例1-唯有真实不虚的示范才能让孩子领会猜想这一探索问题解决思路的常用且有效的方式

导读：用一条直线平分图形面积。

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按：原文标题为”科学家常玩且善玩的猜想究竟是怎么玩的之示范与猜想-例1“，鉴于原文的字里行间有很多以小号和低亮度文字所作的注释，所以建议阅读原文。

绪论

猜想之于科学和科学家的重要性毋庸赘述，小学数学的课标中也提到了要创造机会让孩子去猜想，但在实际实施过程中，往往流于形式或过于浅薄。孩子们在其中鲜有收获。

老师们总是正确地、符合逻辑的讲解题目的解法，而或无意或有意地隐藏了其探索过程的痕迹。

这可能还真是具有某种数学“传统”的意味：

在数学中，要讲述真理是极其困难的，数学理论的形式化的陈述并没有讲清全部的真理。数学理论的真理更象是当我们在听一些专家所做的漫不经心的随口评述时，我们去捕捉专家评述的动因后才会感触到的体味，当我们最终搞清楚典型的例子时，或是当我们发现了隐藏在表面化诸问题之后的实质问题时，我们才品尝到数学之真。哲学家和精神分析学要解释，为什么我们的数学家习惯于系统地擦去我们走过的足迹。科学家们总是不理解地看待数学家的这种怪异的习惯，而这种习惯自毕达哥拉斯以来直至今天几乎没有改变。
——J. L. Casti
数学有一个本性的趋向——利用抽象和一般化——由此而将广泛领域中的素材加以综合与提炼，形成简单而又统一的概念与方法，去处理各种各样复杂的情况。这个过程有时被称为‘压缩’，有意思的是，这种很有效的知识形成过程却对进行教学的数学家来说是一个障碍，他在这时必须担当起‘解开压缩’的角色，这样才能让那些自主研究学习能力不强的学生来逐渐理解数学。
——H. Bass
——以上两段均转引自：从历史角度讲现代数学

“猜想”可能也就是如此被隐藏了的。

“科学家常玩且善玩的猜想究竟是怎么玩的之示范与猜想”这个单元，就是要揭开“猜想”的面纱，以我自己的“猜想”经验现身说法并介绍我所知道的科学史上某些科学家如何猜想的经验，当然，这仍然只是我的“猜想”。

想象力比知识更重要。——爱因斯坦

例题1

你能用一条直线将两个长方形组合而成的图形（如下图）的面积分成2等份吗？画一画。

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孩子（四上）老师发的“每日一思”（学有余力则做，不强求）

一、我自己独立思考得出答案及其解题思路的详情

刚开始我想了十几分钟，毫无头绪，茫然无措。后来在吃晚饭时拿出手机消遣时又想起这道题，于是又找出来边吃边“看”，真的就只是纯然地“看”，因为漫无头绪也无法思考啊，如果非要说“思绪乱飞”也是思考，那就是在边“看”边“思考”。“思绪乱飞”了大概三五分钟后，一个“貌似不相干的东西”突然闪现于脑海，正是这个“貌似不相干的东西”激发了我破解这道题的灵感，并在这一灵感的“加持”下“照见”了这道题的答案及其解题思路（此处借用了佛学的用语“加持”和“照见”。“加持”的意思易于理解，就不做解释了。“照见”的意思不太好理解，大致讲，就是无须经过逻辑分析继而行判断就那么直接“把握”/“感悟”/“领会”到了本质性的东西。《心经》：“观自在菩萨，行深般若波罗密多时，照见五蕴皆空，度一切苦厄。”）。

那个“貌似不相干的东西”是个物理学中的知识点，关于“重心”的，具体地说，是“如何测定一个不规则物体的重心的方法”：

随便在物体的边缘处找两个点，以此两点先后两次悬线将物体悬置，并分别在物体上画出悬线的延长线，物体上画出的两条延长线的交点即为该物体的重心所在处。

这个知识点让我产生了灵感即找到“中心点”的意识，随即“照见”（一下子就悟到了）了答案及其解题思路。

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为图省事，直接借用一下孩子老师手绘的答案

看到这个答案，是否有恍然大悟之感，并有原来如斯简单、我怎么就想不到、我应该可以想到的之感概？如同猜谜，猜不到就是猜不到，一听谜底就是这种感觉。所谓“难者不会、会者不难”诚如是乎？（我经常以猜谜为例激励孩子自己独立思考，因为在她小时候我们经常玩猜字谜的游戏，而且谜面都是我亲自构思设计的。）

