基本原理之“过程还原、切换视角、转换表述”（一）・技进乎道方能如庖丁解牛游刃有余

转按：在小学数学的习题教学中，我们不能一味地带着孩子们去“集邮”即认识题型并学习其对应的解题方法和技巧然后通过大量刷题去训练出“条件反射”，而是还应该、也更应该引导孩子们去领会“思想”即数学的思维方式和思考方法——其具体体现为犹如物理学中的“最小作用量原理”类的“基本原理”。“始于‘集邮’，终于‘思想’”才能“技进乎道“，”技进乎道方能如庖丁解牛游刃有余”。“过程还原、切换视角、转换表述”是以我自己的体会为基础提炼出的“基本原理”之一。限于见识、水平，我提炼出的“基本原理”难免浅陋、偏狭，其表述也未必精当，欢迎高人批评指正。原文参见《“基本原理”之“过程还原、切换视角、转换表述”（一）・技进乎道方能如庖丁解牛游刃有余丨以求学问之心讲有学问之题论讲题之学问》，鉴于原文的字里行间有很多以小号和低亮度文字所作的注释，所以建议阅读原文。

绪论

题型及与其匹配的解法和技巧固然是纷繁的知识尤其是关于如何应对考题的知识的一次归纳，但此一归纳后的所谓“干货”仍然数量庞大，需要学生去记忆，且需要通过大量的刷题去重复和熟悉以期形成固定模式的“条件反射”——所谓的“秒懂”、“秒解”。且不说这需要学生耗费大量的精力，更难堪的是其效果或许并不能尽如人意，因为这种训练最好的效果也只能保证学生可以解决经验范围内的问题——所谓的“举一反三”也仍然是在经验范围内。这种“做题家”型的“学霸”之“霸”只不过是一种虚幻的“绩优”，此非吾之所欲也。

“吾生也有涯，而知也无涯。以有涯随无涯，殆已！”题目千变万化，是为“无涯”，题型及与其匹配的解法和技巧始终只不过是有限的知识，是为“有涯”。

然则，怎么破？

还得再归纳！归纳提炼出“基本原理”性的“道”，引导学生去领会此“道”，凭此“道”可以衍生出应对千变万化之题的“技/术”即解题思路和方法技巧，如同庖丁解牛，技进乎道后方能以无厚入有间游刃有余。

庖丁为文惠君解牛，……砉然向然，奏刀騞然，莫不中音。合于《桑林》之舞，乃中《经首》之会。

文惠君曰：“嘻，善哉！技盖至此乎？”

庖丁对曰：“臣之所好者道也，进乎技矣。……臣以神遇而不以目视，官知止而神欲行。依乎天理，……因其固然，……以无厚入有间，恢恢乎其于游刃必有余地矣。”

再以物理学为例来说明其中的道理。

物理学追求的目标之一是简洁。物理学家的任务绝不是把每一个实验事实编成表格让人们记住，这是不可能完成的任务。正如皮埃尔·迪昂在《物理学理论的目的与结构》中所述：“人的心智面对不计其数的具体事实，每一个事实因由大量各种各样的细节构成而错综复杂，没有一个人能够囊括和保留所有这些事实性知识，也没有一个人能够把这些知识传达给他的同胞”。

物理学家的打开方式是用抽象的方法从大量的实验事实当中归纳、总结，去寻找普遍、共有的东西，把一大堆复杂的实验事实“压缩”成简单的命题，形成物理定律，从而大大减少对人心智资源的占用。……

物理学的目标是掌握世间万物的规律。可自然如此纷繁复杂，即便只关注其中相对不那么复杂的“非生命体”[4]，面对的情形也足以让人目眩。仅仅通过一次“压缩”，从自然事实归纳为物理规律仍然是不够的。……每一种都还会有一大堆物理定律，对人有限的心智依然是难以承担的负荷。因此物理学家还要进行第二次“压缩”，把所有这些定律浓缩成少数“原理”，只要掌握了这些原理，通过有规则和可靠的计算，就可以从原理中提取出需要的定律。比如掌握了费马原理，那么几何光学中的各种反射、折射定律大都能够从中获得。

这种“压缩”被恩斯特·马赫称为“思维经济”，是物理学的目标和指导原则。自然界的复杂程度之高和人类认知能力之有限之间的终极矛盾，使得人类的物理学必然是一种“思维经济”。物理学家的工作，就是从对一个个自然现象和实验事实进行“集邮”开始，归纳总结为物理定律；再在对物理定律“集邮”的基础上进一步抽象成为理论体系，最终用少数的几条原理，通过可靠的规则和计算就能够描述、解释或者预测大多数自然现象，到这里工作才算完成。

……

物理教育的终极目标是让学生具备解决未知问题的能力，而这个能力的核心就是物理学的思维方式和研究方法。物理教育可以始于“集邮”，但最终应该终于“思想”。

——引自：始于“集邮”，终于“思想”

在小学数学的习题教学中，我们不能一味地带着孩子们去“集邮”即认识题型并学习其对应的解题方法和技巧然后通过大量刷题去训练出“条件反射”，而是还应该、也更应该引导孩子们去领会“思想”即数学的思维方式和思考方法——其具体体现为如物理学中的最小作用量原理类的基本原理。

