示范一・戒除“数形结合”、回归纯正算术方法或许更能培养孩子抽象思维的意识及其能力

按：在小学数学的教学中，无论老师还是学生，大家都普遍满足于甚至是沉溺于用“数形结合”去解题，亟需拨乱反正。在下不才，欲战大风车。另外，订正一个笔误或说表述不当之处：在《数学玩的就是抽象，数形结合有害于抽象思维的培养-例1》一文的第“二”节的小标题中我用了“运用抽象思维思考并仅仅在脑子里想并想出解题思路”的表述，这个表述是不确切的，“仅仅在脑子里想”的表述由于急切想强调“抽象思维”而用力过猛了；当然，虽然“仅仅在脑子里想”也不是不可以，但要脑子特别清楚、特别好使才行，反正我是不行，我得将我写的那个思路在稿纸上用简洁的语言写出来才能理得清；所以，这个表述应该修改为“运用抽象思维思考并探索出解题思路”。

引言

在“杂谈篇”谈“小学数学取消方程的内容是否合理”的文章中，笔者鲜明地指出，“数形结合”的本质及其背后的基础其实就是代数思维下的方程，而有意或无意地忽视这一点并假装其为算术思维的行为其实是掩耳盗铃、自欺欺人。

在“题海拾贝篇：以求学问之心讲有学问之题论讲题之学问”篇的“数学玩的就是抽象，数形结合有害于抽象思维的培养”这一单元的首篇文章中，笔者谈到，“数学的最大特点之一就是抽象，而且近现代发展起来的数学越来越抽象，……，学好数学尤其是近现代数学不仅是进行数学研究也是进行科学和技术研究的基础与关键”，并简要论述了“‘数形结合’有害于抽象思维的培养”的道理，并举一道题为例做了如何不用“数形结合”而仅仅运用抽象思维思考出解题思路的示范。

笔者虽然认为代数和方程的内容应该在小学阶段就教学（而不应该如2022版新课标那样将其推延到初中，因为：其一，孩子们完全有能力接受和学习这方面的知识；其二，需要学习的数学知识太多了，不能浪费宝贵的学习时光），但在此之前的算术是数学的基础因而非常有必要认真地学。何谓认真的学算术？那就是以算术的思维方式去学算术，反应在习题上，就是以纯正的算术思维的方法去解题，而不是如“数形结合”那样其实是用形象思维+代数-方程思维的方法去解题。

以算术方法解决算术问题能很好地培养抽象思维的意识和能力，因为纯正的算术方法的基础就是运用抽象思维去思考。

鉴于“题海拾贝篇：以求学问之心讲有学问之题论讲题之学问”篇的文章中计划收录和讨论的习题是有学问的题或者说是笔者能讲出一些学问的题，而这种题其实不多或笔者所见不多，但大量的算术习题又值得讲一讲，因为大家普遍都满足于甚至是沉溺于用“数形结合”去解题，故而需要拨乱反正。

因此，特另辟一个名为“戒除‘数形结合’、回归“抽象思维””的系列（就不叫专题了吧），对用纯正的算术方法破解算术习题以培养抽象思维做一些探讨性的示范。

一个人把在学校学到的东西全都忘掉之后，剩下来的才是素质（教育）。

——阿尔伯特・爱因斯坦

（Albert Einstein，1879年3月14日-1955年4月18日）

本文要讲解的例题如下，各位可以先行自己思考一下（试试不用“数形结合”的方法能否有解题思路），这样阅读本文时感受会更深切。

例1

若：32 +（）= 46 -（），问：“（）”内填几。

一、“数形结合”示例

视野所及下的所有老师讲解这道题都是“数形结合”，且几乎千篇一律。

一个“名校+学霸+资深”型的教者（“KK”）

其“数形结合”解法中的代数-方程思维若有意识去看则非常明显（若无此意识，则请参见“将方程从小学推延到初中有无必要、会否误才？兼论现实教学中的掩耳盗铃”一文第“二”节“现实版‘掩耳盗铃’”中的论述），在学习了代数-方程及其解法（“方程”关键的是其中的代数思维，其解法相对简单，无非“移项”和“合并同类项”——其本质是依据等式的性质对方程等式两边进行同一运算的操作比如等式两边同时加上或减去一个数或代数后等式依然成立或者说前后两个等式是“等价”的）后根本用不着这种实为畸变怪胎的“数形结合”法。

