当三个小伙子同时爱上一个姑娘，还得靠数学知识来解决问题？

原创：中科院物理所

龙年伊始，有三个小伙子，同时爱上了一个姑娘。

为了娶到这个姑娘，他们决定：

用手枪，进行一次决斗。

阿武的命中率是30％，小胡的命中率是50％，而老郭是神枪手，他从不失误，命中率是100％。

为了公平一些，姑娘让他们按这样的顺序决斗：

阿武先开枪，小胡第二，老郭最后。

然后不断循环，直到，只剩下一个人。

那么，这三个人中，谁最有可能活下来，娶到姑娘呢？

血战到底

忽略这诡异的血战到底的设定，不难发现，这是一道很有意思的概率推理题。

别急，我们慢慢来捋一捋思路：

首先，阿武作为第一个开枪的人，他肯定不会去打小胡，因为如果小胡不幸中弹身亡，接下来老郭就会开枪打自己，那自己必死无疑。

所以，阿武肯定会选择先开枪打老郭。

其次，如果老郭能活到开枪的时候，并且这时候阿武和小胡都还没死，那老郭肯定会选择先把命中率更高的小胡打死；

所以，小胡肯定会希望老郭活不到开枪的时候，因此小胡也会选择先打老郭。

确定这两点以后，我们就可以开始分类讨论了：

首先，我们来看看神枪手老郭获胜的概率，根据上面的思维导图，只有一种情况下，老郭能够获胜：

阿武和小胡都没打中老郭，老郭先开枪命中了小胡，然后阿武又没打中老郭，老郭又开枪命中了阿武，这样，老郭的获胜概率就是：

70%*50%*70%=24.5%

接下来，我们来看看阿武获胜的概率：

①：阿武和小胡打老郭都没打中，小胡被老郭打中，然后老郭被阿武打中，这时候阿武胜，概率是：70%*50%*30%=10.5%；

接下来的情况，最后都是只剩下阿武和小胡两个人对决，由于他们都不是百发百中的神枪手，所以问题进入了不断循环：

如果彼此都一直打不中对方，他们俩可以相互开枪，一直到地老天荒....

因此，如果单算只剩阿武和小胡两个人后，阿武向小胡开枪，最后阿武获胜的概率：

30%+70%*50%*30%+70%*50%*70%*50%*30%+....+

不难发现，这就是一个等比数列的求和，最后整个概率总和就是：

当n趋于无穷的时候，整个值的极限就是46.2%；

这时候，我们再考虑上前提条件，老郭提前出局，轮到阿武先向小胡开枪，一共有两种情况：

①：阿武打中老郭，小胡没打中阿武，最后阿武和小胡循环交战，阿武胜的概率是：30%*50%*46.2%=6.9%

②：阿武没打中老郭，小胡打中了老郭，然后又开始阿武和小胡的循环交战，于是阿武胜的概率是：70%*50%*46.2%=16.2%

所以，阿武获胜的总概率就是三种情况相加：

10.5%+6.9%+16.2%=33.6%

最后，我们来看看小胡获胜的概率，理论上我们用100%减去阿武和老郭的获胜概率，那就应该是小胡的获胜概率，但万一我们上面算错了呢？

保险起见，我们还是来具体算一下，思路和阿武的类似，假设小胡先开枪打阿武，最后小胡胜：

当n趋于无穷的时候，整个值的极限就是76.9%；

最后会变成小胡向阿武开枪，进入循环对战的情况，一共也就两种，概率相加就是：

30%*76.9%+70%*50%*70%*76.9%=41.9%

至此，我们总结一下：

阿武获胜概率是33.6%;

小胡获胜概率是41.9%；

老郭获胜概率是24.5%。

三者相加概率是100%，也侧面验证了，小编应该没有算错？

所以，最有可能活到最后的，并不是神枪手，而是只有50%命中率的小胡。

蓝眼岛问题

假设小胡真的活到了最后，如愿娶到了心爱的姑娘。

他们来到一个岛上，进行蜜月旅行。

这个岛上住着100个人，其中有3个红眼睛，97个蓝眼睛。

对于这100个岛民而言，有三个奇怪的规则约束着他们：

1：他们不能照镜子，不知道自己眼睛的颜色。

2：他们不能告诉别人对方的眼睛是什么颜色。

3：一旦有人确定了自己是红眼睛，他就必须在当天夜里自杀。

这天，小胡在和全岛人一起狂欢的时候，不留神就说了一句话:你们这里有红眼睛的人。

问题来了:

假设这个岛上的人足够聪明，每个人都可以做出缜密的逻辑推理。请问，这个岛上将会发生什么?

