庞加莱的数学交响：自守函数动机在20世纪的变奏与展开

庞加莱对自守函数的研究促使分析、几何、代数等领域进一步统一，奏响了19世纪末数学的华彩乐章（参见《19世纪末的数学高峰：庞加莱的自守函数研究》）。这一理论作为核心“动机”，更是在20世纪数学的宏大交响中展开了波澜壮阔的“变奏”：从世纪初的单值化定理到费马大定理和朗兰兹纲领，再到多复变函数与低维拓扑学的研究，自守函数孕育的思想超越了古典形式，持续迸发活力。庞加莱的智慧光芒，始终在人类宏大的知识图景中闪耀。

撰文 | 金威

经由前文《19世纪末的数学高峰：庞加莱的自守函数研究》，我们重温了庞加莱（Henri Poincaré，1854-1912）在自守函数领域的创造性突破。庞加莱和克莱因（Felix Klein，1849-1925）的自守函数研究，在19世纪末一统分析、代数和几何等数学几大领域，展现了数学在多样性背后的统一性（参考文献见[1]-[15]）。而在此基础上，又涌现出诸多丰富多彩的问题和理论。

在此文中，笔者将不揣浅陋，初步地梳理和介绍其中的几个有代表性的方向。由此管中窥豹，我们可以欣赏到如下的图景。首先，在庞加莱的数学交响曲中，自守函数这一核心“动机”在20世纪初的单值化定理中完成初步的展开。此后，它并未止步于古典形式，而是通过现代数学的复调演绎——从数论中神秘的千古之谜（费马大定理）和大统一（朗兰兹）纲领，到多复变函数论和数学物理中的迷人应用，再到三维流形理论中拓扑与几何的对位共鸣——不断获得新的演进维度。

正如音乐动机在不同乐章中的变奏与再生，自守函数“动机”在20世纪数学的各个领域中持续演绎发展并多重奏鸣，呈现出理论数学优美而宏伟的时空结构。

1

自守函数理论“大统一”的尾声：单值化定理

图1

在这种参数化的意义下，根据当时熟知的结论和庞加莱、克莱因等人的工作，对代数函数的黎曼面Σ，如果其亏格为0，则可以用有理函数单值化；如果亏格为1，则可以用椭圆函数单值化；如果亏格大于等于2，则可以用自守函数单值化。

庞加莱和寇贝（Paul Koebe，1882-1945）在1907年证明了单连通情形下的单值化定理：

这解决了单变量下的希尔伯特第二十二问题：“用自守函数将解析函数单值化”。

图2

建立单值化定理，是单复分析理论的一个高峰，它进一步统一了数学中的分析、代数、几何、拓扑几大领域（并可兼涉数论），见图3。然而，在历史上，以上陈述中所涉及的抽象黎曼曲面的定义，其实比单值化定理本身出现得更晚：它是由外尔（Hermann Weyl，1885-1955）在寇贝工作的基础上，在《黎曼曲面的概念》（1913）一书中给出的。

根据拓扑学中的曲面分类定理，任何紧可定向曲面都同胚于有限亏格、有限个边界的闭曲面。而单值化定理实际上指出：如果考虑复结构，则任意（有限类型的）复曲线不仅是同

在几何观点下，这三类“标准复空间”分别可以赋予球面几何、欧氏（平面）几何和双曲几何，这三种几何都是“全局对称的”，被称为齐性几何，它们分别具有常曲率+1、0、-1。这就把所有的闭可定向曲面赋予了几何结构，并从几何上将它们分成了三大类：球面，具有球几何；环面，具有欧氏几何；亏格大于等于2的曲面，具有双曲几何。如果去掉“闭”条件，而改为具有有限个边界并挖掉有限个点的曲面，结论依然成立。并且，在这三种齐性几何结构中，双曲结构是最普遍（如果等概率地随机选取亏格、边界和所挖掉的点的数目，则所选出的曲面有双曲结构的概率为1）而又最复杂的。