二、“算术思维”示范

以下是运用“算术思维”（其基础是“抽象思维”）思考出该题的解题思路及其答案的详细思考过程，以及答题表述（可省略其中的“∵”、“∴”。另：由于题设中已经用了代数，故而在答题表述即列算式时不得不带着这些代数符号，形式上看确实与代数运算或方程解法中的“移项与合并同类项”无异，但其中的思维却仍然是货真价实的算术思维）。

题设：32 +（）= 46 -（），问：“（）”内填几。

思考过程

【最笨也相当有效的方法是，以数（shǔ）数（shù）的方式去试算，其过程：46-1=45，32+1=33；46-2=44，32+2=34；46-3=43，32+3=35；……；46-6=40，32+6=38；46-7=39，32+7=39。】

等式“32 +（）= 46 -（）”可理解为：若甲有32颗糖果，乙有46颗糖果，那么，乙拿出几个糖果给甲后，甲、乙就有一样多的糖果即甲、乙的糖果数相等。

甲、乙糖果数相等时二人的糖果数是多少呢？或者说，这个相等的数是多少呢？

一共是78（32+46=78）颗糖果在甲、乙之间分配，两人数量相等时，则各有39（78÷2=39）颗。

故：32 +（）= 39，46 -（）=39。

取：32 +（）= 39

则：“（）”内填的数为7（32+7=39，或39-32=7）。

答题表述

∵32 +（）= 46 -（）

∴32 +（）=[32 +（）+46 -（）]÷2

∴32 +（）=78÷2

∴32 +（）=39

∵32+7=39，或，39-32=7

∴“（）”内填的数是：7。

例2

若：（8-◯）/（12+◯）=1/3，问：“◯”是几（或里面填几）？

【原题写为分数/分式的形式，受限于编辑问题，无法呈现】

一、“数形结合”示例

视野所及下的所有老师讲解这道题都是“数形结合”，且几乎千篇一律。

一个“资深”型的教者（“梁姐”）

其“数形结合”解法中内涵的代数-方程思维若有意识则一看便知（若无此意识，则请参见“将方程从小学推延到初中有无必要、会否误才？兼论现实教学中的掩耳盗铃”一文第“二”节“现实版‘掩耳盗铃’”中的论述），在学习了代数-方程及其解法（“方程”关键的是其中的代数思维，其解法相对简单，无非“移项”和“合并同类项”——其本质是依据等式的性质对方程等式两边进行同一运算的操作比如等式两边同时加上或减去一个数或代数后等式依然成立或者说前后两个等式是“等价”的）后根本用不着这种实为畸变怪胎的“数形结合”法。

二、“算术思维”示范

以下是运用“算术思维”（其基础是“抽象思维”）思考出该题的解题思路及其答案的详细思考过程——若干种，以及答题表述（可省略其中的“∵”、“∴”。另：由于题设中已经用了代数，故而在答题表述即列算式时不得不带着这些代数符号，形式上看确实与代数运算或方程解法中的“移项与合并同类项”无异，但其中的思维却仍然是货真价实的算术思维）。

第一种

题设：（8-◯）/（12+◯）=1/3，问“◯”是几？

思考过程

【“8-◯”是8减去◯的结果也即8与◯之差，此差（值）是一个数，故而可将“8-◯”视为一个数（或者可理解为将“8-◯”看作一个整体视为一个数）；同理，可将“12+◯”视为一个数。因此，原式可理解为：以这两个数分别为分子和分母的分数经过运算即约分后的结果是1/3。】