其实如果是按逻辑推理的话，知道找中心点离将两个长方形的中心点连起来即为所求直线的答案还差得比较远，也即那个解题思路从知道找中心点这一步出发要经过好几步逻辑推理的过程才能达到答案。

但此一“照见”其实是“猜想”！而“猜想”就是这么不讲道理，讲道理那是做出“猜想”以后的事情。

下面就来讲讲其中的道理：

由测不规则物体的重心的方法可自然生发去找所给图形的重心的意识，这是个平面图形，“处处均匀”（类比物理中的物体的密度处处均匀），则其重心也就是图形的中心点；

但这是两个长方形组合而成的不规则的图形，没有中心点；

虽然组合图形的整体没有中心，但组合单元的两个长方形似乎是有中心点的，即两条对角线的交点；

虽然这个交点又不是中心点（正多边形才有“中心点”吧，比如正方形），但是是重点所在点啊；

两个长方形的重心所在点分别是各自对角线的交点，那自然可以联想到，组合图形整体的重心在不在两个交点的连线上呢；

连起两个交点得一条直线，刚开始想“重心”的事儿，突然感觉不对啊，我不是找重心啊，我是找平分面积的直线啊；

连起两个交点得到的这条直线是不是可以将组合图形的面积平均分成两等份呢，应该可以；

得到答案，所求直线为两个长方形的各自两条对角线的交点的连线。

这个道理似乎很长，但实际上也就一闪念的事儿，这可能也是其表现出来是“照见”的原因，或者说，这个“照见”可能是连我们自己都意识不到的自己的脑子里的“一闪念”（这让我想起禅宗的“顿悟”，“顿悟”之“顿”大概就是“一下子就……”的意思，或者“刹那”、“一瞬间”的意思。但“顿悟”了的人若要解释说明他究竟是如何才“悟”了的话，或者后世学者看禅宗灯录为某个和尚的“顿悟”进行解说的话，那估计得说好多好多话）。

从上述所讲“道理”的表述中，可以看出，我得到答案其实是以物理的观念为基础的，而这也是我得到答案的真实过程。

而得到了答案就可以将其中的物理观念抛弃（隐藏）了，重新给其找一个数学化的表述——也即解题思路——即可。

在答案的“引领”下，这个数学化表述——也即解题思路——就很容易找到了，而且一下子还能找出至少两个——只要先找到一个就能“一理通百理明”地衍生出另一个。

在“导论”中我提到：

教者就要意识到，自己现在能独立思考出来，是不是比小学生多出了某些能力，这时就要学习周伯通忘掉“九阴真经”将这些“额外的能力”放弃而模拟小学生的知识背景和思维水平去重新思考，再以“同情之理解”的原则去教孩子。
——教者应当认识到对其所教的内容该比学生更没有把握

我想出这道题的答案并进而洞悉其解题思路其实就是用了超出小学生知识背景的“超能力”。我不知道我如果不用这个“额外的能力”而单凭小学生的知识背景和思维水平能否独立思考出这道题的答案及其解题思路（给我答案及其解题思路让我理解则应该不是问题），虽然以我下面对解题思路的表述来看，我似乎能做到，但是由于我失去了初始的模拟小学生独立思考的时机，所以以下所述解题思路恐怕仍然只不过是“事后诸葛亮”式的“马后炮”。因此，“同情之理解”自然而生，故而以下所述解题思路应该说是比较亲近、契合于小学生的。

