阿兰·孔涅和他的非交换几何世界

孔涅认为，当你开始做数学时必须要有自己的花园，即使它远离那些很时髦的东西。花园很小也没有关系，重要的是它是你自己的，并把它作为一个起点。用他自己的话说：“我们或多或少是通过某个反叛行为才开始成为数学家的”。

撰文 | 范明

来源丨《数学文化》第16卷第1期

法国人认为数学是其传统文化中最优秀的部分，深以历史上众多数学家为自豪，巴黎共有89条以数学家名字命名的街道。在1889年建成的城市地标埃菲尔铁塔上，镌刻着72位法国科学家、工程师和其他知名人士的名字，包括拉格朗日、拉普拉斯、勒让德、柯西、泊松、蒙日、傅里叶等24 位著名数学家。在1936-2022年间召开的国际数学家大会上，获得菲尔茨奖的64位数学家中有13位法国人，1982年得主阿兰·孔涅（Alain Connes）就是其中杰出的一位。此外孔涅还获得2000年法国电力安培奖（Prix Ampère de l'Électricité de France）、2001年瑞典皇家科学院克拉福德奖（Crafoord Prize）、2004年法国国家科学研究中心金奖等一系列奖项。

孔涅从1970年代起一直致力于解决由量子物理学和相对论引起的数学问题，他成功地获得了冯·诺伊曼代数中几乎完整的单射因子分类。孔涅统一了算子代数领域中一些先前被认为是不同的概念，彻底改变了这一学科的面貌，并激发了大量后续研究。通过与数十位合作者的250 多篇学术文章，孔涅在过去几十年里对现代数学的发展产生了重大影响。他还致力于算子代数在微分几何中的应用，发展了类似于著名的阿蒂亚-辛格指数定理的有关理论。孔涅开创了非交换几何这一全新的数学分支，在算子理论与数学和物理学中的许多基本问题之间建立了深刻联系。对于诸如数学的本质、时间的发生等科学哲学问题，他也提出了深刻独到的见解。

在自由的思考中成长

1947年4月1日，孔涅出生于法国南部戛纳附近的城市德拉吉尼昂（Draguignan）。他的祖父是一位法国工程师，在一战中阵亡，祖父母在德拉吉尼昂购买了一处庄园。孔涅的外祖父母来自阿尔及利亚，外祖母是一位钢琴家。他的母亲在摩洛哥出生，18岁时随其父母移民法国，后来成为一名医生。1944 年，孔涅的父母在德拉吉尼昂相遇，两人生育了三个男孩，阿兰是中间的孩子。为了使孩子们接受更好的教育，在孔涅八岁时全家搬到马赛，在新家附近一所很好的学校圣查尔斯中学（Lycée St Charles）读书。他从小就对通过考试、参加竞赛不感兴趣，而是着迷于自己的想法。孔涅小时候学过几年钢琴，始终对音乐情有独钟，他认为自己大脑的一部分是音乐性的。

1966-1970年间，孔涅在著名的巴黎高等师范学院（Ecole Normale）学习。巴黎高师创建于1794年，在法国大革命中饱经动荡。1808年经拿破仑一世和拉普拉斯整顿后重新开学，二百多年来培养了许多杰出的科学家、哲学家、文学家等精英人才，20世纪的巴黎高师以布尔巴基学派闻名。一战结束后一群优秀的法国青年进入高师学习，他们不满法国数学日益衰落的现状。1935年，亨利·嘉当（Henri Cartan）、让·迪厄多内（Jean Dieudonné）、安德烈·韦伊（André Weil）等人发起成立了这个数学家秘密团体，提出了 “数学结构”的观点。这些年轻的数学家们以 “布尔巴基”为笔名，在之后近半个世纪中撰写了鸿篇巨著《数学原本》（Éléments de mathématique）。

