关于”引入方程的必要性“（小学数学教学的难点之一）的猜想

2022版课标修订组的专家对将方程的内容从小学教学中清除（推延到七年级即初一再学）的解释中有这么一条：

简易方程没有体现出引入方程的必要性，方程应当至少从“鸡兔同笼”讲起——言下之意是算术思维求解复杂且有难度于是古人“不得已”发明了方程术。

​

课标修订专家组组长“义务教育数学课程标准（2022年版）解读”讲座的视频截图

愚见以为：

其一，这条解释作为取消小学数学中的方程内容不具有说服力；

其二，这条解释对古人发明/创造方程的动机、逻辑及其必要性的解释没有触及本质，当然，这应该是个开放性问题，故而，我也提供一个猜想。

以下试做论述。

1、其解释不具有说服力

第一，如“5-X=2”这样的简易方程当然体现不出引入方程的必要性，甚至有点——用句粗鄙的话——“脱裤子放屁”的意味，或至少是有点“为赋新诗强说愁”的意思。但这是教学设计（教材编写）的不合理啊。另外，要体现出引入方程的必要性也没有必要非得从所谓“鸡兔同笼”开始啊，丢番图的墓志铭不就是一个现成的极好的可作为导入方程概念/理念/思维/思想的引例吗？！所谓对于向孩子呈现的（加这个修饰语另有深意，见下文）必要性不就是向其展现对于一个复杂的问题用算术思维求解很难而用代数-方程思维就相对容易的“事实”吗？！

第二，用“鸡兔同笼”的例子就能体现引入方程的必要性了吗？或许非也！你看看当今的小学生用算术思维解这个问题（据说有多达13种算术解法）的熟练老辣（堪称“丝滑”）之程度的事实就明白了。

2、如何阐述引入方程的必要性呢

然则，如何向孩子们阐述或传达（并非刻意强调而是潜移默化的）引入方程的必要性呢？我的看法如下。

上策：不必阐述和刻意强调（其实恐怕也说不清楚，因为这个问题本身恐怕没有定论或共识，即使有，恐怕也只是我们的“数学教育专家”们的一厢情愿的一偏之见），学生在用方程时自然而然就能（潜移默化的）领会到方程思维之于算术思维的优越性，并从这种领会中自己去把握引入方程的必要性。

下策：如果非要阐述和强调，我认为首先应该向学生说明这是一个没有定论的开放性问题，也就是说，古人究竟是在什么样的情境下生发了什么样的灵感从而创造出了方程（术），古人没有交代，后人只能凭自己的理解和认识去猜想，然后向学生们介绍各种猜想，让孩子们自己去理解和判断（有心的孩子会带着这个问题在今后的学习中随着知识的扩展和深入而重新思考）。

3、引入方程之动机、逻辑及其必要性的猜想

在此，我也阐述一个我自己的猜想（专家组组长借“鸡兔同笼”表达的方程是算术思维求解有难度从而所做出的“不得已”的发明的意思，还是很有道理的，纳之）——内含些许“暴论”：

我的猜想的关键在于将中国方程术（实则是“三元一次方程组”）的发明与西方代数方程（实则是“一元一次方程”，如古希腊丢番图的墓志铭的那道题的一元一次方程解法）的发明区别开来，分别阐述其发明的必要性。

中国方程术的发明：

对于同时有三个“相互独立的”（其中任何一个不能用另外两个或两者之一去表示，即：三个未知数之间没有可供相互换算的数量关系）待求解其数值之对象（即同时有三个“独立”的未知数）的问题（如《九章算术》第八章“方程”中作为引例的问题，其要同时求解的是三个独立对象的数值，即：上、中、下三等禾其各自之一秉分别各实多少斗），算术思维已经极难求解（是否是“不可能”呢？因为有点“三体问题没有解析解”的意味啊，三即多、多则惑。即使能用算术思维求解，这恐怕也并非正常智商能驾驭的了），不得不另创新术，于是中国古代数学家以其无上智慧创造/发明了“方程术”；“方程术”用现代数学的语言表述即“三元一次方程组及其解法”，准确的说，“方程术”并未如现代数学那样用符号语言（即使是“甲、乙、丙”或“天、地、人”这样的文字其本质也是符号，也可以作为代数或者说方程中未知数的表示/指代符号）去写出这一组三个“三元一次方程”（含待求解之三个对象即三个未知数的等式）然后对三个等式根据等式性质进行逐个消元、移项和合并同类项诸运算得到其中之一元的数值继而利用第一元的数值算出第二元的数值最后再利用第一元和第二元的数值算出第三元的数值，而是其解法即“其筹算方式中的‘置筹法式’和求解运算中的‘遍乘直除’法式”内涵了三元一次方程组的概念/理念/思维/思想，其“置筹法式”采用了分离系数的方法表示线性方程组，相当于现在的矩阵，其“‘遍乘直除’法式”，与矩阵的初等变换一致。

