美丽而“无用”的莫比乌斯反演，解决了一类物理问题

“数论为我们提供了取之不尽的有趣真理——这些真理并非截然孤立，而是有着密切的内在联系，随着知识逐渐增长，我们就会不断发现它们之间新的、有时是完全意想不到的联系。”

——高斯

撰文 | 丁玖（美国南密西西比大学数学系教授）

读者，请你把一张纸卷成圆柱形，再找一支铅笔头，将它的底部紧贴在圆柱面外侧，这时笔尖朝外垂直于圆柱面。如果你保持两者垂直，将铅笔在圆柱面上绕一圈，或更一般地，让铅笔垂直于柱面，并沿其上不越过边界圆周的任意一条闭曲线移动一圈，就会发现铅笔尖的指向连续地变动，最后又回到了最初的位置。如果将铅笔头底面紧贴在纸圆柱的内面，做同样的绕圈事，结果一样。这说明这个圆柱面是“双侧”的，它具有内侧和外侧。指定了其两侧之一的定侧，就依赖“右手法则”确定了曲面上任一条闭曲线的定向——正向和反向。这是每一个孩子都能看懂的几何现象。

学过曲面积分的读者都知道，作为积分区域的曲面必须是可定侧的，否则曲面积分就无从谈起。上世纪八十年代，我在密歇根州立大学数学系的博士论文导师李天岩教授告诉我，他是这样教他读初中的儿子入门拓扑学概念的：取一张窄窄的长纸片，不是像上面那样，将两条短对边粘起来形成矮矮的圆柱面；而是先将其中一条短边扭转180度后，再与另一短边粘连。这样也得到了一个纸曲面。然后他让儿子做与上一段相同的试验，结果发现，当铅笔沿着一条方向与长对边差不多一致的闭路，保持与曲面垂直连续绕一圈后，铅笔尖终止的方向却与最初的方向恰恰相反！当然，这个现象当闭路小到只是围绕曲面上一点的圆圈时不会发生，然而导致“调转方向”反常现象发生的闭路的存在性，充分说明这个奇怪曲面有着截然不同于普通圆柱面的拓扑性质。

这个奇怪的曲面是“单侧”的，不被微积分大厦内曲面积分的房间卫士批准进门，然而它不仅形象直观，而且内涵丰富，其专业名称是“莫比乌斯带（Möbius strip）”，以发现者之一、德国数学家及天文学家莫比乌斯（August Ferdinand Möbius，1790-1868）的姓氏命名。比他早了几个月的另一个发现者是德国数学家里斯汀（Johann Benedict Listing，1808-1882）。莫比乌斯带是莫比乌斯一生中最广为人知的数学发现，因为人们一看就懂。然而，他不那么广为人知的数学工作所引出的莫比乌斯反演公式，却是本文的主题。

莫比乌斯反演

莫比乌斯反演公式最原始的思想，与我们熟知的级数部分和数列与级数通项数列的简

莫比乌斯反演公式至今有许多推广和变种，但最有名也最简单的那个堪称“经典”，在数论和组合数学中有众多用途。为了理解这个原始公式，需要介绍几个初等术语。首先，所谓的“反演（inversion）”是中学代数里反函数概念的推广。当函数y=f(x)在

莫比乌斯函数

鉴于莫比乌斯函数μ在反演公式中所起的关键作用，我们来探讨它的基本性质。先熟悉一下莫比乌斯函数值数列中的最前面一打数字：μ(1)=1, μ(2)=-1, μ(3)=-1, μ(4)=0, μ(5)=-1, μ(6)=1, μ(7)=-1, μ(8)=0, μ(9)=0, μ(10)=1, μ(11)=-1, μ(12)=0。该函数的第一个基本性质为：它是积性（multiplicative）的，即只要两个自然数m和n互素（除1外没有其他正公因数），等式μ(mn)=μ(m)μ(n)就成立。事实上，当

这就证明了(I)。

从算术函数f到算术函数g的函数值g(n)，由于定义以及反演公式(I)只是通过有限和的形式表达的，我们仅仅用到莫比乌斯函数的因数和公式(1)就“初等地”证出了莫比乌斯反演公式(I)。用同样的方法可以证明，若f和g满足(I)，那么它们也满足(*)。人们将g称为f的莫比乌斯变换（Möbius transform），而把f称为g的莫比乌斯逆变换（inverse Möbius transform）。注意，还有一个中文翻译也是“莫比乌斯变换”的英文数学术语Möbius transformation，它指的是将复数映成复数的线性分式变换w=(az+b)/(cz+d)。