图3 不同颜色表示不同领域：红色—几何；黄色—代数；蓝色—拓扑；绿色—分析，下同。

数学家们自然地提出了如下问题：

在更高维数下，还有与之类似的情况吗？

在第三部分我们将会看到，在三维世界中，仍然可以有类似的联系，而且在相当长的时间内，双曲几何和克莱因群的理论是三维流形拓扑学的主要工具之一。

证明单值化定理，除对代数函数情形可以使用自守函数理论证明之外，对一般情形大都需要用到分析学中的工具，如（严格化之后的）狄里克莱原理等，后来又陆续发展出Perron方法和热核方法等。相关证明可参考黎曼曲面方面的著作。

2

数论中的自守函数——费马大定理与朗兰兹纲领

在数论方面，经过之后百余年的发展，自守函数和自守形式已成为数论学家必备的常用工具。此处先以费马大定理为例做一展示。

在1637年前后，法国职业律师、业余数学家费马（Pierre de Fermat，1601-1665）在丢番图的《算术》一书页边上陈述了定理：当𝑛 ≥ 2时，方程𝑥^𝑛 + 𝑦^𝑛 = 𝑧^𝑛没有正整数解，而其证明则因“空白太窄，写不下”，此后两百年间数学家对其进行了很多尝试，在19世纪上半叶之前，费马本人、欧拉（Leonhard Euler，1707-1783）、热尔曼（Sophie Germain，1776-1831）、狄里克莱（Lejeune Dirichlet，1805-1859）、拉梅（Gabriel Lamé，1795-1870）、库默尔（Ernst Kummer，1810-1893）等人证明了许多特殊情况。1983年法尔廷斯（Gerd Faltings，1954-）证明了莫德尔猜想，其一个推论就是给定次数下此方程的（本原）整数解只能有有限多组，该工作也使得数学家对证明费马大定理抱有更大希望，而且将目光更多聚焦在几何方法上。

随着数论的发展，谷山丰（Taniyama Taniyama，1927-1958）—志村五郎（Goro Shimura，1930-2019）在20世纪五十年代从具体计算出发，和之后的韦伊（André Weil，1906-1998）先后提出了谷山-志村-韦伊猜想，指出有理数域上的任何椭圆曲线都是模曲线，或者说是“被模形式参数化”。

的无穷远点处全纯），其中的整数𝑘称为模形式的“权”。我们曾在上文见到过这个条件，其中权为0的亚纯模形式就是经典的模函数。而所谓一条（有理数域上的）椭圆曲线𝐸: 𝑦^2 = 𝑎𝑥^3 + 𝑏𝑥^2 + 𝑐𝑥 + 𝑑被模曲线参数化，其陈述形式之一是存在权相同的模曲线𝑓(𝑧)和𝑔(𝑧)，使得：𝑔(𝑧)^2 = 𝑎𝑓(𝑧)^3 + 𝑏𝑓(𝑧)^2 + 𝑐𝑓(𝑧) + 𝑑，这等价于椭圆曲线𝐸与该模函数具有相同的狄里克莱𝐿级数展开。读者可以看到，此处的“参数化“实质上又是上文中的”单值化”。

之后，弗雷（Gerhard Frey，1944-）首先将任意次数的费马方程关联到椭圆曲线，指出：如果𝑥^𝑛 + 𝑦^𝑛 = 𝑧^𝑛有正整数解(𝑎, 𝑏, 𝑐)，那么考虑椭圆曲线𝐸: 𝑦^2 = 𝑥(𝑥 − 𝑎^𝑝)(𝑥 + 𝑏^𝑝)，它不能被模曲线参数化。在1984年弗雷宣布此消息时，听者无不欢欣鼓舞，不过当时在证明中存在一些逻辑漏洞，后在1986年由里贝特（Ken Ribet，1948-）和塞尔（Jean-Pierre Serre，1926-）弥补。当时群情激奋的原因是，弗雷的陈述实际是在说——谷山—志村—韦伊猜想蕴含费马大定理！

最后，自小怀揣天真梦想，在青年时期就已在数论领域名声大噪的剑桥的怀尔斯（Andrew Wiles，1953-），经过“面壁”七年并屡遭挫折后，借助代数数论中更加深刻的工具，终于在1995年证明了（半稳定情形下的）谷山-志村-韦伊猜想，并由此宣告证明了费马大定理。在这七年之中，他每半年左右发表一篇小论文以“掩人耳目”，并直至证明完成前夕的1994年，仍因错误尚未完全排除而面临着巨大压力。