西方代数方程的发明：

由于西方是字母文字，加上其有发达的将数学做形式化表述的传统（如古希腊的生活于公元前330年-公元前275年的欧几里得著述的《几何原本》，其中已有符号参与的运算——图形之间的关系的比较其本质可能就是符号表示的量之间的运算），以及其演绎思维的方式（正向推理），在遇到的算术问题虽然仅有一个待求解其数值的对象（即“一个未知数”）但却也相当复杂困难（逆向思维的特点）时，或许就会被迫转向其擅长的正向思维的方式并自然而然地引入字母表示数并将找出的问题中各数量之间的等量关系写成含有以字母表示的未知数的等式，也就是一元一次方程——简易的一元的代数方程（古希腊的生活于据推测约公元246—330年的丢番图所创立）。

为什么中国的“方程术”是从“三元一次方程组”开始的而西方的“代数方程”却是从“一元一次方程”开始的呢？

我有两种堪称暴论的猜想——真的是仅供参考（绝非谦虚之语）：

第一种。中国古人的算术思维和计算能力（有筹算术、珠算术等计算工具及其方法的加持）太过强大，再难的一元的算术问题都不是事儿，连极难的二元的“鸡兔同笼”问题也不在话下，只有遇到三元的问题算术思维失效时，才想着要创造、发明新的方法——计算之术（从“方程”所在的《九章算术》的书名中的“算术”——计算之术——一词即可见一斑），于是才创立了“方程术”。所以中国的“方程术”起步就是“三元一次方程组”。有了“方程”的概念/理念/思维/思想之后，再去求解二元和一元的算术问题就自然而然可以用（实际上也可能不会去用，关键在于各自的计算方式的简繁与否，若思维上简单，但计算麻烦——解方程组的计算要用筹算的，则或会弃之不用）二元一次方程和一元一次方程了（这从魏晋时期的大数学家刘徽在公元263年前后为《九章算术》所作的注释——如”二物者再程，三物者三程，皆如物数程之。并列为行，故谓之方程“——中可知。他还创立了比“遍乘直除”法更简便的“互乘相消”法来解方程组）。西方古人的算术思维和计算能力可能会稍差点，且其记数法表示的数本来就不便于、不利于计算（参见：……作为概念的（自然）数是如何被认识到——发明和/或发现——的？一个猜想……），加之其记数法表示出来的数本来就是用字母符号表示的数以及其崇尚以演绎思维为基础的正向推理方式，故而其在遇到一元一次方程形式的很难的算术问题时，就可能自然发明、创造出一元一次方程。而西方在创造出一元一次方程后，并未在二元、三元等多元一次方程组方面有所建树（直到17世纪才由德国的莱布尼兹提出完整的线性方程组的解法法则），却在一元二次、三次乃至于多次方程的研究上成果颇丰，其中原因或许就在于其方程的发明背景。

第二种。西方的”代数方程“是在学习、借鉴了东方/中国的”方程术“后结合自身的数学特点而改造、发展起来的，但由于其在学习、借鉴”筹算术“（”筹算术“以中国的”十进位值制“记数法为基础，西方/古希腊的记数法与其格格不入）上的困难，故而学习不了或学不会中国”方程术“中”多元一次方程组“的”筹算“方式的解法，所以，西方/古希腊人学不了”多元一次方程组“而只能取中国”方程术“的思想并结合自身的数学特点发展出一元的代数方程（一元一次方程，继而一元二次方程、一元三次方程及一元高次方程并研究其解法）。当然，这个猜想涉及到”中学西渐“，很难说得清也缺乏文献史料的佐证；更有可能与”古希腊和/或古罗马伪史论“有所牵涉，那就非我所愿了（相比于”古希腊和/或古罗马伪史论“，我更倾向于在公元前后的古代就有规模不小的”中学西渐“——或”中学“通过欧亚大陆的自然交流逐渐传到西方并引起了西方/古希腊人的学习、研究、借鉴和二次创造的兴趣和行为、或西方有意识地通过欧亚大陆的交流着力学习、研究东方大国的”中学“并在理解、吸收其思想后二次创造）。

节选自：将方程从小学推延到初中有无必要、会否误才？兼论现实教学中的掩耳盗铃丨对2022版新课标的思考丨小学数学“教-学”探索・杂谈篇