模式将一直持续下去，直到微观分子间的碰撞阻止了新涡旋的形成。这些不同尺度的漩涡彼此影响，无法用方程精确预测流体中某一粒子的运动路径。就像把橡皮小黄鸭或漂流瓶丢进汹涌的水流里，没人能准确预判它接下来会漂去哪里。

或许最著名的湍流图像是文森特·梵高 （Vincent van Gogh）1889年的画作《星夜》（The Starry Night）。丨图源：Turbulence - Wikipedia

通过数据收集和计算机模拟，物理学家已经推断出湍流的一些特性，但这些结论往往无法在数学上严格证明。所以说，湍流的数学之谜正是纳维-斯托克斯方程组的核心内容。

好消息是，2024年有三位数学家取得了“湍流数学领域里最具影响力的成果之一”。他们的论文Superdiffusive central limit theorem for a Brownian particle in a critically-correlated incompressible random drift（翻译过来应叫《临界相关不可压缩随机漂移中布朗粒子的超扩散中心极限定理》）直到不久前才通过了同行评议。其中的数学内容无疑是艰深晦涩的，但启发数学研究的相关故事则轻松有趣。前沿数学研究的历史背景里，有万人空巷的气球竞赛，也有漂流瓶、橡皮小黄鸭赋予的形象比喻。虽然我们很难理解问题的解答过程，但至少可以了解这个问题的来龙去脉，以及其物理含义。

古老的漂流瓶与被大风吹走的气球

传说中，使用漂流瓶的最早记录来自古希腊的哲学家狄奥弗拉斯图（Theophrastus），他在公元前310年左右投放漂流瓶，以研究海洋洋流的路径。

到目前为止，有记录最古老的漂流瓶发现于2018年，有人捡到了一个可以追溯到1886年，也就是132年前的漂流瓶，它当时被半埋在西澳大利亚海滩里。后来证实，瓶子来自印度洋上的一艘轮船，漂流了一个多世纪，然后在距离当初轮船近950公里的地方被人发现。瓶中信可不是格兰特船长的求助信，而是一份问卷调查！那是德国在1864年启动的洋流绘制计划。

瓶中信一面标有日期、抛弃瓶子时船的确切坐标、船名、母港和行驶路线。另一面则是问卷，询问捡到者的地理位置，并请求其将问卷寄往当地的德国领事馆。丨图源：Western Australian Museum

这个故事虽然有趣，但并非本文重点。或许值得注意的是，为什么那处海滩上只有一个当年的漂流瓶？答案是显而易见的：时间过去太久，因为各种随机性因素，同一批瓶子有充分的时间漂到不同的地方。

20世纪的贵格会科学家刘易斯·弗莱·理查森（Lewis Fry Richardson），在一场当年轰动欧洲的气球航空赛事里，思考了短时间尺度上的类似问题：为什么16个载人气球落到了不同的地点？

那是1906年9月30日下午，20万巴黎市民聚集在市中心附近，观看一场气球赛事的首秀。来自七个国家的十六位顶级航空家齐聚一堂，目标是在不依靠动力系统、仅凭控制氢气排放阀的条件下，尽可能飞得更远。这项比赛后来发展成为全球最具声望的气球竞赛——戈登·贝内特杯（Gordon Bennett Cup）。

1908年柏林承办戈登·贝内特杯热气球飞行比赛时，名为“征服者”的巨大气球坠落，“皮”披在柏林市区的房屋上。丨图源：Gordon Bennett Cup (ballooning) - Wikipedia

这些高达50英尺的黄色和琥珀色气球缓缓升空，天气平静如常。但随着夜幕降临、观众散去，风向突变，气球被猛烈地吹散至诺曼底各地，甚至横渡英吉利海峡，飘入英国。

看似平凡的现象与非凡的见解

这些航空家无意中参与了一项实验——这项实验最终改变了数学物理的进程。近20年后，理查森在研究气象湍流影响时，在《航空学杂志》（The Aeronautical Journal）中看到了当年这场比赛的着陆点数据。他将这些数据与自己收集的其他资料一起绘制成图表，包括火山爆发后火山灰的飘散路径以及蒲公英种子随风飞扬的轨迹。

现代科学家研究气象湍流的途径之一是监测美丽的极地中间层云（Polar mesospheric clouds，PMC），也称为夜光云（Noctilucent clouds），这是一种罕见的高空云层。科学家希望应用它们来理解大气中的湍流现象。丨图源：NASA/PMC Turbo/Joy Ng

在所有案例中，他都观察到一个共同的模式：无论是大尺度还是小尺度，大气的湍流旋涡都能高效地将物体散播出去。理查森据此提出了一条关于湍流扩散的一般性规律——通常称为“三分之四律”（4/3-Law），其核心内容可以表述为：