“技进乎道方能如庖丁解牛游刃有余”这个单元的主旨就是“始于‘集邮’，终于‘思想’”“。

“过程还原、切换视角、转换表述”是以我自己的体会为基础提炼出的“基本原理”之一（其它的将另辟专题讨论），将作为一个专题安排若干篇文章来讨论。

限于见识、水平，我提炼出的“基本原理”难免浅陋、偏狭，其表述也未必精当，欢迎高人批评指正。

练拳不练功，到老一场空。——民间谚语

本文的主要例题（仅选取一头一尾及中间其二共4道有代表性的习题）如下：

题1-头

同学们到图书馆借书，如果每人借4本，则最后少2本；如果前2人每人先借8本，余下的人每人借3本，这些图书恰好借完。

问：图书的总数是多少？

题2-尾

某电路大队检修供电线路，原计划36小时完成，实际每小时多检修180米，结果提前12小时完成。

问：原计划每小时检修电路多少米？

题3-中

小明从家里到学校，如果每分钟走50米，则正好到上课时间；如果每分钟走60米，则离上课时间还有2分钟。

问：小明从家里到学校要走多远？

题4-中

用一根绳子测量井深，把绳子折成相等的2段测量时，多1.2米；把绳子折成相等的3段测量时，差1.1米。

问：井深多少米？（折绳处的长度忽略不计）

建议先自己思考一下，然后再阅读本文会有更深切的体会。

导读

本文将先从对“盈亏问题”（一类题型，其解题方法被编成了一句口诀叫“多多少少来相加，然后除以分配差”）相关习题的解题思路的探索中（也即绪论中所说的“集邮”）提炼出“过程还原、切换视角、转换表述”这一“基本原理”——数学的思维方式和思考方法（也即绪论中所说的“思想”），然后将此“‘基本原理’的‘思想’”拓展到“类盈亏问题”、进而推广到其它类型的问题。

引例

同学们到图书馆借书，如果每人借4本，则最后少2本；如果前2人每人先借8本，余下的人每人借3本，这些图书恰好借完。

问：图书的总数是多少？

这道题先作为思考题放在这，暂时不讲。因为以常规经验即所学习的应对“盈亏问题”这种题型的惯常解题方法解决不了这道题，解决这道题需要我们对“盈亏问题”的本质有所把握和领会，并从中提炼出一些“基本原理”性的思维方式和思考方法。

所以，下面我们先来“集邮”，体会其中的“思想”，并将其提炼出来，然后我们再回过头来解决这道题。

一、集邮

1、困而知之，初悟妙道

从哪个题目开始呢？按理说，应该由易到难安排例题，但难易也是相对的。思来想去，还是以我自己的实际经历（以我接触到各个题目的时间线）来安排吧，或许这样更合于道。

我们先来讨论我经历的第一个“盈亏问题”的习题，幸亏“无知”（当时真心不知道这道习题属于“盈亏问题”这个题型，因为压根不知道“盈亏问题”这个词儿，我也实在不记得当年上小学时是否曾听过这个词儿。可能是我忘了，也可能是当年老师没教——当年的老师也没如今这些老师有“水平”且下功夫即归纳总结各类题型及其解法和技巧），所以我自己通过独立思考得到了这类题的一种解题思路。

手工课上，王老师带了一些彩纸分给学生。若每组分3张彩纸，则还剩下18张；若每组分7张彩纸，则还差2张。问：王老师一共带了多少张彩纸？

——题目来源：我娃四上时在我娃的托管看到的托管老师给一个三年级孩子做讲解的作业题（当时觉得托管老师讲解得不及本质，孩子也似懂非懂，于是一时技痒，思考上了）

其常规（绝大多数老师们就是这样教的）解题思路如下：

口诀：多多少少来相加，然后除以分配差。

算式：（18+2）÷（7-3）=20÷4=5（人），5×3+18=33（张）

释义：用剩下的18张彩纸加差的2张彩纸共20张彩纸按每人分配4张（即“分配差”：7-3=4）刚好分完，则可用除法20/4=5求得共有5人，然后按第一次分配或第二次分配的情况用加减法综合算式算出总的彩纸数量。

犹如猜谜，当我们猜不出来被告知谜底时，我们会“恍然大悟”，觉得也不过如此，应该可以想到的，但问题是，我们就是没想到。

所以，关键问题是，这个解题方法的思路是什么以及它是怎么来的呢？

实话说，这道题我当时在托管想了十多分钟愣是毫无头绪（上述“口诀”的解题方法我当时是根本不知道的）、就是找不到突破口【这或许说明，我确实不够聪明——可能还有点笨（与那些现在的拿到这个题就能“秒懂”、“秒解”的小学生来说，我自愧不如），我真是个有待“进修”小学数学的“小学生”。纵然如此，so what？近现代最伟大的数学家之一希尔伯特还没有他的学生们的理解速度快呢，但希尔伯特一旦理解了，却比他的学生们把握到的层次更为深广】，还是在接娃回家后娃写作业时【不是陪娃写作业，我也基本从不辅导娃的作业，但她主动来问时，我会视情况看是打回去让她自己想还是提点她几句或是做一点讲解——但绝不恋战（因为孩子没懂而反复讲解时就必然会有“不和谐”，暂时不懂不必急，懂也讲究机缘）】，我再次拿出这道题（此前拍照了）琢磨起来，思考了大约五分钟，突然有了灵感，想通了解题思路。

突然获得的灵感是：

第一次分发到第二次分发究竟是如何发生的呢？增发（或说“补发”，即“不用重新分发”）！！！

想通的解题思路是：

第二次每组分7张可以在第一次每组已分3张的基础上用剩下的18彩纸去给每组“增发”4张，发到最后一组时，发现差2张，若补2张则最后一组也能增发4张；也就是说，若剩下的是20张彩纸，为每组平均增发4张，则刚刚好；从这个新的表述中很自然可以想到“将20除以4”的除法，那这个除法得到的结果“5”（20÷4=5）是什么呢？很明显，是组数；组数既已求得为5，那总的彩纸数就好求了，无论是按第一次分发还是第二次分发去求都可以。

