今年的高考数学，帝都和天津算是把面子都挣回来了

首发于公众号“贼叉”

一直以来，帝都和天津的高考数学都是被人诟病的存在：

——啊，这俩地方的数学卷子这不是有手就行么？

——老师：你们考前要多做真题，如果多练浙江的真题，你们会进步很快；如果练北京和天津的真题，那你们不如去睡会觉。

大学开学报道，只要听到对方是帝都或者天津的考生，一般都会露出只可意会不可言传的表情，然后伴随一声悠长的“噢”。。。倘若北京或者天津考生还想争辩几句，别人便会大度地表示：嗯嗯， 你们说的都对。

但是今年的高考数学，谁要是再看不上帝都和天津的卷子，我贼某人第一个不答应——孩子们，你们受苦了！

先来看天津的压轴题：

第一问真是有手就行，第二问把ln和多项式分开是基本操作。注意到1/x+1/2>0，即证明ln(x+1)>2x/(x+2)，直接求导即可。

第三问可真是太有意思了。我都一度怀疑这题目是不是出错了，后面两项倒是可以写成普通的函数然后求导，但是ln(n!)这个玩意儿怎么求导？虽然gamma函数可以求导，然而那也是要写成积分形式啊！

直接求导不行，我又想到了Stirling公式，转念一想这个也不靠谱。虽然这个公式看起来真的和本题超级相关：

但是这个只能说明当n很大的时候上述不等式肯定成立，对于这之前的n不一定成立啊~

这时候我发现我陷入了误区：第一反应的都是高等数学里的结论，没有按照中学生的思路去进行思考。对于一个普通的中学生来说，涉及到n的不等式证明应该咋办捏？

数学归纳法！

所以我就用数学归纳法试试：

一看到这里，就知道这条路对了，注意最后一个十字的后两项，不就是第二问中把x用1/k代的情形么？所以用归纳法证明小于等于1成功。

大于等于5/6还是挺费劲的。因为在小于等于时用了放缩，对于大于等于时这部分是起副作用的，所以只能另辟蹊径——当然，说说容易，哪有那么容易辟出来。

我的想法是既然大于等于5/6坏在不等号的方向上，于是我们两边用同乘以-1，不等号就变向了，即要证如下不等式：

然后我们可以重复上述过程，得到

此时就往最常用的放缩地方考虑了，要证明求和以后小于某个数，最容易想到的就是每个单项小于1/n(n+1)的形式，因为这是最容易裂项求和的序列，至于常数直接乘在外面就好。所以我们构造函数并求导：

很显然，导函数的零点是分析不出来的。再考虑到我们是要证明g(x)<0，现在的问题是对数函数和分式函数乘在了一起，而x显然是正的，因此我们作适当变换：

剩下的就是体力活了：

虽然本题比19年和21年以及22年浙江高考的函数题难度还是要略低一些，但是也绝对算得上是函数题中的翘楚了。特别是第二问和第三问以这样的形式结合确实是很巧妙，而且对于微积分学好的我来说还造成了一定的误导，得亏最后还是绕了回来。

微博上还有很多人给我留言，说本题不用洛必塔法则根本没法做，主要还是涉及第二问中要求f在0点处的极限值，问题不就是第二个重要极限加个0么，哪里需要用洛必塔法则？因此超纲一说纯属无稽之谈。

水平不行，就别怪题目出得难，说什么只能用大学方法做的人说半吊子都是抬举它，只能算是乐色~

题是个好题，就是苦了考场上的娃了~~至于北京卷那就更有说头了~