也就是说，尺度越大，粒子扩散得越快。这一“超扩散”特征正是湍流区别于普通布朗扩散的标志。

这一推测与实验数据相符，但与描述相类现象的数学物理方程相冲突。数学家们至今仍在努力对其进行严格证明。

不过和本文相关的是理查森提出的另一个关于湍流的重要观点。他假设，如果把两只橡皮小黄鸭或漂流瓶同时放入河中，它们之间的距离会比预期增长得更快——在那些旋涡的相互作用下，这两只小黄鸭仿佛获得了额外的推动力。

芝加哥鸭子德比（Chicago Ducky Derby）是一项慈善赛事，每年在芝加哥河举行，成千上万只橡皮鸭被投放入水，竞速漂流至终点。|图源：Chicago Sun-Times

这种“加速扩散”现象如今被称为“超扩散”（Superdiffusion），已被公认为湍流的典型特征。但长期以来，哪怕是在高度简化的流体模型中，这一现象都未能被严格证明。

直到（隶属纽约大学的）柯朗数学科学研究所的两位数学家斯科特·阿姆斯特朗（Scott Armstrong）、艾哈迈德·布-拉比（Ahmed Bou-Rabee）和赫尔辛基大学数学系的图奥莫·库西（Tuomo Kuusi）去年针对简化模型给出了正确的证明。

对于斯科特·阿姆斯特朗来说，这项成果的意义远远不止于湍流研究。在过去十年中，他一直在推广一种被数学界认为是偏门的数学技术，但他坚信这种技术潜力巨大，即使很多同行对此持怀疑态度。而现在，他凭借这项技术解决了一项重要的湍流问题，他希望能让其他数学家对此开始改观。

命运的湍流

阿姆斯特朗最初并未预想会涉足湍流研究。“十年前，我甚至不知道湍流是什么，我是研究一个非常冷门的问题时，意外进入这个领域的。”

斯科特·阿姆斯特朗。丨图源：Pierre Kitmacher/Quanta Magazine

他当时正在分析一种金属材料的简化模型，采用了一种名为“均质化”（homogenization）的数学方法。在合适的条件下，均质化能证明：一个在微观层面看似复杂、混乱的系统，在宏观尺度上可能呈现出简单有序的行为。简而言之，这是一种试图证明“小尺度噪声”在大尺度下会被平均抹平的手段。

均质化方法通常只适用于非常受限的情境，小尺度的“噪声”必须在某个范围内，不能太极端。正因如此，数学家通常只会将均质化用于分析物理系统最简单的模型。

然而，阿姆斯特朗在均质化中看到了其他人未曾看到的美与潜力。他相信，只要将这项技术加以打磨，它完全可以用于更接近现实、更加混乱的环境中。“我一直相信，这种方法最终会适用于许多问题。”他说，“如果我能让它真正奏效，那它将成为一个重要的思想工具。”

而他需要一个真正具有挑战性的试验场。他想要用均质化来证明一个人们普遍认为难以应对的问题，一个能引起数学物理学家重视的问题。

这正是湍流登场的时刻。

理查森的童谣和数学的魔法

理查森早在20世纪初就提出：湍流中的大涡旋会驱动较小的涡旋，能量从大尺度向小尺度逐级传递，直至最微观的尺度——在那里，分子间的摩擦把动能转化为热能。他还写了一首打油诗概括这个过程：

“大涡生小涡，速度催涡多；

小涡生细涡，层层归粘着。”

（Big whirls have little whirls that feed on their velocity, and little whirls have lesser whirls and so on to viscosity.）

这一能量“瀑布式”下行过程，会使得水中两只橡皮鸭之间的距离增长速度超过常规扩散所预测的速度，即“超扩散”。

但像许多湍流现象一样，几代数学家始终未能对此加以严格证明。

上世纪80年代末，一批物理学家决定简化问题。他们构造了一个理想化的湍流模型，这种流体仍具备湍流的旋涡特性，但遵循的方程要简单得多。然后，他们提出了与理查森相同的问题：在这样的流体中投放橡皮鸭或漂流瓶，它们扩散得有多快？

他们猜测粒子会出现超扩散现象，尽管速度可能与真实流体不同。他们用物理学中的重整化（renormalization）技术计算了这个速度。但重整化方法在数学上缺乏严格性——著名物理学家费曼曾称之为“魔法咒语”（hocus-pocus）。数学家仅在少数特定情形中对其进行了严格化处理。

这里用一个不甚准确的例子来说明什么是重整化。比如说，描述某个物理量随空间坐标变化的函数，就是简单的反函数

我们输入非0的x值，都能得到和实验一致的数据。但是，当x为0时，f(0)变成了无穷大。但是真实的物理过程并不存在无穷大的物理量。实际上，实验也显示，f(0)作为一个物理量存在有限的大小。

这种状况令一代物理学家抓狂。理查德·费曼则提出了一个观点：在数学公式可以得到有意义的物理量的时候，使用这个公式；当公式在某些点上失去物理意义的时候，就直接把这些点的函数值“定义”为实验数据给出的数值！（现在该数学家抓狂了！）