1956年摄于圣查尔斯中学，前排左二为孔涅（copainsdavant.linternaute.com）

有人说巴黎高师毕业的数学家对数学有一种优雅的品位，孔涅也许就是这样一个高师人。大学第一年给他留下了美好的回忆，在那里孔涅和朋友们可以自由地思考数学问题，并不局限于课堂和书本。他们只须在年底通过一些小型考试，很多人日后成长为优秀的数学家。孔涅认为，当你开始做数学时必须要有自己的花园，即使它远离那些很时髦的东西。花园很小也没有关系，重要的是它是你自己的，你对它想了很多、喜欢它，并且把它作为一个起点。用他自己的话说：“我们或多或少是通过某个反叛行为才开始成为数学家的”。大学高年级时，孔涅参加了数论学家查尔斯·皮索（Charles Pisot）和分析学家古斯塔夫·乔凯（Gustave Choquet）组织的讨论班，并开始尝试进行数学研究。1970年孔涅参加了一个暑期物理学校，他在那里第一次接触到算子代数理论。

1971年七月，孔涅应邀参加在西雅图举办的一个学术会议，这是他和新婚妻子第一次前往美国旅行，因此并没有注意会议的主题。那时算子代数领域的一大热点是两位日本数学家富田稔和竹崎正道发展的Tomita-Takesaki模理论，使得沉寂了近30年的冯·诺伊曼代数重新引起关注，而孔涅开始研究这一理论的方式是一个机缘巧合的故事。孔涅夫妇首先飞往纽约看望他当时在普林斯顿的兄弟，他在书店挑选了一本看上去有趣的数学小册子，用以打发之后前往西部长达五天的火车旅行时间。在西雅图参加会议期间，孔涅发现那本书的作者竹崎正道竟然是会议的报告人之一，他因此决定只听竹崎的报告，并开始专注于Tomita-Takesaki模理论。

冯·诺伊曼代数是由复 Hilbert 空间上有界线性算子构成的自伴代数，对于弱算子拓扑封闭并且包含恒等算子，是测度论的非交换推广。匈牙利裔美国数学家约翰·冯·诺伊曼（John von Neumann）在1929年的论文《函数运算代数和正规算子理论》中首先提出“算子环”的概念，将有限维矩阵代数推广到无穷维向量空间，为研究物理世界中无穷自由度的系统提供了新的数学工具。1930-40年代，冯·诺伊曼在博士后弗朗西斯·默里（Francis Murray）的协助下，研究了算子环的一些重要性质以及分类和构造，发表了一系列奠基性论文，也留下了许多尚未解决的问题。冯·诺伊曼去世后，在迪厄多内建议下，算子环被重新命名为 “冯·诺伊曼代数”。

回到巴黎后，孔涅开始寻找在法国从事相关研究的数学家。当得知雅克·迪克斯米尔（Jacques Dixmier，1924-）是算子代数的领军人物之一时，他决定参加九月份迪克斯米尔主持的讨论班。在第一天的讨论班上，迪克斯米尔带来几篇论文，让参加者自行挑选并准备报告。孔涅随机地拿了其中一篇，在回家的火车上，他发现该文作者荒木不二洋（Huzihiro Araki）和爱德华·詹姆斯·伍兹（Edward James Woods） 所做的事情实际上与Tomita-Takesaki 模理论密切相关。当天孔涅就给迪克斯米尔写了一封信，并写出一篇四页的报告，阐述了Araki-Woods 不变量可以用 Tomita-Takesaki 模理论计算。他从此步入研究生涯，开启了自己在数学王国神奇领地上的寻宝之旅。

从因子分类到非交换几何

2024年满一百岁的迪克斯米尔于1942年进入巴黎高师学习数学，师从亨利·嘉当和加斯顿·朱利亚（Gaston Julia），1949年获得巴黎大学博士学位。迪克斯米尔是布尔巴基学派的成员之一，他认为自己在学派中属于比较中庸的一员。迪克斯米尔对布尔巴基学派的巨著《数学原本》的“李群和李代数”分卷做出了重要贡献，算子理论中的“Dixmier迹”和李代数中的“Dixmier映射”均以他的名字命名。迪克斯米尔年轻时阅读了默里和冯·诺依曼关于算子环的系列论文，1947年他曾拜见来访巴黎的冯·诺依曼，1954年在阿姆斯特丹国际数学家大会上聆听了冯·诺依曼的《数学中未解决的问题》主题演讲，1957年他用法文撰写了关于冯·诺依曼代数的第一本专著。