二、为孩子讲解的解题思路以及其中的关键诀窍

为表述方便和严谨，尽量用了书面用语，如要借鉴给孩子讲，还需将其转换为口头语言为好。

解题思路之一

1、所求为平分两个长方形组合而成的图形的面积的一条直线，但直接看似乎怎么也看不出这条直线应该画在哪儿。

2、为什么我们直接看不出来呢？是因为它不规则。

3、我们学过的关于图形的规则都有什么呢？或者说，我们学过哪些规则图形，其特点是什么呢？长方形、正方形、圆形、……都是规则图形，它们共同的规则是什么呢？对，我们学过“轴对称”的知识，长方形、正方形、圆形都是轴对称图形，有对称轴的。对称轴所在的直线就可以将图形面积平分。

4、如果这个图形是个有对称轴的规则图形该多好啊！那我们不如试试将它变成有对称轴的规则图形看看有什么发现吧。

5、如何将这个图形变成有对称轴的规则图形呢？对，将上面那个小长方形平移到下面那个大长方形上面那条边的正中间处（图略）。

6、这个新图形的对称轴我们可以直接看出它的位置，就是纵向的正中间的一条直线——长方形的长边的中点的连线，这条对称轴所在的直线将新图形的面积平分为2等份。

7、易于想到，题目所给的没有对称轴的（非轴对称）图形可以通过平移上述有对称轴的（轴对称）新图形而得到。

8、我们现在来思考，平移过程中，原先的这条对称轴会如何变化呢？倾斜了，上端和下端分别往相反的两侧逐渐倾斜，倾斜到不确定原对称轴这条直线所在的位置究竟是什么位置了。那怎么办呢？白忙活一场了吗？

9、再想想。这变化中有什么不变的东西吗？似乎这么空想也想不到，因为没有比较。那拿什么跟什么比较呢？我们已经有了假设的那个特例，那个有对称轴的规则图形，以及上面的小长方形平移后得到的N个图形，我们不妨从这N个中选择任意（随便）选择一个。

10、特例的那个图形，面积平分线就是图形的对称轴所在那条直线；另一个图形就是如题设所给的图形，我们权且随便大致（即按特例图形中的小长方形平移后带动的原对称轴移动到的大致位置）画条线代表这个图形的面积平分线。然后，我们将这两条平分线做对比，观察、思考二者有什么共通之处。

11、这两条平分线能做到同样一件事即将图形的面积均分为2等份，那么这两条线应该肯定有相同的东西。这个相同的东西有可能是什么呢？

12、从随意画的那条平分线中是看不出端倪（苗头，有价值的线索）的，那只有从原对称轴那条平分线中看看有什么线索了。

13、从原对称轴那条线随着上面小长方形平移而移动的轨迹中，我们能依稀感觉到变化中有不变的东西。这个东西是什么呢？再仔细对比两条平分线，发现两条线似乎都同时经过两个长方形的中心位置。

14、中心位置是什么位置？中心位置的中心，对，就是长方形两条对角线的交点。

15、好！似乎有门儿了。先分别将两个长方形的各自两条对角线画出来，然后将两个长方形中的对角线的两个交点连接起来并延长将图形分为两部分。那现在就要判断这条线到底能不能将图形面积均分为2等份。

16、从原对称轴那条线——现在意识到这条线其实也是同时经过两个长方形的对角线的两个交点的——的移动轨迹中，我们能大致看出，两个交点连线的左右两边的上部和下部的面积变化一增一减且增减的量似乎是一样的。

17、由此，我们可以下判断：两个长方形的对角线的两个交点的连线所在的直线就是题目要找的能将图形的面积平均分为2等份的那条直线。

猜毕。

证明：

……

证毕。

该解题思路中有几点关节处需要说明一下：

第一，“死地即生门！”，别扭处（不正常处、反常处）或许就是突破口。

第二，“从特殊到一般”（从个别特例到一般情况）是一种普遍的有效的思维方式，从特例中可以更容易得发现规律，然后再去考察这个规律在一般情况下的适用情况。

第三，特例中的平分线即对称轴所在直线与一般情况下的代拟的平分线之间的共同点的发现，每走一步都需要敏锐的眼光和大胆的猜想。不做猜想则无法推进到下一步。所以，要大胆猜想，不怕走错，就怕原地踏步不敢越雷池。