等式“（8-◯）/（12+◯）=1/3”可理解为：等式左边分数的分母是分子的3倍，也即“12+◯”为“8-◯”的3倍。

【根据倍为乘法及乘法的本质是加法的简便运算的道理，我们可知：若甲数为乙数的3倍，则甲数为乙数乘以3的积，也即甲数为3个乙数的和，则有甲数与乙数之和（即“甲数+乙数”）为4个乙数的和，也即甲数与乙数之和（即“甲数+乙数”）为乙数的4倍。】

“‘12+◯’为‘8-◯’的3倍”可转换为“‘（12+◯）+（8-◯）’为‘8-◯’的4倍”。

又（12+◯）+（8-◯）=20，故20即为“8-◯”的4倍。

则8-◯=20÷4=5，即8-◯=5。

那8减几等于5呢？减3。

故：◯=3。

答题表述

∵（8-◯）/（12+◯）=1/3

∴（12+◯）+（8-◯）=（8-◯）×4

∴（12+8）+（◯-◯）=（8-◯）×4

∴20=（8-◯）×4，即：4×（8-◯）=20

∴（8-◯)=20÷4=5

∴◯=8-5=3

第二种

题设：（8-◯）/（12+◯）=1/3，问“◯”是几？

思考过程

等式“（8-◯）/（12+◯）=1/3”可理解为：等式左边分数的分母是分子的3倍，也即“12+◯”为“8-◯”的3倍。

【根据倍数关系，我们可知：若甲数为乙数的3倍，则从甲数中减去乙数后的差与乙数加乙数的和（也即乙数的2倍）是相等的（即“甲数-乙数=乙数+乙数=2乙数”，比如：甲的糖果数是乙的3倍，则甲再给乙一个乙的糖果数，那甲、乙二者就有相同的糖果数了；例如，6是2的3倍即6=2×3，则6-2=4，2+2=4，故6-2=2+2）。】

“‘12+◯’为‘8-◯’的3倍”可转换为“（12+◯）-（8-◯）=（8-◯）+（8-◯）”，化简（去括号，“合并同类项”——没办法，虽然我批判其中的代数思维，但题目已经用符号指代数了，只能这么运算了）得：4+2◯=16-2◯。