迪克斯米尔一共指导了20位博士生，孔涅是其中最杰出的一位。1971年他在自己的讨论班上第一次见到孔涅时有些吃惊，因为大部分参加者都是他的学生。孔涅关于Araki-Woods不变量的简洁证明给他留下了深刻印象，从那时起两人成为终生好友。在迪克斯米尔的指导下，孔涅用两年时间完成了博士论文《III型因子的分类》，于1973年获得巴黎第六大学（现为索邦大学）博士学位。因子是具有平凡中心的冯·诺依曼代数，目的是为了探索量子力学中Hilbert空间的非平凡分解。默里和冯·诺依曼将因子分为I、II、III型，利用态迹对前两种类型的因子进行研究。孔涅的主要工作是发现了冯·诺依曼代数新的同构不变量，并将III型因子进一步细分为IIIλ型因子，这里0 ≤ λ ≤1。

自从在普林斯顿发现竹崎正道写的书开始，又在西雅图遇到作者本人，再到巴黎拜师迪克斯米尔，其中似乎存在某种随机因素，因此有人说孔涅很幸运。但是他本人认为机缘巧合并不等同于幸运，可能开始有一定的随机因素，而随后却必须做大量工作。这些工作是以“那里有东西”的想法为指导的，这种直觉层面的想法或内在的驱动力在数学中比什么都重要，难以传递给他人。在前往奥斯陆访问挪威数学家埃尔林·斯托默（Erling Størmer）时，孔涅了发现博士论文中的重要结果。在六月北欧那些漫长的白昼里，太阳不会真正落山，因此给他留下了美好的回忆。孔涅说自己是为发现的乐趣而工作，而这种快乐是其他任何事情都无法替代的。

博士毕业后，孔涅继续自己在博士论文中提出的想法，取得了许多重要的研究成果。他证明了II型超有限内射因子的唯一性并对其自同构群进行分类，从而对于0 ≤ λ <1得到了IIIλ型超有限因子的几乎完全分类。这一抽象理论在同行中引起巨大反响，孔涅发展的研究方法日后也成为量子统计力学、C*动力系统等领域的重要工具。1978年，孔涅应邀在赫尔辛基国际数学家大会上作一小时报告，一颗数学新星冉冉升起。在1983年华沙国际数学家大会上，孔涅获得菲尔兹奖，荒木不二洋作了题为 “阿兰·孔涅的工作”的大会报告，他指出：孔涅关于因子分类的工作 “构成了冯·诺依曼代数理论中最完善和最引人注目的部分”。

孔涅（摄于1989年）以及他的《非交换几何》英文版封面（alchetron.com）

非交换理论的源起可以追溯到1925年，沃纳·海森堡（Werner Heisenberg）提出了两种力学中著名的“不确定性原理”：在一个量子力学系统中，一个运动粒子的位置和它的动量不可被同时确定，他因此与马克斯·玻恩（Max Born）等人共同提出了矩阵力学的概念。类似的不确定性关系也存在于能量和时间、角动量和角度等物理量之间，冯·诺伊曼关于算子代数的奠基性工作，就是受到海森堡不确定性关系的启发。算子代数领域的一个标志性结果是1943年证明的Gelfand-Naimark表示定理，即紧豪斯多夫拓扑空间可以从该空间上函数的C*-代数中重建出来。在完成了超有限因子的分类工作之后，孔涅尝试将Gelfand-Naimark表示定理中空间与代数之间的交换对偶性扩展到非交换环境，获得了巨大成功。

在数学和量子物理学中，存在许多几何空间自然地对应于非交换代数。孔涅在与丹尼斯·沙利文（Dennis Sullivan）、亨利·莫斯科维奇（Henri Moscovici）、保罗·鲍姆（Paul Baum）等数学家的交流与合作中不断产生新思想，提出了循环上同调（cyclic cohomology）理论及其与K-理论的关系，逐步搭建起非交换几何学的框架。非交换几何学融合了分析、代数、几何、拓扑、物理、数论等多个领域，经典分析中的许多基本概念和工具均可扩展到非交换的情形，离散变量和连续变量作为算子共存并被同步处理。1990年孔涅出版了法文专著《非交换几何》，英文版于1994年问世，2001年的克拉福德奖就是表彰他对算子代数和非交换几何学理论做出的开创性和独特贡献。