2、切磋琢磨，初窥堂奥

上述灵感和思路的“成色”与“斤两”【“‘成色’与‘斤两’”之说源出明代大哲王阳明的弟子编撰的《传习录》——一本记录王阳明的言行及其与弟子问答的书。“成色”喻指人的内在德性，“斤两”喻指人的外在事功。阳明认为成色比斤两更重要，其言曰：“盖所以为精金者，在足色，而不在分两。所以为圣者，在纯乎天理，而不在才力也。故虽凡人。而肯为学，使此心纯乎天理，则亦可为圣人。犹一两之金，此之万镒。分两虽悬绝，而其到足色处，可以无愧。故曰‘人皆可以为尧舜’者以此。”】究竟几何？

我们将其应用到一道堪称范例的习题——这是将一道题不断变型衍生出的一系列的题——来检验一下，并在检验中体会其妙用。

1、一位老师给学生分糖果，如果每人分6粒，就少9粒；如果每人分4粒就多9粒。问：有多少位学生？共多少粒糖果？

2、一位老师给学生发糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒正好分完，问：有多少位学生？共多少粒糖果？

3、一位老师给学生分糖果，如果每人分5粒就正好，如果每人分6粒，就少9粒，问：有多少位学生？共多少粒糖果？

4、一位老师给学生分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分3粒，还多18粒，问：有多少位学生？共多少粒糖果？

5、一位老师给学生分糖果，如果每人分6粒，就少9粒；如果每人分8粒就少27粒。问：有多少位学生？共多少粒糖果？

——题目来源：小学奥数教学是个良心活（次序有调整。查阅资料时无意遇见的，觉得这个系列题目的编排设计相当好，就打印出来给孩子在闲暇时每次安排出一点点的时间去思考一下）

这一道五型的题我均不采用那个“口诀”所示的解题方法——况且有些题也套不了那个“口诀”，而是遵照在破解前例中获得的灵感和思路去思考并想出解题方法。

一型：一位老师给学生分糖果，如果每人分6粒，就少9粒；如果每人分4粒就多9粒。问：有多少位学生？共多少粒糖果？

【这道题可以套用“口诀”（“多多少少来相加，然后除以分配差”），“分配差”是显然的，“多多”与“少少”也能对号入座。】

解题思路1

【前后之别是如何发生的：不再是“增发”了，而是“扣减”（只要真懂了“增发”，这个“扣减”就不难想到），但其理则同。】

从每人分6粒到每人分4粒使得可供分发的数量从缺少9粒到多出9粒，是由于每人“扣减”出了2粒且“扣减”出的数量除了弥补缺少的9粒外还多出了9粒也即总计“扣减”出了9+9=18粒，也即每人扣减2粒共计扣减出18粒——从这一表述中即可导出一个可求得学生人数的算式【18÷2】继而求出糖果数。

答题表述1

从每人分6粒到每人分4粒可视为从每人处“扣减”出6-4=2粒

“扣减”出的总粒数（除了弥补本已缺少的9粒还多出9粒）为9+9=18粒

故，学生人数为：

（9+9）÷（6-4）=18÷2=9（人）

则，糖果数量为：

9×6-9=45（粒）【或：9×4+9=45（粒）】

解题思路2

【倒转题设两次分发之次序将“扣减”转为“增发”】

将每人分4粒时多出的（即“剩余的”）9粒按每人“增发”2粒分发，结果不够分（有人分不到或分不满这2粒），不够的（即“欠缺的”）数量是9粒，也就是说，若有9+9=18粒则刚好可以给每人分2粒————从这一表述中即可导出一个可求得学生人数的算式【18÷2】继而求出糖果数。

答题表述2

将题设的分发次序倒转

从每人4粒到每人6粒需要为每人增发的粒数为6-4=2粒

可供增发的粒数为9粒但尚有欠缺以至于不够分且欠缺的数量为9粒

故，学生人数为：

（9+9）÷（6-4）=18÷2=9（人）

则，糖果数量为：

9×4+9=45（粒）【或：9×6-9=45（粒）】

二型：一位老师给学生发糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒正好分完，问：有多少位学生？共多少粒糖果？

【这道题如果按“口诀”，脑子稍欠灵活性的孩子就反应不过来了，找不到“多多少少来相加”的那个“少少”（“多多”易知是“9”）——不知道将“正好分完”理解为少“0”粒也即将这个“少少”记/算为“0”。】

解题思路

将每人分4粒时多出的9粒给每人再增发1（5-4=1）粒则可使得每人分到5粒，并且这9粒按每人分1（5-4=1）粒刚刚好不多也不少——从这一表述中即可导出一个可求得学生人数的算式【9÷1】继而求出糖果数。

答题表述

从每人4粒到每人5粒需要为每人增发的粒数为5-4=1粒

可供增发的粒数为每人分4粒时多出的9粒，且刚好分完

故，学生人数为：

9÷（5-4）=9÷1=9（人）

则，糖果数量为：

9×5=45（粒）【或：9×4+9=45（粒）】

三型：一位老师给学生分糖果，如果每人分5粒就正好，如果每人分6粒，就少9粒，问：有多少位学生？共多少粒糖果？

【这道题生搬硬套“口诀”也不行，其道理与在“二型”中所述类同——这次是找不到“多多”了（其实还是“0”）。】

解题思路

每人分5粒就正好，正好即不多不少，每人分6粒少9粒就相当于再给每人再增发1粒的话就需要再额外找9粒来才行，或者说，每人增发1粒则每增发1人就缺（将“少”理解为“缺”，或“欠”、“差”）1粒且总计缺了9粒——从这一表述中即可导出一个可求得学生人数的算式【9÷1）】继而求出糖果数。

