导读：将“数感”仅仅理解为或者说认识为“对表示数的符号的符号意识以及对于用符号表示的数之大小的辨识的敏锐性”，格局和境界实在是有点low了。以此理解和认识去教学，怎能将孩子们引导到数学这门学问——或者说“作为一门学问的数学”——的学问中去呢？怎能引领孩子们领略到数学这门学问的精深奥义呢？怎能启发孩子们领会到理解数学尤其是“做数学”的“know-how”呢？

引言

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）修订组组长对“数感”的阐释如下图：

《“义务教育数学课程标准（2022年版）”解读》讲座的视频截图

《为什么要强调量感》讲座的视频截图

其阐释可总结为（B站有这两个讲座的视频，可对照核查）：

“数感”与对“量”的“感”之“量感”类似（其将“数感”与“量感”并列在一起讨论，其视为同一层级性的东西）是对“数”的“感”【“数”是什么？用其自己的表述就是：“数是对数量的抽象”（对这个表述我在“……计数单位，一个胡编乱造出来的多余且荒谬的伪概念？兼谈数位与数级两个概念……”一文中作了批判性分析，指出这个表述“是一句逻辑不通——即使在文理上也不通——的谬论”）；用我的表述则是：“‘数’是表示事物的‘多少’这一属性的概念及其符号”（详参：……作为概念的（自然）数是如何被认识到——发明和/或发现——的？一个猜想……）】，此“感”是对于“数”用符号表示的符号意识以及对于用符号所表示的“数”的大小关系的辨识的敏感性。

对“数感”的如此理解和认识恐怕源于“望文生义”式的想当然（也可能另有原因，详见下文“三节），格局和境界实在是不够高，甚至可以说有点太low了。

一、正本清源

那究竟什么是“数感”呢？

我认为，“数感”是个具有方法论意味的概念，她是一种关于“如何‘做数学’”的“know-how”【“做数学”的表述源自匈牙利裔美国数学家保罗・哈尔莫斯（Paul Halmos，1916.3.3-2006.10.2）的名言：“The best way to learn Mathematics is to do Mathematics.”（学数学的最佳途径就是做数学。）“know-how”的字面意思是“知道如何（做）”，汉语中与之匹配的词是——也即用汉语可理解为——“诀窍”（“秘诀”、“窍门”）、“堂奥”，一般而言这是一种只可意会不可言传的东西）】。

我的这种理解自然有其源头，而此源头恐怕也正是“数感”这一概念的滥觞（注意，“滥觞”这个词儿是个中性词，不是贬义词，意思是“比喻事物的起源和发端”），这就是日本数学家小平邦彦的一篇著名的数学科普文章《数学是什么？》（见：小平邦彦：数学是什么？丨展卷）。

在这篇文章的引言中，小平邦彦先阐述了一个观点，即：不能“将数学归为逻辑”。他说：

人们通常认为数学是一门由严密逻辑所构建的学问，即便不是与逻辑完全一致，也大致相同。实际上，数学与逻辑并没有多大关系。当然，数学必须遵循逻辑。不过，逻辑对于数学的作用类似于语法对于文学。书写符合语法的文章与用语法编织语言、创作小说是截然不同的。同样，依照逻辑进行推论与使用逻辑构筑数学理论也并非同一层面上的事情。

任何人都能理解一般逻辑，如果将数学归为逻辑，那么任何人都能理解数学。然而众所周知，无法理解数学的初中生或高中生大有人在，语言能力优异、数学能力不足的学生十分常见。因此我认为，数学在本质上与逻辑不同。

在这篇文章引言之后的第一节所用的小标题就是“数感”，并在这一节十分谨慎的论述了何谓“数感”，他说：

我们试着思考数学之外的自然科学，比如说物理学。物理学研究的是自然现象中的物理现象，同理可得，数学研究的是自然现象中的数学现象。那么，理解数学相当于“观察”数学现象。这里所说的“观察”不是指“用眼观看”，而是通过一定感觉所形成的感知。虽然很难用言语去描述这种感觉，不过这是一种明显不同于逻辑推理能力的纯粹的感觉，在我看来这种感知几乎接近于视觉。或许我们可以称之为直觉，不过为了凸显其纯粹性，在接下来的表述中，我将其称为“数感”。直觉一词含有“瞬间领悟真相”的意思，所以不太合适。数感的敏锐性类似于听觉的敏锐性，也就是说基本上与是否聪明无关（本质上无关，但不意味着没有统计关联）。不过数学的理解需要凭借数感，正如乐感不好的人无法理解音乐，数感不好的人同样无法理解数学（给不擅长数学的孩子当家教时，就能明白这种感觉。对你来说已经显而易见的问题，在不擅长数学的孩子看来却怎么也无法理解，因此你会苦于不知如何解释）。

