有趣的阿罗不可能定理

肯尼斯·约瑟夫·阿罗（Kenneth J．Arrow，1921年8月23日—2017年2月21日）是个有趣的老头，作为一位最初研究社会科学方向的文学硕士，其数学功底相当深厚，最终被授予了数学博士，但是令其才华大放异彩的领域却在经济学领域。此公关于一般均衡理论的研究获得了1972年诺贝尔经济学奖。

可见，数学才是进军经济学的关键啊，一个优秀的数学家未必是一个出色的经济学者，但是一个卓越的经济学家必然是要在数学上颇有建树。

这里，回顾下他早期一些有趣的研究。阿罗早期着力在于福利经济学。然而在其1949年的《社会选择与个人价值》一书中，他提出了一个有趣的定理，即阿罗不可能定理，却给当时的福利经济学理论判了死刑，同时对当时政治哲学产生了极大的冲击。

该定理有如下论断：如果由两个以上偏好不同的人来进行选择，而被选择的政策也是超过两个，那么就不可能做出大多数人都感到满意的决定。因此，在每个社会成员对一切可能的社会经济结构各有其特定的偏好“序列”的情况下，要找出一个在逻辑上不与个人偏好序列相矛盾的全社会的偏好序列是不可能的。

阿罗通过构建“序结构”为核心的数学模型来论证该定理。（简单来说，就是通过将偏好转化为比大小的数学语言。）

对于该领域的研究源自孔多塞（法国人，1743年9月17日－1794年3月28日）的投票悖论，但阿罗对该悖论进行了充分的数学论证，并发展出了自己的阿罗不可能定理。

​阿罗不可能定理说明，依靠简单多数的投票原则，要在各种个人偏好中选择出一个共同一致的顺序，是不可能的。这样，一个合理的公共产品决定只能来自于一个可以胜任的公共权利机关，要想借助于投票过程来达到协调一致的集体选择结果，一般是不可能的。

同时，阿罗将此定理引申到选举系统中，有了如下精彩的论断：

首先，考虑一个合理且充分民主的选举体系，应满足以下公理：

1，一致性：即如果所有投票者支持候选人X胜于候选人Y，那么候选人Y不会是最后获胜者。简称“P公理”；

2，确定性：即有且仅有一个获胜者。简称“U公理”；

3，无第三者：即假定候选人X获得胜利，那么在另一个候选人Y退出而且其他条件不变的情况下，那么X仍然应该获得胜利，候选人Y为无关候选人。简而言之，不存在搅局的第三者。简称“I定理”；

4，非独裁：即任何投票者均不能左右选举，即不存在独裁者。简称“D定理”；

对于这么一个满足以上4个公理的“PUID”选举系统，阿罗论证出了如下结论：当选民人数与候选人数均不小于3，则不存在任何“PUID”选举系统。

基于此理论，又有如下推论：

1，根本不存在一种既能保证效率，又能尊重个人偏好的多数规则的选举系统。任何条件下的民主选择要么是强加的，要么是独裁的结果。

2，一个社会不可能有完全的每个个人的自由——否则将导致独裁；一个社会也不可能实现完全的自由经济——否则将导致垄断。

当时阿罗的论断非常具有爆炸性，李特尔、塞缪尔森等人试图驳倒该定理，但阿罗不可能定理是建立在扎实的数学地基上的，他们的挣扎非但不能撼动它，反而进一步巩固了该定理的地位。

当然，在一片阴云惨淡中，折中的办法还是被发现了，阿马弟亚·森（AmartyaKumar Sen，1933一）通过调整个体偏好顺序，在一定程度上解决了在阿罗不可能定理提出的问题。但是这个“一定程度”是有个前提，即参与决策的人必须要一致认定某个方案不是最佳（当然实际上，这个被嫌弃的方案是不会为最后决策选中的）。虽然依旧不完美，但是勉强算是拯救了局面，当然阴影依旧存在。

作为一个由数学出发，导向经济学，进而推论至社会学的定理，阿罗不可能定理展现了数学的独特魅力。