答题表述

从每人5粒到每人6粒需要为每人增发的粒数为6-5=1粒

可供增发的粒数为0则每增发1人就缺1粒且所缺的粒数共9粒

故，学生人数为：

9÷（6-5）=9÷1=9（人）

则，糖果数量为：

9×5=45（粒）【或：9×6-9=45（粒）】

四型：一位老师给学生分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分3粒，还多18粒，问：有多少位学生？共多少粒糖果？

【这道题生搬硬套“口诀”也行不通，将“多多少少来相加”算为18+9=27是错的，因为两次分配都有剩余即多出来的——只有“多多”、没有“少少”。】

解题思路1

【按题设分发次序，按“扣减”考虑】

从每人分得的4粒中各扣减1粒则每人分得的就是3粒，扣减出的糖果数量为每人分3粒时多出的数量18粒与每人分4粒时多出的数量9粒之差即9粒（或者说，多出的糖果数量中增加的数量，18-9=9），也就是说每人扣减1粒共扣减出9粒——从这一表述中即可导出一个可求得学生人数的算式【9÷1】继而求出糖果数。

答题表述1

从每人4粒到每人3粒需要从每人扣减的粒数为4-3=1粒

总计扣减出的粒数为扣减后多出的18粒减去扣减前原本多出的9粒

故，学生人数为：

（18-9）÷（4-3）=9÷1=9（人）

则，糖果数量为：

9×4+9=45（粒）【或：9×3+18=45（粒）】

解题思路2

【倒转题设分发次序，将“扣减”转为“增发”】

将每人分3粒时多出的18粒给每人再增发1（4-3=1）粒则可使得每人分到4粒，且还剩下9粒，此即：按每人分1（4-3=1）粒则需要9粒（或者说，将18-9=9粒给每人分1粒刚好分完）——从这一表述中即可导出一个可求得学生人数的算式【9÷1】继而求出糖果数。

答题表述2

从每人3粒到每人4粒需要为每人增发的粒数为4-3=1粒

增发消耗的粒数为增发前多出的18粒减去增发后还剩下的9粒

故，学生人数为：

（18-9）÷（4-3）=9÷1=9（人）

则，糖果数量为：

9×4+9=45（粒）【或：9×3+18=45（粒）】

五型：一位老师给学生分糖果，如果每人分6粒，就少9粒；如果每人分8粒就少27粒。问：有多少位学生？共多少粒糖果？

【这道题生搬硬套“口诀”也不行，将“多多少少来相加”算为9+27=36是错的，因为两次分配都有缺数即少了的——只有“少少”、没有“多多”。】

解题思路

每人分6粒已经缺9粒了，每人分8粒则还要给每人增发2（8-6=2）粒，这样就缺的更多了，增发造成的缺数为总缺数27粒减去本已缺的9粒即18粒（27-9=18），也就是说，如果要给每人增发2粒则增发所需要的数量是18粒，或者说，18粒按每人分2粒则刚好分完——从这一表述中即可导出一个可求得学生人数的算式【18÷2】继而求出糖果数。

答题表述

从每人6粒到每人8粒需要为每人增发的粒数为8-6=2粒

可供增发的粒数为0则每增发1人就缺2粒且增发造成的缺数是27-9=18粒

故，学生人数为：

（27-9）÷（8-6）=18÷2=9（人）

则，糖果数量为：

9×6-9=45（粒）【或：9×8-27=45（粒）】

【倒转次序将“增发”转为“扣减”也可以，“扣减”就会“多出”一些出来，这样所缺的数量就会减少，从缺27粒减少到缺9粒，也即“扣减”出了29-9=18粒，这18粒是按每人扣减2粒而得来的，所以人数为18÷2=9人。】

3、浴火重生，初证菩提

现在将前述“灵感”和“思路”应用到一道相对难一点的习题，并在克服其难中“浴火重生”【“浴火重生”是一个成语（源自凤凰每历五百年便在烈火中焚身并于死灰中重生的传说），指经历烈火的煎熬和痛苦的考验，获得重生，并在重生中达到升华。】，并在这种“浴火重生”中“初证菩提”【“菩提”一词是梵文Bodhi的音译，意指“觉悟”、“智慧”。佛家讲的“智慧”并非一般意义上的“聪明”甚或“机巧”，而是“般(bō)若(rě)智慧”，是一种以“空”为本体（佛家的一条基本原理是“缘起性空”）的“智慧”。此“空”有两层境界，第一层是将尘世（佛家对人世间和世界万事万物的称谓）“空”掉，但又不能执“空”——执“空”则易于落入“虚无主义”，还得将此“空”也“空”掉，是谓“空空”——“空空”则尘世又以另一番气象呈现出来（禅宗六祖惠能讲“烦恼即菩提”，又讲“佛法在世间，不离世间觉，离世觅菩提，恰如求兔角”）。修得此“菩提智慧”必须得“觉悟”（禅宗南派即六祖惠能倡导的顿教主张“觉悟”必是“顿悟”——而非禅宗北派即神秀倡导渐教主张的“渐悟”），“觉悟”的前提是“明心见性”，“明心见性”即可“开悟”。“开悟”之后还得“证悟”，经过了“证悟”方能真正“明‘空’”。】。

题曰：

小明从家里到学校，如果每分钟走50米，则正好到上课时间；如果每分钟走60米，则离上课时间还有2分钟。

问：小明从家里到学校要走多远？

本题无论在形式上还是实质上仍然是“盈亏问题”或可视为“盈亏问题”的变型。

解题思路1

【仍按常规方式（常规来说，本题或可属于“路程问题”的题型）来思考并探索出解题思路。但其指导“思想”仍是前述“灵感”和“思路”的创造性转化。】

每分钟走60米比每分钟走50米提前的（或者说“节省出的”）2分钟是怎么来的呢？是由于每分钟多走了10米而“抢出来”的。那每分钟走60米的全程时间内一共抢走出了多少米呢？提前的2分钟如果按每分钟走50米则会走100米，这100米的路是按每分钟多走10米分散在每分钟走60米的全程时间内给走完了，那每分钟走60米的全程时间就是100÷10=10（分钟）了，那小明家到学校的路程就是60×10=600（米）了【或：50×（10+2）=600（米），每分钟走50米时要比每分钟走60米时多走2分钟】。