孔涅的工作为理论物理的研究提供了强有力的新方法，包括标准模型和重整化理论，对于量子理论给予了全新的解释。彭罗斯平铺（Penrose tiling）和叶状结构（Foliation）是非交换几何空间的两个典型例子。彭罗斯平铺的一个显著特征是其局部同构性，因此是非交换几何技术的主要示例。孔涅发现黎曼曲面上的测地线流Anosov 叶状结构可以产生一类超有限的III1型因子，在相对论量子场论中与局域代数同构。如果使用非交换代数作为坐标代数，这类空间就变得易于处理。孔涅将描述基本粒子的标准模型纳入了同一个几何空间，使得将引力场纳入标准模型成为可能，其最终愿景是实现对于宇宙中所有相互作用统一理论的几何学描述。

心智、物质和数学本质

数学是独立于人类心智的永恒存在还是人脑发明或创造的产物？我们是发现了还是建构了它们？这场关于数学本质的哲学之辩延续了两千多年，分成了“发现派”和“发明派”两大阵营。“发现派”又被称为 “柏拉图主义者”，最早可追溯到毕达哥拉斯和柏拉图等古希腊先哲，他们认为数学的存在貌似无法被人类改变，阿基米德、伽利略、笛卡尔、牛顿、哈代、哥德尔等人都属于发现派阵营。20世纪初，以弗雷格和罗素为代表的逻辑主义、以希尔伯特为代表的形式主义、以布劳威尔为代表的直觉主义（发明派的现代版本）三大学派之间发生了激辩，从而引发了史上第三次数学危机。这一涉及数学的文化复杂性和永久正确性的问题，也许会永远争论下去。

1995年，孔涅与国际知名的法国神经生物学家让-皮埃尔·尚热（Jean-Pierre Changeux）就数学本质进行了一场著名的辩论，并出版了《关于心智、物质和数学的对话》（Conversations on Mind, Matter, and Mathematics）一书。数学是否构成一种原则上允许人类与外星文明交流的通用语言，或仅仅是一种地球语言，而其偶然存在归功于智人大脑中神经元网络的特殊进化？ 物理世界是否真地遵守数学定律，或仅仅是因为物理学家越来越能够从数学角度理解物理现象似乎符合这些定律？两位科学家讨论了人类大脑的发展作为自然选择和变异的功能、数学在解释物理世界时“不合理的有效性”的原因、人类智力的特征和数学创造力的来源等问题，该书生动地记录了他们之间的深刻分歧以及寻求相互理解的真诚努力。

《关于心智、物质和数学的对话》英文版封面和简介

尚热曾在多个生物学领域取得重要的研究成果，例如蛋白质的结构和功能、神经系统的早期发育和认知功能等，因其关于心智与大脑生理机能之间关系的观点而为非科学界人士所熟知。由于数学是人类的认知活动，因此尚热首先从心理和神经认知的角度对其进行分析。他主张的神经唯物主义认为数学对象实质上是存在于大脑中的心理对象，作为心理表征而被赋予物质现实。更重要的是，公理化分析方法本身就是一个“大脑过程”。根据尚热的说法，大脑不可能是一台生物计算机，而是一台自然进化的达尔文机器。数学的真实性、存在性、连贯性和刚性是其“进化的后验结果”，人类知识获取的装置——我们的大脑——就像它的数学对象本身一样演化。

