浅谈兰彻斯特方程

前面一篇文章回复太多，我回复不过来，请谅解。

估计有人以为兰彻斯特平方定律，是假设出来的，其实不是，是推导出来的。我现在就把教科书上的兰彻斯特方程给搬运过来，让大家了解一下。

在甲乙双方的一次战役中，甲乙双方在开始时投入士兵数分别为x0与y0,  t时刻甲乙双方的士兵数量分别为x(t)与 y(t)，甲乙双方的有效战斗系数（包括士气  武器装备  指挥艺术等）分别为a和b，即甲方平均一个士兵使乙方士兵在单位时间内的减员数为a,在t时刻，甲乙双方士兵的增援率分别为f(t)与g(t)，如果把士兵病故 逃亡等因素忽略不计，那么两正规部队作战的数学模型为

﹛dx／dt=-by+f(t) ,               ﹛x(0)=x0 ，

﹛dy／dt=-ax+g(t) ,              ﹛y(0)=y0 。

（注我打不出超大的﹛，所以只好以上下两个﹛代替，下面也是一样。）

这是一常系数非齐次线性微分方程组的Cauchy问题。

首先我们讨论双方均无增援的情形，此时模型变为齐次线性微分方程组的Cauchy问题。

﹛dx／dt=-by ，            ﹛x(0)=x0 ，

﹛dy／dt=-ax ，            ﹛y(0)=y0 。

在相平面xOy上，它的轨线应满足方程

dy／dx=(a／b)( x／y)

这是个可分离变量的一阶微分方程，它的通积分为

by²-ax²=C

这是一族双曲线，

用初始点确定出常数C后，得轨线方程为

by²-ax²=by²0-ax²0

后面还有一大段分析，我就不转了，估计你们也没兴趣，最后搬运分析结论：

对轨线方程的分析不难看出，无论哪一方想获胜，那么要么提升其士兵的初始数量，要么提升其有效战斗系数。

而且可以看出增加士兵数量将更为重要，因为它是以平方形式出现的，这就是著名的兰彻斯特平方定律。

很明显看出，这个兰彻斯特方程，不仅适用于古代农业社会的战争，也适用于现代化工业社会的战争，也可适用于将来的信息化无人战争，我们只要把那些无人机  机器狗等无人作战单位，设想成士兵一样，照样可以计算无人作战单位的损伤情况和胜负分析。

但是无论怎么变，数量平方定律是一定的。

再解释一下，这个有效战斗系数（包括士气  武器装备  指挥艺术等），同样一支军队，面对不同的对手，系数是不一样的。比如美军面对我军，和面对俄军，前者的有效战斗系数比后者低多了，因为现代是体系化战争，俄军短板太多，形不成完整的作战体系，而我军要完整的多。

打个比方吧，臭名远扬的国足，到了世界杯决赛圈赛场，肯定是被虐的料。但是跟我们普通人踢足球，不仅进球数会多，而且还会赢得很漂亮，甚至能进很多世界波。你让国足在世界杯决赛圈对手面前进几个世界波试试！

严格说起来，即使同一支军队，面对一样的对手，它的王牌部队，和一般部队，有效战斗系数都不一样。

有效战斗系数不一定精确，那兰彻斯特方程还有没有用？

有啊，可以大致估算胜负，让心里有个底。就跟红蓝演习和兵器推演一样，红蓝演习，可能真打吗？咋可能！兵棋推演，对于双方的武器的毁伤效应和战斗能力，不也是估算嘛。