以上历史过程的大致路线图如下。

图4

值得注意的是，费马大定理与自守函数理论的关联是双重的。一方面，椭圆曲线实际上就是椭圆函数的黎曼面，而复数域上的椭圆曲线/椭圆函数也是自守函数的经典实例之一（参见《19世纪末的数学高峰：庞加莱的自守函数研究》序曲1.1节），当然在这个问题中考虑的是有理数域（而不是复数域）上的椭圆曲线；另一方面，模曲线则是自守函数的推广，而它所符合的代数性质正是庞加莱在构造富克斯函数时所考虑过的“模性”。

费马大定理是著名的“朗兰兹纲领”所揭示的更广阔图景的一部分。首先，根据轨道-稳定子

分析学（如调和分析）所研究的对象。由此可见，自守表示是自守函数的推广。而朗兰兹纲领指出，来源于数论、分析、（代数）几何的三种对象：伽罗瓦表示、自守表示和代数簇的上同调理论，在本质上是统一的[体现为阿廷𝐿函数、自守𝐿函数和哈塞（Hasse）—韦伊𝐿函数的统一性]。它被称为数学的“大统一理论”。

图5

3

自守函数在多复变函数理论中的推广与应用略谈

庞加莱经过一系列的数学发现，事实上和之后的库辛（Pierre Cousin，1867-1933）、哈托格斯（Friedrich Hartogs，1874-1943）等人开创了多复变函数这个数学领域。尤其是

间不成立，这也说明在多复变函数领域中没有与单复变中单位圆完全相当的区域；与之最相近的区域称为“典型域”，是不可分解对称有界域在全纯等价下分类的标准域。

此后，我国数学家华罗庚（1910-1985）尝试将单复变函数中的自守函数推广到多复变函数论领域。他的代表作之一为《多复变函数论中典型域上的调和分析》，并由此在1956年获得我国国家自然科学奖一等奖（当时称为“中国科学院科学奖金”）。他的研究始于上世纪40年代西南联大的艰苦时期。同时，德国数学家西格尔（Carl Siegel，1896-1981）也在研究有界对称域及其几何，他们的研究对冯康（1920-1993）等在辛算法的工作也有重要影响。华罗庚后于1946年在《数学年刊》上发表《多复变函数的自守函数》，成为该领域经典文献。华罗庚于1950年放弃美国的优厚待遇毅然回到新中国，在回国初期，他的研究转入多复变函数典型域上的调和分析，用群表示理论具体构造了典型域上的平方可积全纯函数的完备正交基，并做了很多具体计算，这也使得调和分析领域在60年代变得更加热门。丘成桐（1949-）教授对此的评价是：“（华罗庚教授）在多复变函数方面的贡献比西方至少早了十年。” 华罗庚教授研究的特色是从特殊到一般、从具体到抽象、从简单到复杂，并重视例子和具体计算（包括对矩阵的大量计算）。

华罗庚在典型域上的自守函数和调和分析的研究，还应用到微分方程、数学物理等领域，形成了“华罗庚学派”。我国的陆启铿（1927-2015）、龚昇（1930-2011）、郭汉英（1939-2010）、周向宇（1965-）等学者的研究都受到其很大影响，或与之联系紧密。华罗庚还曾用矩阵方法处理狄拉克算子及其热核自守形式等，它们是后来的指标定理、Seiberg-Witten方程等理论的基础，由此可见华老不凡的学术洞察力。

此外，我国数学家李国平（1910-1996）在20世纪50年代访问苏联科学院后，大大发展了法国数学家当茹瓦（Arnaud Denjoy，1884-1974）的工作，与合作者在黎曼—庞加莱的几何观点的基础上系统地发展了常微分方程的解析理论，并将闵可夫斯基函数和自守函数推广到巴纳赫空间上（即“泛函化”，其核心思想是利用庞加莱之前的级数展开进行推广），而且将其用于研究广义积分论、连续介质力学和量子场论等领域，从而推广了苏联穆斯赫利什维利（Никола́й Ива́нович Мусхелишви́ли，1891-1976）学派的相关工作。这是在分析领域，庞加莱自守函数工作的另一变奏与回响。（可参见[16][22]）