解题思路之二

这个解题思路请容我表述得简化一些，如果想要借鉴，可参考“解题思路之一”进行细化。

1、所求为平分两个长方形组合而成的图形的面积的一条直线，但这个图形是个不规则图形，无法依其规则直接得知这条直线的位置。

2、虽然组合图形的整体不规则，但其组成单元的两个长方形都是规则图形，平分它们的直线很容易得知，显而易见的各有4条（图略，4条线呈“米”字形），其中2条是对称轴（“对称”即是规则图形之“规则”）、另外2条是对角线。

3、画出将长方形面积平分的4条直线后，自然就会发现4条直线相交于一点，也即是说，将长方形面积平分的这4条直线都过这一点，而这一点其实就是长方形对角线的交点。

4、进一步推想，是否过这一交点的所有直线中能将长方形面积平分的不止这4条呢？是否是只要过长方形两条对角线之交点的所有直线都能将长方形的面积平分两半呢？经过观察、判断，这一点应该可以确认。

5、既然单个长方形的面积平分线是经过长方形两条对角线交点的直线，那么在两个长方形的组合图形中，我们可以试着去想，将其中一个长方形的经过对角线交点A的面积平分线绕着这个交点A进行旋转，旋转到这条直线刚好也经过另一个长方形的两条对角线的交点B，那这条直线也可以将另一个长方形的面积平分。既然这条直线能同时将组合图形中的两个长方形的面积平分，那也就意味着这条直线将这个组合图形的面积平分了。

6、于是可以做出判断（猜想）：组合图形中两个长方形的各自对角线交点的连线即为能将组合图形面积平均分成2等份的直线。

猜毕。

证明：

……

证毕。

其中关节处与解题思路一类同，不再赘述。

其它解题思路

……

（不再赘述。其实就是以不同的思路去表述对“对角线交点”的“发现”以及给“连接两个长方形的两个对角线交点”的“行为”以一个合理的“动机”，或者给此一“行为”的“结果”以一个“可同时平分两个长方形”的“解释”。）

最后，必须跟孩子说明并强调一点：

上述解题思路获得的这个“答案”其实还不是最终的答案，而只是个“猜想”，要想使其成为最终的答案，还必须对所做出的这个“猜想”进行证明；

但考虑到以小学的知识还不足以做出这个证明，所以不要求证明，但自己心里一定要清楚，获得的这个“答案”其实还只是个“猜想”。

三、另一道类似的题及其解题思路

其实在想通上面这道题之前，我曾看到过一个类似的题目：

仅用一条直线将下图半径均相同的5个圆分成面积相等的两部分。

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微信小视频中刷到的题目

老实说，当时这道题我尝试思考了好几次都没想出来。

但是在想通了上面那道题（一线平分两个长方形的组合图形）的基础上，我也想到了这道题（一线平分5圆）的解题思路，二者有共通之处。

（我的习惯是，凡是没见过的类型的题，第一次看到的那个题目，我非得自己独立思考将其破解不可，一时想不出来时我宁愿将题目截图保留而以后再去想、也不会急于往下看人家的解题方法和答案，直到我自己想出了解题思路才会在再遇此类题时看看人家讲得怎么样。我的手机图库里现在还有不少我还没想通透的题目，不过是中学的题目占绝大多数，小学的题目只有三五个。这一经验希望其他家长予以借鉴，因为只有你自己独立思考了，无论是否想到了答案及其解题思路，你才能对孩子有“同情之理解”，也才能更精准地体察孩子在思考时可能在什么地方会卡顿，然后给予针对性的引导或提示，如此才能更好地培养孩子自主思考的勇气、信心和能力。）

这道题的第一种的几个解题思路是按照上述“解题思路一”——核心是“对称轴”——想到的，之后又受其启发而想到了其它种的解题思路。

以下简述之。

解题思路一

以“对称轴”为核心可以得到一种解题思路。

1、将原图形想象为上面两个圆挪动到落在下面三个圆的中间那个圆的上面的特例，在这个特例图形中，有一条对称轴即纵向居中的一条直线，准确地说，是上面两个圆相切的点（跟孩子可以说成是两个圆刚刚好挨上也即有且仅有有一个点挨上的那唯一一个点）与下面三个圆中中间那个圆的圆心点的连线所在的直线。