在某些情况下，数学家找到了重整化这一手段的理论依据。而它也成为了现代物理学的核心概念。按照现代的理解，重整化其实描述了系统动力学在不同尺度上的变化。理解和直观呈现重正化的一个好方法或许是伊辛模型（Ising model）。稍微一提，对伊辛模型的研究，已经催生好几位菲尔兹奖得主。不过，现代数学家虽然可以理解重整化，但是重整化问题中仍存在很多盲点。

因此，即便数学家能在该模型中证明粒子扩散的某些性质，却始终无法证明“超扩散”这一核心命题。

阿姆斯特朗设想，他可以用均质化来为物理学家的重整化论证奠定更坚实的数学基础。

为证明粒子确实能在湍流中加速扩散，阿姆斯特朗必须先弄清楚这种扩散大致呈现何种结构。这正是他希望引入均质化的地方。他要在大尺度上证明流体行为可用更简单的方程描述，并从中推导出粒子的扩散速率。然而其他数学家对此持怀疑态度，此前有人尝试用均质化处理湍流问题，但都无果而终。因此，当他提出这个目标时，有人直言：“你不可能证明它。”

阿姆斯特朗没有放弃。他与长期合作伙伴、赫尔辛基大学数学家图奥莫·库西（“我好像跟他结婚了一样。要怎么形容你最好的朋友呢？”），以及他的博士后艾哈迈德·布-拉比组成团队，他们决心将均质化武装到足以对抗物理学家的“魔法”的程度。

他们设想在流体上叠加一张细网格，并计算粒子在每个小格中平均停留的时间。有些网格内的流体如急流般湍急，粒子快速穿越；而另一些则充满漩涡，使粒子打转，停留时间变长。

追踪湍流里的布朗运动。丨图源：Superdiffusive central limit theorem for a Brownian particle in a critically-correlated incompressible random drif

问题在于：这些数据点之间的差异过大，正是通常阻碍均质化应用的“混乱”。

他们的策略是逐步扩大网格的尺度，以观察是否能在略大尺度上使系统行为变得更平稳、更可预测。一些数学家认为这太天真，因为中间尺度上的涡旋相互作用更复杂，导致混乱加剧而非减少。

但他们并没有就此停下来。他们画出更粗的网格，每个大格子包含多个原始小格子。原先分散的小涡旋此时可能聚在一起，改变了粒子在该区域的平均行为。他们再次计算粒子停留时间的变化，追踪流体行为如何改变粒子运动。

他们不断重复这一过程，逐步粗化网格，并在每一步证明：相邻区域之间的差异在逐渐缩小。最终，他们在一个相对较大的尺度上，成功使用了传统均质化方法。

这一成就耗费了300多页推导，整整花了两年时间。“这过程非常密集。”布-拉比说。“很多个周六早晨我们6点起床，直奔办公室，一干就是一天。”

最终，他们成功证明：在这个简化湍流模型中，两粒固体颗粒的扩散速度正是物理学家们几十年前预测的超扩散速率。

他们成功证明了“超扩散猜想”。

令人钦佩的成就

该研究分为两篇论文，首次在数学上严格描述了湍流流体高效扩散粒子的机制。它呼应了理查森一个世纪前通过气球数据所观察到的现象。“这样的结果并不常见，”多伦多大学的数学家杰里米·夸斯特尔（Jeremy Quaste）说，“令人钦佩，很多人都很钦佩。”

对阿姆斯特朗来说，这是长久以来他对均质化信念的验证。“没人预料我们能这么快跳出自己的领域，”他说，“但现在我们正在用这种方法解决其他领域的问题，而这原本看不到任何希望。”

更重要的是，他们建立了一种新的方法论。他们研究的流体是对真实湍流的粗略模拟，而现实中的尺度交互更强、超扩散更极端。所以，他们的方法或许能应用到更现实的湍流模型中，甚至扩展到粒子物理等其他使用重整化的领域。

除了湍流外，也存在简单有序的层流。流体力学中层流的特点是，流体粒子以平行层状运动，相互通过，没有过多混合，低速时在镜头下看起来就像冰一样。这三位作者也度过了人生里的湍流阶段，进入了美好的层流时期——看似静止，其实奔流不息又有条不紊。

打开水龙头，看看生活中的层流丨图源：Science of the Universe

参考文献

[1] Scott Armstrong, Ahmed Bou-Rabee, Tuomo Kuusi, Superdiffusive central limit theorem for a Brownian particle in a critically-correlated incompressible random drift, arXiv:2404.01115

[2] Snyder, Wallace Hutton. A field test of the four-thirds law of horizontal diffusion in the ocean. Diss. Monterey, California. US Naval Postgraduate School, 1967.

[3] Joseph Howlett, New ‘Superdiffusion’ Proof Probes the Mysterious Math of Turbulence Quanta Magazine

[4] RossAnderson, ChristinePorr, ‘DieseccFlasche wurde űber Bord geworfen’:amessage in a bottle from the German barque Paula(1886)discovered atWedge Island,Western Australia, WesternAustralianMuseum. https://museum.wa.gov.au/maritime-archaeology-db/sites/default/files/ma_report_325_paula_bottle_message_020318_0.pdf

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