【引入几个代数解释一下（但仍然是用算术思维）以帮助理解。将每分钟走50米时从家到学校记为情景甲，每分钟走50米记为速度A，其所需的时间记为M（单位：分钟）；将每分钟走60米时从家到学校记为情景乙，每分钟走60米记为速度B，其所需的时间记为N（单位：分钟）；根据题设，M-N=2（分钟）。情景乙中，若其N分钟内按情景甲下的速度A来走，则走了N分钟后，离学校的路程还有50×2=100米（按速度A需时2分钟所走的路程），所以这100米的路程是在按速度B与速度A的速度差即每分钟多走10米在N分钟内走完了（每分钟多走10米，在N分钟内多走了N个10米，这N个10米恰为100米），由此可以直接列式算得情景乙下走完全程的时间即N=100÷10=10（分钟），继而可算得全程的路程。】

答题表述1

从家到学校的路程按每分钟走60米比按每分钟走50米可提前2分钟到达，也即在按每分钟走60米从家走到学校的时间内，前者比后者多走了50×2=100米，且后者比前者每分钟多走10（60-50=10）米，这100米是10个10米，即需要10分钟才能多走这100米。

故，每分钟走60米从家到学校需要的时间为：

（50×2）÷（60-50）=10（分钟）

则，小明的家到学校的路程为：

60×10=600（米）了【或：50×（10+2）=600（米）】

解题思路2

【创造性地运用基于前述“灵感”和“思路”的“思想”按将题设情景转化为“盈亏问题”情景的方式来思考并探索出解题思路。】

首先，还是得破解“提前2分钟（到达）”的实质意思：

提前的2分钟若在路上以走不同线路且每分钟走60米的方式消耗掉则会与每分钟50米时同时到校，这个不同线路需要多出的路程是120米。

继而，就可以将题设情景转化为“盈亏问题”的情景了：

小明某日早上从家里走到学校，若不拐道去与小华同行，则每分钟走50米就可刚好在上课时间赶到教室坐到座位上；若拐道去与小华同行，由于拐道会增加120米的路程，则每分钟要走60米才能刚好在上课时间赶到教室坐到座位上。

其“盈亏问题”化的表述可类比为：

有一叠彩纸，若每人分50张，则刚刚好；若每人分60张，则少120张。问：这叠彩纸有多少张？

【其中，彩纸总数代指从小明家里直接到学校的路程，50张、60张代指每分钟走的距离，少120张代指在与每分钟50米走到学校所需时间相同的时间内若每分钟走60米则所走的路程要超过从小明家里直接到学校的路程120米（或“这段路程还不够走的，多120米才够”），所问之彩纸的数量就代指小明家里直接到学校的路程。】

则该类比表述的解题思路就与“盈亏问题”的变型（同前述“范例”习题中的“三型”之题）相同了，此不赘述。

答题表述2

【转化为“盈亏问题”及其类比表述是用来辅助理解题意并想出解题思路的，理解了题意并想出了解题思路后，答题表述中还得将其还原为原题设情景——如答题表述1类同。】

“离上课时间还有2分钟”即“提前2分钟到达”可逆向理解为：

若不提前这2分钟到达而是与每分钟50米时的同样时间到达，则小明以每分钟走60米走2分钟还可以在路上多走120米（比如拐道去与同学同行，拐道增加的路程是120米）。

则题设条件可转换表述为：

若每分钟走50米，刚好到上课时间；

若每分钟走60米，则可以拐道多走120米还刚好到上课时间。

则小明按每分钟50米到达学校所需的时间（也即“小明从家出发然后拐道去与同学同行到达学校所需的时间”——提前的2分钟被拐道所消耗掉了）为：

（120-0）÷（60-50）=12（分钟）

则小明家到学校的路长为：

50×12=600（米）

二、思想

从对前述例题的解题思路的探索和思考中，我们可以提炼出一个犹如物理学中的“最小作用量原理”般的“基本原理”（详参“绪论”中的引文），这种“基本原理”是“思想”性的，表征了数学的思维方式和研究方法：

第一，过程还原，即将前后两个静态情状之间的动态过程还原出来；

第二，切换视角，即从专注前后两个静态情状转向审视其发生机理；

第三，转换表述，即将问题逐步做等价转换直到可以列算式的表述。

以上三点实为一体三面，相互引发，互为因果：

想要做“过程还原”自会在还原过程的过程中“切换视角”，视角一旦切换，自会随之“转换表述”；想到要“切换视角”自然就会想到要去做“过程还原”，过程一旦被还原，自会去表述被还原的过程，“转换表述”由此而生；想要去“转换表述”，自会想到得“切换视角”，继而做“过程还原”。

【我破解初遇“盈亏问题”的那道题时，这三点发生的顺序如上所列。】

故而以任何一点为先导，其它两点自会随之展开，进而想通解题思路。

三、实践

现在我们用上述“思想”也即“基本原理”来解决文首的引例那道题。

同学们到图书馆借书，如果每人借4本，则最后少2本；如果前2人每人先借8本，余下的人每人借3本，这些图书恰好借完。

问：图书的总数是多少？

虽然这仍是一道“盈亏问题”类型的习题，但其间的难点在于，题设设计的情景较之一般的习题更复杂了，而且该“复杂”还带来了“难度”上的升级（有些“复杂”仅仅带来“难度”上仍在原级别上的稍微提高）。