4

自守函数“大一统”的三维版本与低维拓扑学的发展

在二维世界中，由于单值化定理和高斯-博内定理等，曲面为代数-球几何/欧氏几何/双曲几何—复几何—拓扑这几种观点提供了共同的舞台，它们在此处交相辉映，五光十色。拓扑学家尝试将这种二维的美妙情景推广到高维。同时，庞加莱本人也是三维流形拓扑学和代数拓扑学的早期开创者。由此，现在数学家要解决的问题是：

（1）以上的二维结果如何推广到三维？

（2）在三维情况下，群与流形——具有某种几何的万有覆盖空间的商流形的关系？

（3）二维情况与三维情况的联系？

在此方面，瑟斯顿（William Thurston，1946-2012）可以看作将庞加莱的思想从多个角度全面进行了推广。我们简述其贡献中的几个方面。

第一个方面与泰希米勒（Oswald Teichmüller，1913-1943）空间相关。所谓泰希米勒空间，是指在给定亏格的曲面上，所有“带标记的”复结构或双曲结构（的同痕类）构成的空

瑟斯顿考察了泰希米勒空间的球面边界，证明其边界上的点可以视为原双曲曲面上的一种有时十分复杂的曲线 [即所谓“赋测度片层” (measured lamination）]，由此可以将泰希米勒空间紧化。之后他将此观点用于研究映射类群（mapping class group），并以此证明了曲面自映射的尼尔森（Jakob Nielsen, 1890-1959）—瑟斯顿分类定理。该定理指出曲面自映射分为三类，分别为周期的、可约的和伪阿诺索夫 (pseudo Anosov) 的，其中伪阿诺索夫映射在三维流形理论中扮演了重要角色。他还用双曲几何观点定义了泰希米勒空间上的度量，后来沃尔珀特（Scott A. Wolpert）证明与韦伊-彼得森（Weil-Petersson）度量一致（1986）。

第二个方面是所谓几何化定理，它可以被直接地看成单值化定理的直接三维推广。首先，安德烈耶夫（E. M. Andreev）在1970年给出了用锐角四面体剖分给出有限体积双曲流形的方式。此后莱利（Robert Riley，1935-2000）和约根森（Troels Jørgonsen）在1975

在这些工作的基础上，瑟斯顿用四面体剖分具体构造了八字结补空间上的完备双曲结构

（1979年），并由此猜测双曲结构在三维流形中是普遍存在的，并在20世纪70-80年代分别证明在大部分纽结（即非环面、非卫星纽结）的补空间和由伪阿诺索夫映射诱导的圆周的曲面丛上，都有完备且有限体积的双曲结构。进一步地，他提出了一系列猜想，其中最重要的是所谓的几何化猜想，即每个闭的素三维流形都可以沿环面（唯一地）切开成一些块，使得每块上有（有限体积的）八种齐性几何之一。这八种几何是二维情形下三种齐性几何的类似物，包括球几何、欧氏几何、双曲几何的三维版本、或其低维版本的乘积，此外还有三种来自于李群。

我们注意到，几何化定理不仅可以看作是单值化定理的三维版本，而且包含三维庞加莱猜想作为其推论。对所谓哈肯（Wolfgang Haken，1928-2022）流形，瑟斯顿在1980年代证明了几何化猜想。而对一般的三维流形，证明则由佩雷尔曼（Григо́рий Я́ковлевич Перельма́н，1966-）利用里奇流（Ricci flow）技术在2003年完成，并因此获得菲尔兹奖（但拒领）。此外，正如庞加莱用富克斯群研究二维曲面上的数学，瑟斯顿则用克莱因群研究三维双曲流形。在20世纪60-70年代阿尔福斯（Lars Ahlfors，1907-1996）、贝尔斯（Lipman Bers，1914-1993）、克拉（Irwin Kra，1937-）、马斯基特（Bernard Maskit，1935-2024）和马尔登（Albert Marden，1934-）等数学家工作的基础上，他证明了双极限定理、双曲空间形变的紧性等，它们成为了证明瑟斯顿本人证明哈肯流形几何化猜想和之后克莱因群理论的重要工具。