在证明定理时，数学家并没有察觉自己的数感发挥了作用，因此会以为是按照缜密的逻辑进行了证明。其实，只要用形式逻辑符号去解析证明，数学家就会发现事实并非如此。因为这样最终只会得到一串冗长的逻辑符号，实际上完全不可能证明定理（当然我的重点并不在于指责证明过程的逻辑不够严密，而是在于指出数感能帮助我们省略逻辑推理这个过程，直接引导我们走向前方）。近来经常听到人们在讨论数学感觉，可以说数学感觉的基础正是数感。所有数学家天生都具有敏锐的数感，只是自己没有察觉而已。

小平邦彦在这篇文章中作出“数感”这一表述可能是“数感”作为一个认识论上的具有方法论意味的概念的首次提出（我没有做全面的文献调研因此不敢有定论），从上述引文中我们可以得出如下认识：

第一，小平邦彦提出的“数感”是与“逻辑”对举的，并且他认为，在数学中，“数感”是比“逻辑”更重要的东西（这又让我不免得瑟起来，因为我在这方面的认知上竟然与大数学家小平邦彦有那么一点点不谋而合，参见：1、祛魅演绎｜演绎不过是个小三而已：演绎虽然在命题的确立（科技创新）中必不可少，但其重要性和次序只能排老三；2、祛魅《几何原本》｜《几何原本》的“演绎”和“公理化”之“魅”，何以祛之？中国象棋+元素周期表）；

第二，小平邦彦将“数感”描述为“一种明显不同于逻辑推理能力的纯粹的感觉”或者叫“感知”，这种“感知”“几乎接近于视觉”，也类似于“听觉”和“乐感”，甚至“或许可以称之为直觉”（虽然他退了一步说“直觉一词含有‘瞬间领悟真相’的意思，所以不太合适”，不过我认为用“直觉”甚是恰切，再者说，）；

第三，“数感”“好”的重点不仅在“能‘感’”，而更在于“感”——其实表述为“直觉”更恰切——的敏锐性（类似于说“听觉好”强调的不是“能听”而是“听觉”的“敏锐性”），数感不好的人同样无法理解数学——正如乐感不好的人无法理解音乐；

第四，“‘数感’的敏锐性类似于听觉的敏锐性”，“基本上与是否聪明无关（本质上无关，但不意味着没有统计关联）”。

可见，小平邦彦所描述的“数感”其实指的是一种理解数学和“做数学”的方法，也可以说是“素养”——一种“know-how”意义上的能力。

所以说，将“数感”仅仅理解为或者说认识为“对表示数的符号的符号意识以及对于用符号表示的数之大小的辨识的敏锐性”，格局和境界实在是有点low了。以此理解和认识去教学（老师们在新课标解读中能学到的就是这种理解和认识，而且在实际中老师们也确实是按此理解和认识去教学的——看看各种讲小学数学的小视频中那些所谓的资深名师的语言表述就明白了），怎能将孩子们引导到数学这门学问——或者说“作为一门学问的数学”——的学问中去呢？怎能引领孩子们领略到数学这门学问的精深奥义呢？怎能启发孩子们领会到理解数学尤其是“做数学”的“know-how”呢？

新课标中将“数学核心素养”表述为：“会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。”

《“义务教育数学课程标准（2022年版）”解读》讲座的视频截图

这个对“数学核心素养”的表述不可谓不高明，但如何将其落实到教育中去呢？发现新课标的解读中和实际教学中对“数感”的如此之low的理解和认识后，我对此感到无望。

二、抛砖引玉

既有数学知识的表述形式总是从一般到特殊，然而知识的创造经常总是从特殊到一般。

所以，培养“数感”——学习如何“理解数学”和“做数学”（how to …）——的比较好的方式是以典范案例去引导、启发孩子自己去领会其中的“学问”。

在下不才，有些许体会和实践，不揣冒昧，略说一二，以激发想象。或许是班门弄斧（记得华罗庚说过“弄斧必到班门”的话），那就当抛砖引玉了。

其一，是我正在创作的《小学数学“教-学”探索・ 题海拾贝篇：以求学问之心讲有学问之题论讲题之学问》专题（系列文章，已出之文章可经《“基本原理”之“过程还原、切换视角、转换表述”（一）・技进乎道方能如庖丁解牛游刃有余丨以求学问之心讲有学问之题论讲题之学问》一文的文末链接按图索骥去查阅）。

该专题的核心主旨就是“学问”，而我要呈现的“学问”的核心就是“做数学（to do Mathematics）”的“know-how”——这与小平邦彦所阐述的“数感”庶几近矣（详参：前言：要引导学生浸润于深刻的学问而非耽溺于浅薄的知识）。

其二，在孩子正在经历的事情中抽象出数学以引导孩子在“数学核心素养”（即：“会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。”）方面有所领会。

“数感”的教-学，还可以——也应该——融入日常事务中，让新课标所说的“数学核心素养”（即“会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界”）落到实处，同时也让孩子们有更亲切——因而也更深刻——的领会。