【将“2◯”视为一个数（或者说视为一个整体）。】

等式“4+2◯=16-2◯”可理解为：16减“几”（即“2◯”）的差与4加“几”（同一个“几”，也即“2◯”）的和相等。

16减“几”的差与4加“几”的和相等，即此“差（值）”与此“和（值）”相等，这个相等的数为“16与4之和的一半（或“1/2”）”即“（16+4）/2=10”。

则4+2◯=10，16-2◯=10，二者等价。

取4+2◯=10来计算，则2◯=6。

故：◯=3。

答题表述

∵（8-◯）/（12+◯）=1/3

∴（12+◯）-（8-◯）=（8-◯）+（8-◯）

∴4+2◯=16-2◯

∴4+2◯=（16+4）÷2

∴4+2◯=10

∴2◯=10-4=6

∴◯=6÷2=3

例2的拓展题型

原题变换为如下形式：

若：（23-◯）/（12+◯）=2/5，问：“◯”是几（或里面填几）？

【与原题类同应写为分数/分式的形式，受限于编辑问题无法呈现】

分母已经不是分子的整数倍了【这意味着“若A÷B=M，则（A-B）÷B=M-1或（A+B）÷B=M+1”这个方法/知识不能直接用了】，怎么办呢？

还是要在分数的分子与分母之间的关系上想办法、做文章。

思考过程

题设：（23-◯）/（12+◯）=2/5，问：“◯”是几？

等式“（23-◯）/（12+◯）=2/5”可理解为：

将“12+◯”平均分为5份，且“23-◯”为其中的2份。

进一步可转换理解为：

若将“（12+◯）+（23-◯）”平均分为7份，则“23-◯”为其中的2份。

而（12+◯）+（23-◯）=12+23+◯-◯=35

则“（12+◯）+（23-◯）”平均分为7份后的每份为：

35÷7=5

“23-◯”为其中的2份，则：

23-◯=2×5=10

23减几等于10呢？减13（23-10=13）。

故：◯=13

答题表述

∵（23-◯）/（12+◯）=2/5

∴（23-◯）/[（12+◯）+（23-◯）]=2/7

即（23-◯）/35=2/7

∵35÷7=5

∴23-◯=5×2

∴23-◯=10

∴◯=23-10=13

例1+例2之小结

1、万变不离其宗，此“宗”即：

根据基本概念、定义、性质/本质来构思、设计解题思路。

2、思路/方法的核心是：

构造一个等式，等式一边为含待求之数的算式（即“含未知数的代数式”），等式另一边为一个具体的数（值）——如何得到这个数（一般是将题设中几个含待求之数的算式通过一定的运算转化为一个具体的数）是思路/方法之核心中的核心。

例3

某班有男、女生共计30人，男生的1/2和女生的1/3共13人。

问：该班女生有多少人？

一、“数形结合”示例

视野所及下的所有老师讲解这道题都是“数形结合”，且几乎千篇一律。

一个“资深+名师”型的教者（“聂老师”）

其中的代数思维不值得浪费笔墨去批了，评论略过吧。

但其中的关于分数应用的讲解值得讨论一下：

她过分关注于以至于纠结于分数问题中的“单位‘1’”，故而在不同的“单位‘1’”之间反复倒腾，将一个本来简单的问题弄得过于复杂。

“单位‘1’”或许是个“鸡肋”（食之无味，弃之可惜），虽不若“计数单位”那么荒谬（参见：……计数单位，一个胡编乱造出来的多余且荒谬的伪概念？兼谈数位与数级两个概念……），但也好不了多少，我可能会专门写一篇来讨论。

二、“算术思维”示范

以下是运用“算术思维”（其基础是“抽象思维”）思考出该题的解题思路及其答案的详细思考过程，以及答题表述。

题设：

某班有男、女生共计30人，男生的1/2和女生的1/3共13人。

问：该班女生有多少人？

思考过程

【这30人实则是分为了两部分：其一为，男生的1/2和女生的1/3共13人；其二为，男生的1/2和女生的2/3共17人（30-13=17）。】

已知：男生的1/2和女生的1/3共13人，记为“A组”

则有：男生的1/2和女生的2/3共17人，记为“B组”

由于：B组比A组多4（17-13=4）人

并且：多出的4人全部为女生

并且：这4名女生对应全部女生的分率为1/3（2/3-1/3=1/3）

因此，全部女生人数为：4÷1/3=12人

故，该班女生有12人。

答题表述——详细版

∵    男、女生共计30人

且：男生的1/2和女生的1/3共13人，记为“A组”

则：男生的1/2和女生的2/3共30-13=17人，记为“B组”