如果在莫比乌斯变换中将f和g分别换成In f和In g，则(*)和(I)隐含下列乘法形式的莫比乌斯反演公式

狄利克雷卷积

学过傅里叶变换的读者对函数之间的卷积（convolution）运算不会感到陌生。两个函数f和g的卷积f*g被定义为其中一个函数与经过反射与移位作用后的另一个函数乘积的积分，表示一个函数的形状如何被另一个函数改变。如果f和g的定义域都是整个

法，易证f*g=g*f，即卷积运算满足交换律。傅里叶分析中的卷积定理说，如果F和G分别是f和g的傅里叶变换，那么F和G的乘积的傅里叶逆变换是f和g的卷积。对于工程数学中常用的拉普拉斯变换，也有类似的卷积定理。

那么，卷积的思想和方法和“莫比乌斯反演”也有关系吗？当然有！这就是在数论中用于算术函数的狄利克雷卷积，此概念简直就是莫比乌斯反演的直接推广。它的定义与莫比乌斯反演公式(I)右端的表达式极为相似，除了那里的莫比乌斯函数μ被一般函数取而代之：令f和g为算术函数，则f与g的狄利克雷卷积是算术函数

此外，狄利克雷卷积也像整数乘法一样，满足结合律和分配律：(f*g)*h=f*(g*h)及f*(g+h)=f*g+f*h。就狄利克雷环而言，当且仅当算术函数f满足f(1)≠0，它有狄利克雷逆，即存在算术函数f-1使得f*f-1=ε。特别地，常数函数1的狄利克雷逆就是莫比乌斯函数μ，即有下一段论证中所需要的关系1*μ=ε。这里我们已用1代表在自然数集

由此可见，在狄利克雷卷积的语境内，经典莫比乌斯变换的表述就是：

g=f*1当且仅当f=g*μ。

一般理工科大学生大概是从傅里叶级数或偏微分方程边值问题中得知德国数学家狄利克雷（Gustav Lejeune Dirichlet，1805-1859）的大名，但不要误以为他只专“分析数学”，就像今日几乎所有数学家那样只精通一门手艺。他同时是数论大家，开创了解析数论分支。函数的现代定义也源自于他，让今日全球的中学生从这最合理的定义中获益。

既然莫比乌斯反演只是“单位算术函数1的狄利克雷逆是莫比乌斯函数μ”这个事实的“代名词”，原始的莫比乌斯变换双公式(*)和(I)马上可以推广成如下的一般反演公式：假定算术函数α有狄利克雷逆，那么

上面第二个等号是因为按mn=k进行分组，重排求和次序。

对应于离散情形下的一般公式(#)，(**)和(Ⅱ)的推广形式是：

欧拉函数

既然经典的莫比乌斯反演公式是为数论而生，不给出它在数论中的一个具体应用似乎说不过去。我们就选数论中名气大的欧拉函数φ做例子。该函数是欧拉（Leonhard Euler，1707-1783）于1763年引进的，它在自然数n处的值φ(n)被定义为不大于n并与n互素的自然数的个数。前十个欧拉函数值是φ(1)=1, φ(2)=1, φ(3)=2, φ(4)=2, φ(5)=4, φ(6)=2, φ(7)=6, φ(8)=4, φ(9)=6, φ(10)=4。

分圆多项式

我们再将莫比乌斯反演公式用于一类多项式。多项式方程zn-1=0的复数解称为1的n次根，它们是

无穷级数

至此所讨论的级数都是“有穷级数”，即有穷个数的和式。下面考虑几个无穷级数，对它们进行“级数通项分组重排”的莫比乌斯反演手术时，需要保证运算正确，一个使得手术成功的充分条件是相关级数“绝对收敛”，一旦无穷级数出笼，这个假设将不加交代地给出。理由很简单：仅仅条件收敛的级数可以重新排列通项数列使得新级数改变其和。我们先考虑以博学家（polymath）兰伯特（Johann Heinrich Lambert，1728-1777）姓氏命名的一类特殊级数。对于无穷数列{f(n)}，假定|x|<1，运用等比级数求和公式，有