2、再想象将上面两个圆挪动回原来位置，“观察”、思考对称轴的移动轨迹，发现其中不变的“点”还是上述两个点。

3、判断（猜想）：能将图中5个相同的圆的面积平分两半的直线就是上面一行两圆的切点与下面一行中间圆的圆心的连线所在的直线。

这种解题思路还有其它几个，比如：将最右边那个圆上移到两行圆的中间，然后也得到一条对称轴，继而如法炮制即可，得到另一条能平分5个圆的面积的直线。

解题思路二

以“中心点”为核心，可以得到另一种解题思路，也是可以有好几个。以下试述其中一个。

1、以左侧4个圆为一个整体——称为图形左部，其“中心点”——即过该点的任意一条直线均能将这个整体图形的面积平均分为2等份——记为A点（4个圆围成的中间“海星”形区域的中心位置）；以右侧的单个圆为图形右部，其“中心点”——过该点的所有直线都能将圆的面积均分两半——为圆心记为B点。

2、将过A点的一条直线进行旋转，使其也经过B点，则这条直线——同时过A、B两点也即A、B两点的连线——同时均分图形左部和图形右部，这即是说，直线AB能将5个圆的面积均分两半。

3、判断（猜想）：能将图中5个圆的面积平均分为2等份的直线是A、B两点连线所在的直线。

其它解题思路

……

另需说明：上述解题思路得到的直线仍然不能称为真正的答案，而还只是个猜想，需要经过证明后方才是真正的答案。

四、一时想不出解题思路无需气馁，或许灵感会在另一时间另一情境下不期而遇地闪现

所谓“他山之石，可以攻玉”，诚如是也，古人诚不我欺也。

通过我解决上述第二道题的经历，我们可以得到一个认识：

有时候我们解决不了某个问题不是我们的能力不行，而是暂时没有解决思路，而获得解决思路是需要灵感的，只要不放弃思考，这个灵感说不定什么时候在其它的情境下就突然闪现了。

进一步讲，科学史那些伟大科学家一生研究的问题肯定很多，但其取得的重大研究成果往往就那么一个或几个，而ta做不出的一些大问题被同时代或其后的其他科学家做出了重大研究成果，这是前者比后者笨吗？并不能这么说，因为后者也可能做不出前者获得重大研究成果的那个大问题。

即使是爱因斯坦，在其从事科学研究的初期，他所做的几个问题都不算重大，然而他却没有得出什么有价值的成果，发表的几篇论文中，有些结论还是不太正确的。但他后来研究电动力学的问题，却做出了划时代的狭义相对论，随后又用十余年的时间将狭义相对论发展为广义相对论。

我的意思是说，某些人对某些问题就是敏感且能得到解决问题的灵感，不能解决某些问题只能说明对这类问题不敏感而没有灵感，说明不了什么问题，尤其是不能说明ta笨。

我之前研究科学史和科学哲学时写过一篇小文章（随想），也谈到了类似的问题。

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观察者网风闻社区贴文截图

“后人证明了某个猜想，是由于提出猜想的人比后来给其证明的人的演绎推理能力差吗？”（演绎是逻辑中的一种，演绎推理能力大概是所谓智商/聪明的一大表现）

我问问题的方式其实已经表明了我的观点。

帖文中提到的我女儿二年级时的一个“发现”，其实就是儿童对问题的敏感激发了灵感而得到的（参见：以二年级女儿的一个独立发现为指引得到可推导出九九乘法表的一组公式），我们大人对“九九乘法表”早就见惯不怪甚至麻木了，哪有什么心思去关注其中有什么奥妙呢。

