初中数学暑假作业一种解法
幸运的马钊
2018-07-24 18:43
原题见 http://user.guancha.cn/main/content?id=27844&s=fwzxfbbt
设弧BC与弧BD的交点为E，直线BD的中点为F，连接BE，AF，直线BE与AF的交点为G，由圆的性质可知，BE与AF垂直。
由勾股定理可以得到，AF的长度为\sqrt(4^2+2^2)=2\sqrt{5}。
三角形ABF与三角形AEF全等，直角三角形ABF的面积为2*4/2=4
则中间四边形ABFE的面积为2*4=8
角BAF为arcsin(1/sqrt{5})，角BAE为2arcsin(1/sqrt{5})，扇形BAE的面积也可以算出，
扇形BAE的面积为4*4*2arcsin(1/sqrt{5})/2=16arcsin(1/sqrt{5})
角BFA与角BAF互余，角BFA为\pi-arcsin(1/sqrt{5})，角BFE为2\pi-2arcsin(1/sqrt{5})，扇形BFE的面积为2*2*(2\pi-2arcsin(1/sqrt{5}))/2=4\pi-4arcsin(1/sqrt{5})
最终阴影面积为16arcsin(1/sqrt{5})+4\pi-4arcsin(1/sqrt{5})-8=4\pi+12arcsin(1/sqrt{5})-8