解题思路

先用“基本原理”中的“过程还原”（即“将前后两个静态情状之间的动态过程还原出来”）：

第一次借书的情景很明确——非常符合“盈亏问题”的经典表述，“每人借4本则少2本”；

第二次借书的情景不明确——不太符合“盈亏问题”的经典表述，“每人借3本刚好借完”是符合的，但问题是，又不是所有人都借3本且刚好借完，而是“前2人每人先借8本”然后余下的人才是“每人借3本刚好借完”，这个表述不是经典表述式的“每人借M本则多/少N本（N可以为“0”，意即“刚好借完”）”；

所以，前后两次的情景之间的动态过程无法直接还原。

再用“基本原理”中的“切换视角”（即“从专注前后两个静态情状转向审视其发生机理”）：

既然前后两次情景之间的动态过程无法直接还原，那我们就切换一下视角，构造一个可按常规还原的、合理的动态过程；

目标是“每人借3本”，那么可以将“前两人每人先借8本”视为“这两人也是每人借3本但多出了2本”，这“多出的2本”又可视为“所有人都每人借3本”后“则多2本”（原情景表述中的“刚好借完”在此视角下转变成了“多2本”）。

“切换视角”下的“转换表述”自然而生：

第二次借书的情景可表述为“每人借3本则多2本”。

故而原题的题设表述的核心内容可转换为与其“等价”——就以求图书总数为目标而言——的如下表述：

“每人借4本则少2本，每人借3本则多2本。”

根据这一表述，解题思路就明晰了：

【以下是“倒转次序”将其理解为“增发”，毕竟“增发”比“扣减”更“亲切”】

从每人借3本到每人借4本需要为每人增发1本，可供增发的有2本、增发后发现还缺少2本，也就是说，若再额外找来2本使得可供增发的书达到4本就能刚好给每人增发1本而不多不少——基于此表述就可列算式求得借书人数【4÷1=4（人）】继而可以根据情景一或情景二求得图书总数【4×4-2=14（本），或，4×3+2=14（本）】。

答题表述

“前2人每人先借8本，余下的人每人借3本，则图书恰好被借完”的情景相当于“每人借3本，则最后多2本”的情景，结合“每人借4本，则最后少2本”的情景，可先求得借书人数：

（2+2）÷（4-3）=4÷1=4（人）

继而可求得图书数量：

4×4-2=14（本）【或：4×3+2=14（本）】

从对本题解题思路的思考和探索中，我们可以领略到“思想”的妙用，感受到“基本原理”的威力。

四、推广

我们现在将前述“‘基本原理’的‘思想’”进行拓展，运用她来解决“类‘盈亏问题’”，或者说，基于前述“‘基本原理’的‘思想’”将问题转化为“盈亏问题”来解决。

题曰：

用一根绳子测量井深，把绳子折成相等的2段测量时，多1.2米；把绳子折成相等的3段测量时，差1.1米。

问：井深多少米？（折绳处的长度忽略不计）

本题可视为“盈亏问题”的推广，或者说，在本题上可以推广上述“思想”——以此“思想”指引探索解题思路或将本题转化为“经典‘盈亏问题’”。

解题思路1

【该思路将灵活运用前述“基本原理”中的“转换表述”的“思想”为思考的指引。另外，该思路中要用到分数，但只需了解分数的概念以及一点点关于分数运算的知识即可。】

该思路是先求得原绳长度（单段未折前）、继而求得井深。【直觉如此或许可行，没什么道理可讲，行不行得试试看。】

名（此处做动词用）原绳（单段未折前）为甲绳、折成2段则为乙绳（相当于绳长为原绳一半即1/2的单段绳子）、折成3段则为丙绳（相当于绳长为原绳1/3的单段绳子）。乙绳与丙绳长度之差为甲绳的1/6（1/2-1/3=1/6）。

乙绳测量井深时多1.2米（即：将乙绳一端下探并触及井底而另一端在井沿之上1.2米——超出井沿1.2米，也即：乙绳的长度比井深多1.2米），丙绳测量井深时差1.1米（即：将丙绳一端下探并触及井底而另一端还在井沿之下1.1米处，也即：丙绳的长度比井深少1.1米），则乙绳与丙绳长度之差为2.3（1.2+1.1=2.3）米。

既知乙绳与丙绳长度之差为2.3米，又知此“差”为甲绳的1/6，则可求得甲绳的长度为2.3÷1/6=2.3×6（米）【暂时不用计算出其结果，因为接下来会发现其结果的数还得除以2，但若算出来也无妨】。

既知甲绳的长度，则按以乙绳测量井深的情境，井深为：

2.3×6×1/2-1.2=5.7（米）

答题表述1

1/2-1/3=1/6

1.2+1.1=2.3

2.3÷1/6=2.3×6

2.3×6×1/2-1.2=6.9-1.2=5.7（米）

答：井深为5.7米

解题思路2

【该思路将灵活运用前述“基本原理”中的“过程还原”的“思想”为思考的指引。】

将两次测量的情景图示如下：

图中左图记为情景一、右图记为情景二

情景二中即右图中，由右至左示意的是绳子如何从折成两段的形态演变为折成三段的形态的（多种理解中之一种）

【虽然我对其实是基于代数-方程思维的“数形结合”持批判态度，但我并不反对基于几何直观的图示。本题情境有点复杂（其实也要看在何种解题思路下，在本解题思路下确实有点复杂），作出图示辅助理解是合理的，一定程度上说也是必要的。】