正如庞加莱把微分方程、复分析、群论、非欧几何和曲面拓扑学贯通融合，瑟斯顿则将双曲几何、泰希米勒空间、克莱因群和映射类群、叶状结构及其推广、纽结论和三维流形理论等熔于一炉。见下图：

图6

瑟斯顿的一系列经典文章和讲义成为该领域研究者长期以来的必读材料（如[24]），而他在研究过程中提出的问题也长期推动了低维拓扑学的发展。很有趣的是，与庞加莱类似，瑟斯顿并不太注重表述的形式化，所以他所发现的定理的很多完整证明都是后来由其他数学家所写出的，而其中一些更复杂的证明很多也都使用了更高深的分析工具。

在几何化猜想被证明后，低维拓扑领域的发展更加趋向丰富，与三维流形的双曲几何相关的重要猜想有驯顺（tameness）猜想、庶几纤维化猜想、庶几哈肯猜想等等。其中，第一个猜想分别由Agol和Calegari-Gabai在2004年独立证明；后两个猜想则均由Agol在2012年证明。

由此可见，与科学与社会历史领域的一切伟大变革一样，庞加莱等数学家的独创性工作的巨大意义和深远影响，只有在更晚的时间才能更充分地看到，这正如鲁迅所引用的叔本华的话：“要估定人的伟大，则精神上的大和体格上的大，那法则完全相反。后者距离愈远即愈小，前者却见得愈大。”

致谢：

本文感谢刘辛味编辑的支持鼓励。在撰写过程中，作者得到了北京大学北京国际数学研究中心刘毅教授、清华大学丘成桐数学科学中心林剑锋副教授的大力帮助，特此致谢。

参考文献

数学史：

[1] 克莱因, 19世纪数学发展史（第一卷）

[2] 莫里斯·克莱因, 古今数学思想（第三卷）

[3] 张生春，邓明立, 十九世纪法国高等教育改革的启示——兼谈法国数学百年兴衰

[4] 李文林, 数学的进化：东西方数学史比较研究, 科学出版社

单复变函数理论：

[5] 李培廉译，黎曼文集，高等教育出版社

[6] F. Klein, Lectures on the Icosahedron and the Solution of Equations of the Fifth Degree

[7] Elias M. Stein, Rami Shakarchi, Complex Analysis(有中文译本)

[8] Lars V. Ahlfors, Complex Analysis (有中文译本)

庞加莱的原著及相关综述：

[9] 庞加莱作品集, Oeuvres de Henri Poincaré

[10] J. Stillwell, Henri Poincare, Papers on Fuchsian functions

[11] Jeremy Gray, Henri Poincare: A Scientific Biography

[12] G. D. Birkhoff, The Work of Poincaré on Automorphic Functions

[13] Henri Poincare, Science and Method（中译本：科学与方法，李醒民译，商务印书馆）

自守函数类：

[14] Joseph Lehner, Discontinuous groups and automorphic functions

[15] Lester R. Ford, Automorphic Functions

[16] 李国平, 自守函数与闵可夫斯基函数，科学出版社

模函数、数论与自守形式：

[17] Ranjan Roy, Elliptic and Modular Functions from Gauss to Dedekind to Hecke

[18] 冯克勤, 代数数论简史, 湖南教育出版社

[19] 黑川信重, 栗原将人, 斋藤毅, 数论II: 岩泽理论和自守形式, 高等教育出版社

非欧几何的起源与意义：

[20] 齐民友, 数学与文化, 大连理工大学出版社

多复变函数：

[21] 丘成桐、杨乐、季理真、冯克勤等编, 传奇数学家华罗庚：纪念华罗庚诞辰100周年, 高等教育出版社

[22] 郭友中, 李国平院士对数学和数理科学的贡献，数学理论与应用, 2011.1

富克斯群，克莱因群与三维流形：

[23] Alan F. Beardon, The Geometry of Discrete Groups

[24] William P. Thurston, The Geometry and Topology of Three-manifolds

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