故：“A组”比“B组”多出的人数为：17-13=4人

且：“A组”比“B组”多出了女生的2/3-1/3=1/3

∴    该班女生人数为：4÷1/3=12人

答题表述——简练版

解：

30-13=17

17-13=4

2/3-1/3=1/3

4÷1/3=12

答：该班有女生12人。

例4

今年，妈妈的年龄是女儿年龄的4倍。16年后，妈妈的年龄是女儿年龄的2倍。问：女儿今年几岁？

一、“数形结合”示例

视野所及下的所有老师讲解这道题都是“数形结合”，且几乎千篇一律。

一个“学霸+示弱（揣着明白装糊涂）型家长”型的教者（“思维训练”）

就本题来说，其中的数量关系相对比较复杂，用一用“数形结合”（本质是其中的“代数思维”）尚算情有可原。

但本题即使是用“数形结合”也不是那么容易的，关键是线段图不好画，视频中小朋友没有交代清楚为什么要加画两段（以女儿今年年龄为一段作基准）而且这两段就恰好就是16，不知道是小朋友“不屑于”讲这么“简单”的“转化”还是对此“转化”其实“懵懂”（我帮小朋友补充说明一下：女儿今年年龄为1段，则妈妈今年年龄为4段，16年后妈妈年龄是女儿年龄的2倍，不要借助“16”来画线段图——其实也画不了因为“16”在这里没有指导意义，而是要从线段自身的长度关系来考虑，即：倒推来看，妈妈与女儿各自原有4段和1段，16年后妈妈的线段总长是女儿的线段总长的2倍，那各自都增加几段才能满足2倍的关系呢？1+2=3，4+2=6，6÷3=2，所以，二人都增加2段即能满足，而此增加的2段表示的时长即为16年，故1段表示的是8年，此即女儿今年年龄）。

运用形象思维的“数形结合”法尚且如此不易，那运用抽象思维凭算术方法来思解此题当然就更不容易了，但“做难事必有所得”（金一南将军语），还是应该按高标准、严要求去尝试一下。

二、“算术思维”示范

以下是运用“算术思维”（其基础是“抽象思维”）思考出该题的解题思路及其答案的详细思考过程，以及答题表述。

题设：

今年，妈妈的年龄是女儿年龄的4倍。16年后，妈妈的年龄是女儿年龄的2倍。

问：女儿今年几岁？

思考过程

为表述简便，将女儿今年的年龄表述为甲数。

【可将题设中的各种年龄之间的关系抽象为不同数量之间的关系即数与数之间的关系。若将女儿今年的年龄表述为甲数，则甲数的4倍即为妈妈今年的年龄，而16年后，女儿的年龄可表述为“甲数与16之和”，妈妈的年龄可表述为“甲数的4倍与16之和”。】

今年

女儿的年龄为某数，不妨名之为“甲数”

则妈妈的年龄为：“甲数的4倍”

16年后

女儿的年龄为：“甲数与16之和”

妈妈的年龄为：“甲数的4倍与16之和”

已知：16年后，妈妈的年龄是女儿年龄的2倍

则有：“甲数的4倍与16之和”是“甲数与16之和”的2倍

可转换理解为：“甲数的4倍与16之和”与“甲数与16之和”的差等于“甲数与16之和”

也即：“甲数的3倍”等于“甲数与16之和”（“甲数的4倍”可根据乘法本质视为“4个甲数之和”；二者做差即相减后，“甲数的4倍”即“4个甲数之和”减去“甲数”即“1个甲数”得“3个甲数之和”即“甲数的3倍”，“16”在二者相减中“被消去”即“16-16=0”）

又可转换理解为：“甲数的2倍”等于“16”（3×甲数=甲数+16，即：甲数+甲数+甲数=甲数+16，则：甲数+甲数=16，即：2×甲数=16）

则：甲数为16÷2=8

故：女儿今年的年龄为8岁。

验算：

16年后女儿的年龄为：8+16=24

16年后妈妈的年龄为：8×4+16=48

48÷24=2

无误。

答题表述

解：

已知：16年后妈妈年龄是女儿年龄的2倍

并且：今年时妈妈年龄是女儿年龄的4倍

则有：女儿今年年龄的4倍与16之和是女儿今年年龄与16之和的2倍

易知：“女儿今年年龄的4倍与16之和”与“女儿今年年龄与16之和”的差等于“女儿今年年龄与16之和”

则有：“女儿今年年龄的3倍”等于“女儿今年年龄与16之和”

易知：“女儿今年年龄的2倍”等于16

因此，女儿今年年龄为：16÷2=8

答：女儿今年8岁。

——“示范一”完——

【其它相关文章以及后续更多相关文章请由原文链接按图索骥。】