记不清是二年级还是三年级时，我娃报名参加了学校一年一度的名为“吉尼斯挑战赛”的运动会中的两个项目，其中一个是“乒乓球颠球1分钟比多”（另一个是“闭眼金鸡独立”，我不确定其中的“道道”是否有与本文主题相关的“学问”，故将之附于文末，供诸君自行参详）。这个项目的制胜策略是什么呢？我带娃用数学【数（数学）理（物理）不分家】进行分析发现了它。

限定时间内颠球次数的多少取决于什么呢？取决于每次颠球球弹离球拍到再落到球拍这两个动作之间的时间间隔最短——相当于如何将限定时间以更小或者说最小的“刻度”进行分割，如何做到这一点呢？这又取决于球弹离球拍后上升的高度尽可能低最低——重力加速度和空气阻力可视为不变，如何做到这一点呢？这又取决于球落到球拍时再次击打球的力度要尽可能的最小——小到能让球弹离球拍即可（不弹离就违规了嘛，因为那就不“颠”了啊）。于是，制胜之道就是以最小的力度将乒乓球弹离球拍，当然，这只是一次的情况，假如力度最小小到只够弹起一点点然后就因初始动能衰减完毕而落到球拍上再也弹不起来，那这样也是不行的，所以，初始击球力度要让球能多颠几次，几次之后当球的初始动能衰减殆尽时，再次击打时又给一个合适的力度使其再颠几次，具体是什么样的力度，那就要靠在练习中去找感觉了，做到得心应手时，就成了。

这个分析过程相当于抽象出了一个数学模型，准确的说，是一个函数：

y=f（T，x1，x2，x3，……，xn）

y即限定时间T内的颠球次数，“x1，x2，x3，……，xn”是影响y的值的若干变量，其中“x3，……，xn”是如重力加速度、空气阻力、球拍与球的弹性碰撞的能量耗损因子等等的变量，这些变量我们可以视其为不变量，x1这个变量就是每次击球所给的力度——它决定了球弹离球拍的高度进而决定了球每颠一次的时间，x2这个变量就是我们考虑初始动能耗损而要重新击打补充初始动能的间隔次数。所以，影响y值的只有x1和x2这两个变量，而这两个变量是我们可以控制的，也是制胜策略所在，也是练习的重点。

虽然其中的有些语言表述孩子未必能听懂，但由于是正在做的事情中的数学，所以有亲切感，而这份亲切感能让孩子多少能深切领会到一些其中的数学道理。即使完全不懂也无妨，至少孩子有了这次的经历之后，就相当于种下了一颗种子，以后学到相关知识时这颗种子就能发芽。

三、辨疑释惑

我相信新课标修订组尤其是组长是阅读过小平邦彦《数学是什么？》这篇文章的，或者至少是知道“数感”其实是小平邦彦所描述的对“作为一门学问的‘数学’”之“感”而不仅仅是对“数”之“感”——用符号表示数的符号意识和在辨识用符号表示的数的大小上的敏感性——的，但其仍然在新课标解读和其它给教师们做培训的讲座中仅仅只讲后者，其原因恐怕还是我在“将方程从小学推延到初中有无必要、会否误才？兼论现实教学中的掩耳盗铃”一文中所判断的“严重低估甚至辱没了我们当今少年的智力水平和学习能力”。

我无意对新课标修订组尤其是组长进行任何指摘，只是就事论事。实际上，我从组长那里学到不少东西，组长的一些见解尤其是在其数学专业方面的一些见解我也深表认同。

《漫谈数学的基本思想》讲座的视频截图

其中的见解我深表认同，尤其是其中的“直观是重要的：数学的结果是看出来的、不是证出来的”这个论断令我不禁击节赞叹，因为我与其所见略同（详参：祛魅演绎｜演绎不过是个小三而已：演绎虽然在命题的确立（科技创新）中必不可少，但其重要性和次序只能排老三，以及，祛魅《几何原本》｜《几何原本》的“演绎”和“公理化”之“魅”，何以祛之？中国象棋+元素周期表）

但，“吾爱吾师，吾更爱真理”。

四，结语

不免又想起中科院物理所曹则贤老师的感概——“多么痛的领悟”：

在我当了物理研究员和教过不少名牌大学的教授多年以后，有一天猛然发现目前这个世界上可能99.99%的数学和物理知识都是我闻所未闻、见所未见的，我甚至有崩溃的感觉。今天中国的中学、大学里所教的物理不仅不难，而是浅得离谱，浅得让人无地自容，浅得有辱祖宗，浅得让人不由得为民族的未来担心。

入门须正，境界要高。

“必也正名乎！”【语出《论语・子路》。子路曰：“卫君待子而为政，子将奚先？”子曰：“必也正名乎！”子路曰：“有是哉？子之迂也！奚其正？”子曰：“野哉，由也！君子于其所不知，盖阙如也。名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足。故君子名之必可言也，言之必可行也。君子于其言，无所苟而已矣。”】

— 完 —

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附：“闭眼金鸡独立”中的“道道”

略【孩子的比赛成绩是23分钟——这还是在尚有余力时被裁判劝停了的（其它选手都早已败下阵去了，裁判等得都着急了）】。