意想不到的联系

行文至此，谈到的莫比乌斯反演公式及其应用都未跨出纯粹数学的地盘。难道它在其他学科找不到应用吗？数论曾被认为是纯得不能再纯的数学分支，极具美学价值，至少英国数论大家哈代（Godfrey Harold Hardy，1877-1947）坚信只有微积分之类的“低档次数学”才可以被应用科学家拿来玩一玩，而数论被数学王子高斯视为“数学的皇后”，只能欣赏其美，却不能被指派任务。全球物理学界似乎也没有真正对莫比乌斯反演公式动过多少心思。直到1990年，顶级物理学期刊《物理评论快报》（Physical Review Letters，简写PRL）在第六十四卷第十一期上发表了一篇中国人独自署名的论文，甚至惊动当时的《自然》主编，为此刊发了整版评论。

这位中国学者名叫陈难先（1937-），毕业于北京大学物理系，1984年在宾夕法尼亚大学获得电气工程与科学博士学位。他在这篇别开生面的文章发表七年后当选中国科学院院士。文章的题目是“修正莫比乌斯反演公式及其在物理学中的应用（Modified Möbius inverse formula and its applications in physics，Phys. Rev. Lett. 64，1193；1990）”。

那么，陈教授修正后的莫比乌斯反演公式是什么呢？它在形式上与经典公式最大的区别是：新公式是一对无穷级数表达式，后者是前者的反演表示（为与本文符号一致，我将原文中的A改成G，将B改成F，将ω改成x）：

上述两位作者在书中证明了古典的莫比乌斯反演公式(I)及其实变量情形推广形式(Ⅱ)后，已经不太耐烦了，就定理270而言干脆给读者下达了证明任务：The reader should have no difficulty in constructing a proof with the help of Theorem 263; but some care is required about convergence.（读者在定理263的帮助下构建证明应该没有困难；但需要注意收敛性。）受此鼓舞，我摊开纸做他们布置的习题，发现与证明(Ⅱ)几乎一模一样。下面我就用与证明家庭作业（homework，简写HW）题(HW)同样的方法验证(CNX)：

希望这两个公式也能找到对物理科学的应用。

陈难先院士不仅在研究上有创造力，而且也热心为大众写作。我孤陋寡闻，迟至2020年读到他为《数学文化》写的一篇美文《末毕其人其事》，才第一次知道他的大名。标题中的“末毕”就是他采纳的Möbius译名，理由就在文中第一段：“笔者以为，深谙英、德文字发音的王竹溪（1911-1983）先生翻译得最好：末毕。”我赞叹：物理学家就是与众不同！同时也纳闷：为何他对末毕情有独钟？现在恍然大悟了：那时再向前三十年，德国数学家先贤就已找到一个半世纪后的中国物理学家知音！

由于陈难先教授的PRL论文吹响了将数论旗帜插在物理山巅的号角，世界顶尖期刊《自然》那年自然对他特别关注。主编马多克斯（Sir John Royden Maddox，1925-2009）爵士在1990年3月出版的第三百四十四卷News and Views（新闻与观点）专栏中写了一页评论，文前提要是：“谁说数论是纯粹学术性的而与实用无关？古老的莫比乌斯定理意外地被证明可用来解决物理反演问题，可能具有重要应用 (Who says that the theory of numbers is strictly academic? An old theorem due to Mobius has unexpectedly proved to be a way of solving physical problems of inversion that may have important applications)。”该评论称赞陈难先先生“通过巧妙的运用将莫比乌斯反演定理付诸实践”，并列举了这位创造型物理学家在其PRL论文中细表的三个实践例子。在评论的最后，主编觉得可以合理地猜测，“陈的证明表明，即使是莫比乌斯也保守着现代世界的奥秘，现在会有一小群人在数论文献中搜寻，希望找到其他有用的工具，而这个领域此前可能被误认为是不毛之地。( It is fair to guess that, with Chen's proof that even Mobius has something to tell the modern world, a small army will now be scouring the literature of the theory of numbers in the hope of finding other useful tools in what may have been unjustly regarded as a backwater.)”

他说得一点不错。纯粹数学的种子，无论是历久弥新的经典公式还是热气腾腾的新鲜理论，只要广泛撒向物理世界的广袤大地，都有可能结出丰硕的果实。物理学家们，多接触些数学吧！数学家们，去交物理学家朋友吧！

写于2024年1月3日星期三

美国哈蒂斯堡夏日山庄

致谢：感谢南非科学院院士、Stellenbosch大学Extraordinary Professor孙博华博士鼓励作者撰写本文并提供陈难先教授的PRL文章和相关参考文献。也感谢我大学同学胡著信博士的有益交流。也感谢《返朴》周编辑认真核实数学并改进几段英文的翻译。

本文受科普中国·星空计划项目扶持

出品：中国科协科普部

监制：中国科学技术出版社有限公司、北京中科星河文化传媒有限公司

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