根据图示，情景一中，折成两段的绳子有1.2米超出井沿之上，也即以单段计的绳子有2.4（1.2×2=2.4）米超过井沿之上。

在情景二中，绳子折成了三段，从两段变为三段，我们就审视第三段是怎么来的即对情景一到情景二之间的动态过程做一个还原（可以是如下这种）：

第三段的第一截可视为是情景一中超出井沿之上的2.4米的绳子被从两段展开为一段而来的，但这一段2.4米并非原绳折成三段的长度，因此需要继续从原来与井深齐平的两段中再借/扯一些过来/下来，扯了多少米过来呢？从原来与井深齐平的两段最后变为低于井沿1.1米的两段来看，是被扯了2.2（1.1×2=2.2，两段中每段都每扯了1.1米下来）米下来，这2.2米与第三段已有的2.4米（原来处于井沿之上的两段的1.2米）合并即为第三段。

所以，这第三段的长度即为4.6（2.4+2.2=4.6）米，这一长度也是原绳被折成三段之后的长度，以其测井深还少1.1米（即一端触底的情况下另一端在井沿之下1.1米），所以井深即为5.7（4.6+1.1=5.7）米。

【上述思路可运用前述“基本原理”中的“切换视角”的“思想”换一种理解方式。】

将两次测量的情景图示如下（本思路下，其实不用图示也可以）：

图中左图记为情景一、右图记为情景二

由于原绳长度与井深皆为不变的量，所以可以“切换视角”来理解题设中的相关条件。

题设中的“把绳子折成相等的两段测量时，多1.2米”可理解为：

将原绳裁剪掉2.4（1.2×2=2.4）米后，则余下的绳子折成3段后的长度恰与井深相同。

题设中的“把绳子折成相等的3段测量时，少1.1米”可理解为：

为原绳接续上3.3（1.1×3=3.3）米后，则加长的绳子折成3段后的长度恰与井深相同。

继续“切换视角”来理解：

若再将该加长了3.3米的绳子折成两段去测量井深，则多（2.4+3.3）÷2=5.7÷2=？（米）【此处无需计算，写成这样是表述的需要】；

在此2段的基础上变为与3段（且其长度均与井深相同），就可理解为在原有的2段的基础上再增加第3段，这个第三段的来历可理解为，在原有的2段的与井沿齐平处将多出（即超出井沿）的绳子折下去并使其由2段展开成1段，而这展开得到的第三段绳子的长度即为5.7÷2×2=5.7米，此即井深（前面已有说明，这根加长了3.3米的绳子折成相等的3段后的长度与井深相同）。

【可以看出，前后两种理解在本质上类同的，只是后者在形式上显得复杂一些，但此复杂些的形式可能在理解上会容易一点——至少对部分孩子来说或许会是如此。】

答题表述2

求得从两段变为三段所增加的第三段的长度即为原绳被折成三段的长度，继而可以求得井深。

第三段可理解为超出井沿的均为1.2米的两段与低于井沿的均为1.2米的两段都被恢复为一段继而合并而来。

故，第三段的长度为：

1.2×2+1.1×2=4.6（米）

则，井深为：

4.6+1.1=5.7（米）

解题思路3

【该思路以“基本原理”的“思想”为指引将题设问题转化为“盈亏问题”来思考。】

将题设情景图示如下：

图中左图记为情景一、右图记为情景二

情景一的“把绳子折成相等的2段测量时，多1.2米”相当于“绳长是井深的2倍多2.4米”；

情景二的“把绳子折成相等的3段测量时，差1.1米”相当于“绳长是井深的3倍少3.3米”。

则原题设：

“用一根绳子测量井深，把绳子折成相等的2段测量时，多1.2米；把绳子折成相等的3段测量时，差1.1米。问：井深多少米？”