尚热是最早通过突触的选择性稳定提出表观发生基本机制模型的科学家之一，他引用了大量包括神经生物学和认知心理学领域的科学数据，指出大脑中存在感性、知性、理性的从具体到抽象不同层次的认知组织，在从脊髓的基本神经回路、脑干和神经节一直到额叶皮层的神经结构中实现，其复杂性在数学宇宙渐进式结构化中起着基础性作用。尚热认为，数学构成了一种语言，因此必须像任何其他语言一样，从概念形成的认知理论出发并进行处理。数学对象存在于“宇宙中某个地方”的说法是一个过去魔法神学时代的“神话残余”，数学只能是一系列心智建筑。自然界存在规律性，但这些是“物质固有的属性”而不是数学定律。

与尚热相反，孔涅是一位现代的柏拉图主义者。他坚称： “独立于人类意识之外，存在着一个原生而永恒的数学世界。”在孔涅看来，如果数学被简化为一种语言，否认数学的真实性，那么就没有理由不认为感知到的任何真实物体都仅仅是“一种有助于解释某些视觉现象的心理结构”。如同哥德尔不完备性定理在其最深刻的表述中所阐述的，数学不能简化为正式语言。孔涅以素数为例，指出素数“构成了比我们周围的物质现实更稳定的现实”。他多次提到承认数学真实是“原始的和不变的”之重要性，他指出数学真实像物理真实一样受到限制，但要稳定得多，因为它不在时空之中，而时空世界中的存在不再是客观真实性的唯一标准。

关于数学的真实性，孔涅在辩论中强调了如下三个方面：1. 对由公理体系定义的对象进行详尽分类的可能性，公理化允许“为由非常简单的条件定义的数学对象提出的问题分类”。这一历史从古希腊几何学家开始，他们对五种柏拉图立体进行了分类。2. 数学理论的一致性与和谐性。尽管对其原因仍“无法解释”，却是无可争议和客观的“随机性对立面”。一个典型的例子是沃恩·琼斯（Vaughan Jones）关于冯·诺伊曼代数中子因子的指标定理，以及与纽结理论的惊人联系和在量子场论中的应用。琼斯是孔涅的非正式学生，1990年获得菲尔兹奖。3. 有趣的数学理论（结构）包含无限的但不能被有限公理化的信息量，而这正是独立于一切人类创造的客观存在的显著特征。

非交换性是时间的发生器

“时间是什么？”这是另一个备受争议和令人烧脑的问题。量子力学中的时间和广义相对论中的时间是一个互相冲突的概念，量子力学认为时间的流动是同一的和绝对的，而广义相对论则认为时间的流动是动态的和相对的, 时间和空间作为时空一起演化。孔涅在几年前的一次访谈中说： “人们从量子力学中发现的非交换性，其实就是时间的发生器。 我仍在思考这样一个事实，即时间的流逝，或者我们感觉到时间在继续却无法阻止，实际上恰恰是量子力学的非交换性结果，或者更明确地说是量子力学内在随机性的结果……我相信时间流逝的起源正是这种随机性。”“ 在非交换世界中，有一种完全原始的东西在交换世界中不存在，这就是上帝赐予的时间演化。” 他认为由宏观状态决定的时间与量子非交换性决定的时间是同一现象的不同方面。

孔涅与他的妻子丹耶·谢罗（Danye Chéreau）及导师迪克斯米尔一起撰写了两部科幻小说：《量子剧院》（Le théâtre quantique，2001）和《阿塔卡马幽灵》（Le Spectre d''Atacama，2018）。谢罗是一位高中拉丁语和希腊语老师，她总是以好奇和有趣眼光看待科学世界。迪克斯米尔在1990年代曾写过两篇科幻小说：《众神的黎明》（L'Aurore des dieux）和《第七次保证金》（Le Septième arrhe）。这两本用六只手写出的书使得那些远离普罗大众的科学理论大放异彩，他们在《量子剧院》中写道： “量子的变幻莫测是神圣时钟的滴答声”（l'aléa de quantique est le tic-tac de l'horloge divine）。孔涅用他40多年来一直在改进的奇特工具——非交换几何，将人们带入了 “虚构”的宇宙，其哲学意义大于数学意义。