我在一篇讨论《几何原本》的文章中也讨论了有关猜想的问题，在该文的“导读”中我说道：

对于“演绎”的祛魅，本文从一个鲜有人想到过的视角提出了一个貌似愚蠢的问题，即《几何原本》的书写结构为什么是“命题+证明（演绎+公理）=命题”而不是“公理+演绎=命题”呢——也即：为什么并非从公理出发直接演绎推导出命题，而是先给出命题然后才用演绎推导去证明呢？继而引入“命题的‘确立’”、“命题的‘获得’”、“命题的‘证明’”、“命题的‘正确性保证’”、“证明方法的‘获得’”五个概念/表述，并从文本证据和论理两方面试着证明如下观点：第一，《几何原本》中“命题的‘确立’”并非直接从公理出发经过演绎推导得出命题来完成的——即同步完成“命题的‘获得’”（从公理直接推导而来）和“命题的‘正确性保证’”（由演绎逻辑的保真性推理特性来保证），而是“命题的‘获得’”在先——即已先有了命题，然后再给出“命题的‘证明’”，也即是说，命题并非演绎的方式得来，而是以“其它方式”“获得”的，这个“其它方式”是（在与事物打交道——实践或研究——过程中的）“发现”或“归纳”或“直觉、灵感、想象力”；第二，在“命题的‘证明’”阶段，也并非直接从公理出发按照演绎逻辑进行推导就完成了“命题的‘证明’”，而是“证明方法的‘获得’”在先——即先有了证明方法，然后才能根据证明方法展开演绎推导的过程完成“命题的‘证明’”，也即是说，“命题的‘证明’”也并非完全的演绎，而是先有以“其它方式”实现“证明方法的‘获得’”，然后才有以演绎的方式完成证明过程，这个“其它方式”是“直觉、灵感、想象力”；第三，类比说明，给定已知（公理、公设、定义及由其得到的定理）——不妨比喻为一个个不同种类的珠子，你怎么知道要择取哪些珠子并用什么样的线索——即演绎逻辑链路——串起来就一定能得到一个事前还不知道是什么的命题呢，犹如射箭，无的放矢显然不靠谱，只能有的放矢，“的”就是命题，“放矢”就是证明，“放”就是证明方法——如何“放”是靠感觉的，“矢”在空间中行进的轨迹就是演绎逻辑链路，且在你感觉到如何“放”时就已经决定了；第四，总结前三点，演绎在命题的确立中虽然至关重要、必不可少，但其重要性和发挥作用的次序只能排在第三位。理解这些观点可用中国象棋类比，车走直线、马走斜日、炮需炮架等规则相当于公理、公设、定义，各种将死对方的招数就是命题，命题的证明就是按照规则一步步走棋直到将死对方，这个一步步走棋的过程就是演绎推导，招数是无数象棋高手从下棋实战中“发现”的，所谓的证明，一般简单的一眼就能看明白的我们不会要求去演示——即非得证明一下，只有一些复杂的棋局我们才会去演示——即证明。对于“公理化”的祛魅，本文指出，所谓“公理化体系”只是整理已知的一种写作方式或者说行文架构，而并非是获取新知的（主要）方法，并以门捷列夫《元素周期表》作类比，其将各元素进行排列的方式犹如《原本》将各个命题组织起来的行文架构即所谓的“公理化体系”。
——祛魅《几何原本》｜《几何原本》的“演绎”和“公理化”之“魅”，何以祛之？中国象棋+元素周期表

五、小结

总之，我要表达的意思是：

第一，遇到难题需要大胆地去猜想；

第二，猜想大多依赖于灵感，虽然灵感可遇不可求，但要耐心等待其闪现，而其前提是不要放弃思考，有可能在其它时间其它情境中就不期而至了；

第三，总有一些题目是我们想不到解题思路的，不必灰心沮丧，这不能说明我们笨，那些大科学家也有搞不定的问题且这些问题反而被与其相比没那么大牌的科学家所解决了，正所谓“尺有所短、寸有所长”；

第四，对于我们独立思考想不到解题思路的题，不能仅仅满足于“知道”其解题方法，也不能满足于“理解”该解题方法，而要深入地去搞清楚人家的解题思路到底是怎么来的。

这些道理需要讲给孩子听，然后在实践中去一点点领会。

— 完 —

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