这是一道很经典的逻辑推理题。

这种推理都不能泛泛而谈，要从最特殊的视角出发，代入思考，才能最快得到答案。

我们不妨假设红眼睛的三个人分别是A,B,C，那么对于红眼睛C而言，他看到了两个红眼人A和B，他就会这样想：

同样的，红眼人A在等着B和C第二天自杀，红眼人B在等着A和C第二天自杀，结果第二天谁也没自杀。

于是，根据他们缜密的推理逻辑，三个红眼人都会在第三天确认自己也是红眼睛，选择在第三天夜里同时自杀。

所以，正常情况下，故事的结果就是：

第三天夜里，三个红眼人同时自杀。

看上去，小胡说的这句话并没有更多信息。

他没说一共有多少个红眼人，也没说谁是红眼睛，为什么最后红眼人就自杀了呢？

这就涉及到逻辑学中的共有知识和公共知识。

共有知识，是一个群体的每个人都知道的事实，但是不知道其他人是否知道;

公共知识指一个群体的每个人不仅知道这个事实，而且每个人都知道该群体的其他人也知道这个事实，并且其他人也知道其他的每个人都知道这个事实.....

这么说可能比较抽象，举个不是很严谨的例子：

高中的时候，中午最后一节课一般到11点40。

有的时候老师会拖堂，大家都意识到老师拖堂了，但不知道其他同学有没有注意到，不敢提醒老师，又担心食堂没饭吃。

这时候，有个同学提醒道：”老师，已经下课了。"

这下，大家心里就都清楚了，原来其他人也意识到老师拖堂了。

老师拖堂这件事情，就从共有知识，变成了公共知识。

同样的，在这里，岛民都知道岛上有红眼睛的人，但不知道其他人是否知道，这时候，“岛上有红眼睛的人”叫做共有知识。

当小胡把这句话喊出来后，这句话就变成了公共知识，所有人都知道了“岛上有红眼睛的人”，并且也知道了其他人也知道“岛上有红眼睛的人”。

所以，最后，那些红眼睛的人，才会自杀。

这在现实生活中，其实很常见。

一支股票，大家觉得垃圾。有权威机构发文，认定这是垃圾股，大家跟帖讨论也都觉得这是垃圾股，这就会变成公共知识，这支股票就会一路狂跌，没人愿意接盘。

你看了这篇推送，觉得逻辑学真有意思，认为这文章很不错，然后你看到下面的评论也都在这样说，于是，”这是篇优秀的科普文“就成了公共知识，小编就会很快乐！

小试牛刀

刚刚我们分析的这两道题，其实都涉及了分类假设和概率计算。

毋庸置疑，在物理研究中，逻辑思维也是很重要的。

在研究晶体结构和性质的对应关系时，我们需要从晶格、轨道、电荷、自旋等多个角度分类解析；在生长出的材料性能不好时，我们需要从结果倒推可能的原因。甚至，我们从初中物理就开始用到的控制变量法，也蕴含着很典型的逻辑思维。

所以，做一些有趣的逻辑思维题，并不是浪费时间，这能够帮助我们灵活思维，寻找新的科研思路。所以，今天还是中科院物理所（逻辑所）！

这里还有一道很经典的过桥问题（小学奥数题），大家可以在走亲访友嗑瓜子的时候，来思考一下：

春节了，小明一家要去河对岸拜年，需要过一座桥，过桥时是黑夜，所以必须拿着唯一的灯过桥。

已知，小明过桥要1秒，弟弟要3秒，爸爸要6秒，妈妈要8秒，爷爷要12秒。每次过桥最多可过两人，而过桥的速度依过桥最慢者而定，而且灯在点燃后30秒就会熄灭，并且不能再点燃。

问：小明一家过桥，至少需要多长时间？

欢迎在评论区留下你的答案！

祝大家新年新气象，逻辑推理一年更比一年强！