可转化为“盈亏问题”来理解：

用一根绳子测量井深，绳长是井深的2倍多2.4米、3倍少3.3米。问：井深多少米？

由“盈亏问题”的解法可知，井深为：

（2.4+3.3）÷（3-2）=5.7÷1=5.7（米）

答题表述3

题设条件可理解为：

绳长是井深的2倍多2.4米、3倍少3.3米。

则井深为：

（2.4+3.3）÷（3-2）=5.7÷1=5.7（米）

五、升华

现在我们将前述“‘基本原理’的‘思想’”进行推广，解决非“盈亏问题”类型的其它问题。

题曰：

某电路大队检修供电线路，原计划36小时完成，实际每小时多检修180米，结果提前12小时完成。

问：原计划每小时检修电路多少米？

这道题应该属于所谓的“工效问题”吧。我们先以与“工效问题”相关的知识和解题方法来思考，然后以前述“‘基本原理’的‘思想’”来思考。

解题思路1

【本思路按“工效问题”的相关模式来思考，并要用到分数的知识，主要是因为要用分数来表示“工效”。】

假定检修供电线路的工作量为Q（米），则：

在原计划36小时完成的情况下，电路大队的工作效率为Q/36（米/小时）；

在实际仅用24小时完成的情况下，电路大队的工作效率为Q/24（米/小时）。（实际比原计划的36小时提前了12小时完成，所以实际用了24小时）

则，实际工效与计划工效的差可表示为：

Q/24-Q/36

又，题设已知此“差”为180米/小时（“实际每小时多检修180米”），故：

Q/24-Q/36=180

则，“Q”即“工作量”可表示为（通过运算）：

180×72（米）

原计划36小时完成，则原“计划工效”为：

180×72÷36=360（米/小时）

答：原计划每小时检修360米。

【首先，该思路有“方程”之嫌，因为“Q/24-Q/36=180”这个“含有未知数（用字母表示的）的等式”其实已经是“方程”了，但我在表述中尽量是按照“等式”的概念去表达的，在理解上，孩子们应该不至于感到太“违和”。其次，以上表述中为什么不用“单位‘1’”呢？第一，我认为“单位‘1’”是个“鸡肋”般的概念；第二，在应用题中，既然是应用，那自然是与实践中的事物相关的；第三，其实将“总量”当作“单位‘1’”在本质上也还仍然是“设定”，只不过是用“1”代替了“字母”，二者都是符号，意义是相同的；第四，用“字母”比用“单位‘1’”更容易理解，因为更自然。所以，在应用题中不如将“总量”直接用设定的字母指代并赋予其“‘量’的‘单位’”。在本题的“工效问题”中，“总量”即检修电路的工作量，该“量”是所要检修之电路的长度，所以设定“工作量”为“Q”，单位“米”。在如此设定下，工作效率（也即“工作速度”）就被表示为“工作量”与“工作时间”的商（“工作量”除以“工作时间”），这比用“单位‘1’”与“工作时间”的商（“单位‘1’”除以“工作时间”）来表示“工作效率”显得更自然，孩子也更容易理解。在运算中，所设定的指代“工作量”的“Q”被消去了，孩子从这个“事实”中也就真正领会了“单位‘1’”，不会再觉得它别扭了。】

答题表述1

记“工作量”为“单位‘1’”。

原计划36小时完成“工作量”，则原计划工效为：1/36

实际提前（了）12小时完成，即实际完成“工作量的时间为：

36-12=24（小时）

则实际工效为：1/24

故，实际工效与计划工效之差为：1/24-1/36

又，题设已知“实际每小时多检修180米”，则“单位‘1’”即“工作量”为：

180÷（1/24-1/36）=180÷1/72=180×72（米）

故原计划工效即每小时检修的线路长度为：

180×72÷36=360（米）

【该“答题表述”中还是用了“单位‘1’”，因为：其一，用“单位‘1’”符合目前的答题规范；其二，在思路的表述中或已领会了“单位‘1’”，则用起来也就得心应手了。】

解题思路2

【本思路按前述“‘基本原理’的‘思想’”来思考（即不论问题是何种类型的问题）并探索出解题思路。】

由“实际每小时多检修180米，结果提前12小时完成”可知：

第一，实际完成任务（即做完全部“工作量”，也即将所要检修的线路全部检修完）的时间为36-12=24（小时）；

第二，在相等时间24小时内，实际比原计划多检修的长度是180×24（米）。

之所以能提前12小时，是由于在原计划中需要12小时完成的这180×24米的线路在实际上按每小时多检修180米而分散到实际工作时间的24小时内被完成了。

也就是说，180×24米的线路如按原计划的工效，需要12小时完成。

故，原计划工效即原计划每小时检修的线路长度为：

180×24÷12=180×2=360（米）

答题表述2

由于原计划36小时完成、而实际提前12小时完成，则实际完成任务的时间为：

36-12=24（小时）

实际每小时多检修180米，则在实际完成时间的24小时中总计多检修：

180×24（米）

这180×24（米）在原计划中需要12小时完成，则原计划每小时检修：

180×24÷12=180×2=360（米）

【从该思路中我们可以体会到“‘基本原理’的‘思想’”——表征数学的思维方式和研究方法——即“过程还原（即将前后两个静态情状之间的动态过程还原出来）、切换视角（即从专注前后两个静态情状转向审视其发生机理）、转换表述（即将问题逐步做等价转换直到可以列算式的表述）”的“妙用”。在此体会中，我们也更好的领会了“‘基本原理’的‘思想’”即数学的思维方式和研究方法，这就为我们思考和解决任何问题奠定了坚实的基础并涵养了我们自主思考、独立探索的勇气和能力，因为“思想”是普适的。】

六、感想

第一，“做难事必有所得”（金一南将军语），在攻坚克难中更能深切体会到“做数学”【源自匈牙利裔美国数学家保罗・哈尔莫斯（Paul Halmos，1916.3.3-2006.10.2）的名言：“The best way to learn Mathematics is to do Mathematics.”（学数学的最佳途径就是做数学）哈尔莫斯的著作中有一本名叫《我要做数学家》】的know-how（诀窍。一般而言这是一种只可意会不可言传的东西）。

比如如本文所述，我在首次遭遇“盈亏问题”时是茫然无措的，十多分钟都想不通解题思路让我感觉我的智商受到了羞辱，但我克服了困难，于是，所得甚丰。

第二，坚持自主思考、独立探索，这样想通的解题思路、解题方法才是真正属于自己的（真正内化到自己的思维方式中的，而不是仅仅存在脑中的记忆——如直接学习和理解解题方法的结果那样），不必羡慕那些学霸（所谓的“别人家的孩子”）的“秒懂”、“秒解”，一定程度上说，“快”必然意味着“不究竟”（对本质性的东西缺乏深刻的领会，因为“快”则不及深思），因此我们宁愿慢一点，不要羞于自己的“笨”，要甘于、善于“慢工出细活”，只要我们在“慢”与“笨”中思有所得，那这个“得”一定优于“快”之所得（科学史上此事多有，最经典的一个案例是关于近现代最伟大的数学家之一希尔伯特的，希尔伯特还没有他的学生们的理解速度快呢，但希尔伯特一旦理解了，却比他的学生们把握到的层次更为深广）。

比如如本文所述，我在对“盈亏问题”的自主思考和独立探索中，获得了灵感继而想通了解题思路，由于是自己想通的，所以体会至深，并在这种深刻的领会中，我从中感悟到了一些数学的思维方式和研究方法，并提炼出了“过程还原、切换视角、转换表述”的“基本原理”，这一“基本原理”又助我在“复杂‘盈亏问题’”进而“类‘盈亏问题’”乃至于“非‘盈亏问题’”的思考及其解题思路的破解中得心应手、攻无不克。

— 完 —

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