右起：孔涅夫妇与迪克斯米尔，摄于2013年（celebratio.org）

在《量子剧院》中，年轻美丽的女科学家夏洛特·登皮埃尔（Charlotte Dempierre）通过自己的设计，让日内瓦欧洲核子中心的阿特拉斯探测器读取她的大脑，并在全球计算机网络的帮助下，成功测量了神经网络中所有基本粒子，因此时间消失了。夏洛特经历了无限的过去和未来，带给读者一段非凡的启蒙之旅，或睡美人的经历。小说借夏洛特之口说：“我拥有一笔无人知晓的财富，我拥有对自己的存在全观的视野——不只是对于一瞬间，而是对于‘作为一个整体’的我的存在。我能够把空间与时间的有限性进行比较，对于前者无人反对，而后者却带来问题……我的印象是失去了量子场景提供的所有无限信息，因此将我不可抗拒地拖回时间之河。”

《阿塔卡马幽灵》讲述数学家阿尔芒·拉福雷（Armand Lafforêt）遭遇数学中尚未解决的一个重大问题——黎曼猜想的故事，通过法国作曲家奥利维尔·梅西安（Olivier Messiaen）和他的室内乐《时间终结四重奏》，以及在智利阿尔玛天文台捕捉到的包含黎曼 zeta 函数零点在内的神秘光谱，揭示了时空与音乐之间的联系。拉福雷和他的科学家同伴为了确定发送光谱的是否外太空智能生物，必须设计一个图灵测试进行检验，这一检验与韦伊关于黎曼猜想的工作有关。书中人物所做的是将与素数相关的模式发送到外太空，但他们会遗漏一个素数。如果收到信息的生物足够聪明，就会通过发送缺失素数的模式来回答，量子的危险与素数的叛逆交织在一起。

1990年代，孔涅与让-伯努瓦·博斯特（Jean-Benoit Bost）合作研究量子统计力学时，发现了一个对称性自发破缺的系统，其配分函数是黎曼 zeta 函数，而zeta 函数的零点自然显示为 “时间开始”。孔涅后来创作《阿塔卡马幽灵》的灵感也发源于此，他意识到梅西安音乐的节奏与韦伊模拟的 zeta 函数零点的周期具有完全相同的模式。为此孔涅在《数学和音乐》杂志上发表了一篇文章，阐述了代数几何中 “动机”（motif）的数学特性与音乐 “节奏”（rhythms）之间令人惊讶的关系。动机是格罗滕迪克在 1960 年代提出的一个概念，用于统一大量有类似性质的上同调理论，格罗滕迪克将其描述为 “终极上同调不变量”。

《量子剧院》《阿塔卡马幽灵》法文版封面

亚历山大·格罗滕迪克（Alexander Grothendieck，1928-2014）是20世纪最伟大的数学家之一，也是布尔巴基学派成员。他将空间和相关的环作为主要研究对象，开创了代数K-理论和拓扑K-理论的研究，为现代代数几何学奠定了新的基础。1950年代末，格罗滕迪克引入了“拓扑斯”（topos）的概念，拓扑斯是“空间概念的变体”，使得拓扑直觉形式化，这也是点集拓扑学的范畴论推广。2014年，孔涅与合作者发现了一个算术拓扑斯，可以产生与他在 1996 年发现的非交换空间相同的空间，从而在格罗滕迪克的拓扑斯观点与非交换几何的观点之间建立起联系。孔涅年轻时也曾参加过布尔巴基的活动，但据他自己说只持续了一年多时间。

格罗腾迪克在其自传《收获与播种》（Récoltes et Semailles）中描述了一幅他从分析出发，最终来到代数几何的过程中所经历的景象： “我仍然记得这个吸引人的印象（当然，这完全是主观的），就像是我离开了令人厌恶的干旱荒原，突然发现自己来到了一个华丽繁茂、遍地流金的 ‘富裕地带’，到处都充斥着无穷无尽的财富，这里令人禁不住伸出双手，去采摘果实或者开发宝藏⋯⋯”这也是包括孔涅在内的无数数学家花费毕生心血致力于发现的真理：“条条道路通罗马”，数学世界是连通的。孔涅认为，在数学中没有比面对无法解决的问题更好的进步方法了。他把这样的问题视为一份礼物，始终乐此不疲。

2024年5月于斯德哥尔摩

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